精品解析：2026年河北承德市丰宁满族自治县白塔中学中考模拟预测数学试卷

承德市丰宁满族自治县白塔中学模拟预测数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如果零上记作，那么零下可记作（ ） A. B. C. D. 2. 实数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. a B. b C. c D. d 3. 如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果与结果不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（ ） A. 9° B. 10° C. 15° D. 20° 6. 用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为，则h与t关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边中，，分别是的角平分线，与交于点G，连接，作，分别交于点R，T，则下列说法：①点G是的内心；②；③；④．其中，正确说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （ ） A. 两种温度下均是的函数 B. 当时，该绿色植物不进行光合作用 C. 当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D. 光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 11. 如图，的顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（    ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 12. 如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（ ） A. 只有乙对 B. 甲和丙都对 C. 乙对，丙错 D. 三人的说法都对 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_______． 14. 如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 15. 如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 16. 如图，正方形的边长为，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与边交于点E，在正方形内的圆弧上取一点F，使得，连接并延长和边交于点G，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，． （1）求p，并化简q； （2）比较p和q的大小，并说明理由． 18. 已知整式（a，c为常数）． （1）若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； （2）若，则；若，则，求a和c的值． 19. 如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）求证：； （2）如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 20. 人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： （2）本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； （3）若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； （4）学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 21. 如图1，在正方形中，，是边的中点，线段绕着点旋转，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当点在正方形内部，且，，三点共线时， ①______，______； ②求点到直线的距离； （3）直接写出在变化的过程中，的面积的最小值为______； 22. 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 23. 综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 24. 已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 承德市丰宁满族自治县白塔中学模拟预测数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如果零上记作，那么零下可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，零上记为正，可得零下的表示方法． 【详解】如果零上记做，那么零下可记作 故选：A 【点睛】本题考查了正数和负数．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2. 实数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：数轴上表示实数的点到原点的距离最短， ∴的绝对值最小， 故选：B． 3. 如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看竖直叠放2个正方形． 故选：C． 【点睛】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 4. 下列计算结果与结果不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后可排除选项． 【详解】解：∵，，，， ∴结果不相同的是B选项； 故选B． 5. 如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（ ） A. 9° B. 10° C. 15° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出和，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角度数为：， 正方形的每个内角度数为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．   故选：A ． 6. 用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 7. 同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧？故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水，告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止．设加石块的时间为t（min），圆底瓶里水面的高度为，则h与t关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象，根据液面面积的变化得到水上升高度的变化解答即可． 【详解】解：开始水面面积变大，上升速度逐渐变慢；后来水面面积变小，上升速度逐渐变快；然后到达瓶颈位置面积不变，直线上升， 故符合B图象， 故选：B． 8. 如图，等边中，，分别是的角平分线，与交于点G，连接，作，分别交于点R，T，则下列说法：①点G是的内心；②；③；④．其中，正确说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的性质，含的直角三角形的性质，根据内心的定义判断①；得到是等边三角形，，判断②；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断③；根据等边三角形的性质判断④解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，分别是的角平分线， ∴点是的内心；故①正确； ∴平分， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴，， ∴， 又∵平分∠， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴，故③错误； 故选：C． 9. 关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再根据解为负数且分式有意义判断选项即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴当时，， 且， 解得且且， ∴且， ∴选项中只有符合条件，故选B． 10. 光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （ ） A. 两种温度下均是的函数 B. 当时，该绿色植物不进行光合作用 C. 当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D. 光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数的概念和图象获得的有用信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据题意可知是自变量，所以两种温度下均是的函数，故说法正确，该选项不符合题意； B、当时，即没有光照条件，所以该绿色植物不进行光合作用，故说法正确，该选项不符合题意； C、根据图像可知，当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高，故说法正确，该选项不符合题意； D、根据题意可知，该绿色植物释放氧气的速度还与温度有关，故说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 11. 如图，的顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（    ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，找到符合条件整点即可得到k的个数．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，找到符合条件的整点是关键． 【详解】解：的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点， 这样的整点有：，，，，， 反比例函数的图象经过内部或边界上的整点横、纵坐标都是整数， 值有1，2，3，4，共4个． 故选：B． 12. 如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（ ） A. 只有乙对 B. 甲和丙都对 C. 乙对，丙错 D. 三人的说法都对 【答案】C 【解析】 【分析】甲：如图所示，当时，证明可得结论； 乙：如图所示，当落在上时，点E和重合，证明四边相等即可； 丙：当点P靠近点C时，在四边形外部，此时，推出，即可判断． 【详解】解：甲：如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故甲正确； 乙：如图所示，当落在AD上时，点E和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿AP翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ，故丙错误； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 14. 如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交格点于点，连接，由题意可得，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 15. 如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】设点、，由平行四边形的性质得，再由是中点，得．将代入反比例函数，化简得．结合平行四边形面积，代入后，进而求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴点的坐标为． ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∵， ∴ 解得， ∵平行四边形的面积底高（A点的纵坐标）， ∴， 将代入得， 解得． 【点睛】本题以平行四边形与反比例函数为载体，通过设点坐标，利用平行四边形性质、中点坐标公式建立点D的坐标，再结合反比例函数解析式与平行四边形面积公式，将几何问题转化为代数方程求解． 16. 如图，正方形的边长为，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与边交于点E，在正方形内的圆弧上取一点F，使得，连接并延长和边交于点G，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先，根据题意作出辅助线，然后，根据已知数据得出，，．接着，可证得，是等边三角形，再根据在中，，得出，，，最后，得出即可． 【详解】如图，连接，，，，过作于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点，在上，半径为2，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，． （1）求p，并化简q； （2）比较p和q的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据有理数的运算及二次根式的性质可进行求解； （2）根据二次根式的大小比较可进行求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 18. 已知整式（a，c为常数）． （1）若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； （2）若，则；若，则，求a和c的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 【小问1详解】 解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 19. 如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）求证：； （2）如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 【答案】（1） 证明：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）根据题意可得，再根据“”证明，即可得出； （）由，，得，所以，通过勾股定理求得，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为． 20. 人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： （2）本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； （3）若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； （4）学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）；补全图形如下： （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数和所占百分比可求出总人数，即可求出组的人数；（2）根据中位数的概念求解可得；（3）求出成绩在80分及以上人数所占百分比，即可得解；（4）根据画树状图求解即可； 【小问1详解】 解：组人数是人，所占百分比是， 总人数为（人）； 组人数为（人），补全图形略 【小问2详解】 解：由（1）可得，总共抽取了名学生，中位数是第、名学生的平均数， 组有人，组有人，组有人，组有人， 第、名在组， 中位数在组； 【小问3详解】 解：根据题意可得，成绩在分以上的人数所占百分比为， 全校2000名学生中获得该称号的人数为（人）； 【小问4详解】 解：标记个男的为，，个女的为，，，列表如下： 第一步 第二步 总共有20种情况，符合条件的有12种， 所选的两位同学恰为一男一女的概率为． 21. 如图1，在正方形中，，是边的中点，线段绕着点旋转，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当点在正方形内部，且，，三点共线时， ①______，______； ②求点到直线的距离； （3）直接写出在变化的过程中，的面积的最小值为______； 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点D逆时针旋转得， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，且，， ∴； （2）①5；3② （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得，，可得，由“”可证； （2）①由勾股定理得，可得； ②通过证明，可得，即可求的长，即可求点F到直线的距离． （3）由，可得，当时，的值最小，即可求的面积的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，是边的中点， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； ②如图2，过点F作交延长线于点P， 则线段的长度就是点F到直线的距离． ∵， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F到直线的距离为 【小问3详解】 解：， ∴， ∵当时，点E到的距离最小，则的值最小， ∴的面积的最小值． 22. 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形； 一次函数图象如图中所示： 理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3），交点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 23. 综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等； （2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果； （3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果； （4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出 ，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 24. 已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3）；或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； 【小问3详解】 解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $