2026年山东省泰安市开元中学中考适应性检测

**基本信息** 本试卷涵盖初中数学核心知识，通过科技情境（如浮游生物质量）、文化素材（传统图案对称）及生活应用（购物抽奖、帐篷购买），构建基础巩固到创新应用的梯度，适配中考能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数、对称图形、科学记数法、概率|结合数轴、传统文化图案考查抽象能力| |填空题|5/15|分式意义、解直角三角形、反比例函数|秋千问题（解直角三角形）体现几何直观| |解答题|8/75|函数综合、几何证明、统计分析、实际应用|无人机测量（解直角三角形）、体育中考数据（数据意识）、旋转探究（推理能力）|

山东省泰安市开元中学2026年中考适应性检测 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ）． A．B． C． D． 3．（本题3分）科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个大小相同质地均匀的小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额之和小于50元的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为千米/小时，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，的顶点、分别在轴、轴上，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（     ）    A． B． C． D． 9．（本题3分）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 10．（本题3分）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若代数式有意义，则的取值范围是______． 12．（本题3分）图1是公园里的一个秋千，如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离是20厘米，小李同学坐上秋千后，将点B向后拉起到点C，此时测得，点C到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即），那么绳索的长度约是__________厘米．（参考数据：，，） 13．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 14．（本题3分）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 15．（本题3分）如图，在Rt中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于点，则的长是___________． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中从，，2，3中取一个合适的数代入求值． 17．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)分别联结、，点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 18．（本题9分）项目式学习：综合与实践课上，数学兴趣小组利用无人机测量学校教学楼的高度． 实施过程：如图，无人机在点处测得教学楼最高点的俯角及点，之间的距离；无人机沿水平方向飞行到达点，在点处测得教学楼最低点的俯角及点，之间的距离． 测量数据：，，，． 说明：图上所有点均在同一平面内，垂直于地面，． (1)求点到直线的距离； (2)求教学楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 19．（本题9分）2026年4月，青岛市学生完成了体育中考，在一次体育中考的模拟训练考试中，某学校九年级共400名男生，从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）： 9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8． 根据数据进行了分组并绘制了表格和统计图： 分组 换算为测试成绩 成绩（米） 频数 10 4 8 6 7 4 合计 20 根据上面提供的信息，回答下列问题： (1)统计表中的________；体育考试组的平均分数________； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是________； (4)根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？ 20．（本题9分）如图，在中，以点C为圆心，为半径的与相切于点A，与交于点D，过点D作，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 21．（本题10分）把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． (1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 22．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点都在该抛物线上，且满足，求的取值范围． 23．（本题11分）如图1，在中，，，将三角形绕点顺时针旋转一定角度得到三角形，连接，，两线段所在直线相交于点D，设，请探究的度数及与的数量关系，具体过程如下： (1)【特例感知】如图2，当A，C，三点共线时： ① ； ②若，则 ． (2)【猜想证明】猜想的度数及与的数量关系，并结合图1进行证明． (3)【拓展应用】如图3，已知，在旋转的过程中，若，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A D A A B C B 1．C 【分析】根据数轴判断，，的符号和绝对值的大小，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，，． 2．D 【分析】根据轴对称图形（沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形）以及中心对称图形（绕某一点旋转后，能与自身完全重合的图形）的定义逐一分析选项，找出“是中心对称图形，但不是轴对称图形”的选项． 【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形也是中心对称图形； B选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； C选项中的图形既是轴对称图形也是中心对称图形； D选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． 3．B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 5．D 【详解】解：∵一次性随机摸出两个小球，所有等可能的结果共3种： ①10元和20元，和为元； ②10元和30元，和为元； ③20元和30元，和为元； ∴其中两球金额之和小于元的结果共有种， 因此所求概率为． 6．A 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 7．A 【分析】设小明步行速度为千米/小时，则小新骑车的速度为千米/小时，根据小新提前15分钟到达、以及时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设小明步行速度为千米/小时，则小新骑车的速度为千米/小时， 由题意可列方程为． 8．B 【分析】根据题意求出点初始坐标，再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标，观察出每4次一循环，即可得到本题答案． 【详解】解：，， ， 如图，过点作轴于点，    ． ， ． ． ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转得到的坐标为， 第二次旋转得到的坐标为， 第三次旋转得到的坐标为， 第四次旋转得到的坐标为， 第五次旋转得到的坐标为， 可以发现的坐标四次一循环， ∴第2026次旋转结束时：， ∴坐标为． 9．C 【分析】先用表示出分式方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义时，分母不为的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 移项合并同类项，得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时，分母不为， ∴，且， ∴， 解得且． 10．B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则，故①符合题意； ②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则，故②不符合题意； ③∵对称轴为直线， ∴ 当时，，即 ∴ 即，故③符合题意； ④由于图象经过，且对称轴为，则图象也经过， 当时， 即 ，故④不符合题意； ⑤点，是抛物线上的两点，若，则，故⑤不符合题意； ⑥由图象过由对称性可知：图象也过点 令 有两个解，分别是，，故⑥符合题意； 综上所述，①③⑥符合题意，共有3个． 11． 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 12． 【分析】先过点C作，再证明四边形是矩形，结合，得出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点C作于点G，如图所示： 依题意，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 解得， ∴． 13．且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 14． 【分析】设点，可得，，从而得到，再得出轴，可得点，从而得到，然后根据四边形的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ∵四边形的面积为8， ， 解得：． 15． 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，垂直平分线的定义，解题的关键是由作图可得，是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，根据勾股定理，求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，，求出，即可解答． 【详解】解：由作图可得，是线段的垂直平分线， ∴是的中点， ∴，， ∵， ∴设， ∴， ∴， 在Rt中，，且， ∴， ， 解得：（负值舍去）， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 16．（1）；（2），当时，原式 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再进行乘法和加减运算即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，取一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 17．(1) (2)或 【分析】（1）将、，代入得出、，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出，设，根据的面积等于面积的2倍，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点、， ，． 解得，． ，， 由、两点在一次函数的图像上， 得， 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：如图， 由，令，得，则， ∴． 设，可得．解得． 或． 18．(1)点到直线的距离为 (2)教学楼的高度约为 【分析】（1）延长交于点，先证明，利用三角函数即可求出的长度，得到点C到的距离； （2）在中利用三角函数可求出的长度，利用减去即可得到的长度，按要求取近似值即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∴在中，，，， ∴， ∴， 答：点到直线的距离为； （2）解：如图所示，延长交于点， 由（1）可知， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴, 答：教学楼的高度约为． 19．(1)3，7.1 (2) (3) (4)200人 【分析】（1）结合数据统计求出，利用加权平均数的计算公式求出平均数即可； （2）根据（1）中的结果，补全条形统计图即可； （3）“8分”对应的圆心角的度数等于乘以它所对应的百分比； （4）用400乘以不低于8分所占的百分比即可． 【详解】（1）解：由样本可知，符合的有8.6，8.3，9.5，7.7，8.1，9.3共有6个， ∴， 符合的有5，5.1，4.8共3个， ∴， 体育考试组的平均分数； （2）略 （3）解：， ∴“8分”对应的圆心角的度数是； （4）解：（人） 故该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得出直角，证明，即可得出结论； （2）利用锐角三角函数得出，求出，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出圆的半径，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 与相切于点， ， ， ， ， 在和中， ， , ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积 阴影部分面积． 21．(1)，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元 (2)①型号帐篷至少要买10顶；②计划资金一定够用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，根据用3200元购买A种帐篷的数量与用2000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，根据购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍列出不等式求出m的取值范围， ②设总费用为元，列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有： ， 解得． 经检验，是原方程的解． ∴ ． 故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元． （2）解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有： ， 解得：． 故：型号帐篷至少要买10顶． ②设总费用为元，则有： ， ． ， 随的增大而减小． 又， ∴当时， ． 故：此计划资金一定够用． 22．(1) (2) 【分析】（1）抛物线经过点，可将该点坐标代入抛物线方程求出的值，再利用对称轴公式求对称轴； （2）由点和纵坐标相等，可知、关于抛物线对称轴对称，因此抛物线对称轴为；抛物线开口向下 ()，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小；点离对称轴越近，函数值越大；由 可知：点离对称轴的距离小于点、离对称轴的距离，据此列不等式求解；最后结合求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式： ， 解得， 所以抛物线解析式为： ， 其中，， 对称轴公式为： ， 所以抛物线的对称轴为直线． （2）解：由点、在抛物线上且纵坐标相同，得抛物线对称轴为： ，故， 抛物线中，开口向下，函数值大小与点到对称轴的距离关系为：点到对称轴的距离越小，函数值越大； 点、到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为， 因为，所以点到对称轴的距离小于2，即： ， 解此不等式： ， 解得， 又， 则， 综上，． 23．(1)①；② (2)解：猜想：，．理由如下： 如图，分别过点，作的垂线，垂足为和， ， 根据旋转可得，，， ，， ， ， ， 又， ． ． 又， ． ． 设， 由旋转可知，，． ． ，． 是的一个外角， ， 故的度数为． (3)线段的长为或 【分析】（1）①在中，，，得出是等腰直角三角形，则 ， 由旋转性质得 ，，，，求出，在等腰中，求出，在等腰中，求出，则，设与交于点，，求出 ，即可得； ②由①可得，，得出，，从而求出，即可得出，则，结合，即可求出； （2）如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P，证明，得出，再证明，得出．设，由旋转可知，，，则．即可得，．根据三角形外角的性质得出即可解答； （3）连接，过作于点，根据，，得出，，则，根据勾股定理求出，则，勾股定理得出，证明，求出，得出，即可得．再分为①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时两种情况，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：①在中，，， 是等腰直角三角形， ， 绕点旋转得到， ，，，， 三点共线， ， ， 在等腰中，， ， 在等腰中，， ， ， 设与交于点，（对顶角相等）， ， 是相交形成的锐角， ． ②由①可得，， ，， ， ， ， ， 即， ， ． （2）略 （3）解：连接，过作于点， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ①当点在线段上时，如下图． 则． ②当点在线段的延长线上时，如下图． 则． 综上所述，线段的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $