期末复习卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 本试卷以神舟二十号、春晚机器人等时代素材和汉字“九”文化情境为载体，覆盖七年级下册几何、代数、统计核心知识，通过数形结合、动态几何等综合题设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|轴对称图形、科学记数法、平方差公式、平行线判定、概率|结合神舟二十号材料考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|5题|整式运算、角的关系、因式分解|设计角的两边平行分类讨论题，培养推理意识| |解答题|9题|数形结合、几何证明、概率应用、动态几何|20题通过图形面积验证恒等式，23题动态几何探究角度关系，24题联系多项式系数规律解决实际问题，发展模型观念|

期末复习卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．神舟二十号载人飞船成功发射，三名航天员顺利进驻空间站，与神舟十九号乘组完成“天宫会师”．载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度约为厘米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点E在的延长线上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．“篮球队员投篮时未进球”是必然事件 B．“某班有22名男生和20名女生，从中选择一名同学参加座谈会，选到女生”是随机事件 C．“在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球”是随机事件 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件 7．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 8．如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 10．2026年春晚《武》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，则的值为________． 12．若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 13．若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 14．已知，，则a_______b．（填“”“”或“”） 15．如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．已知m，n满足，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点测出的度数．小华站在处，眼睛在处看单元楼的端点测出的度数，并且发现与互余．已知，，，点在上，点在上，米，米，米，求单元楼的高度． 20．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 21．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴（________________________）， 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（__________________）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（________________________）． 22．某商场文具卖场为了吸引顾客，推出了“购物转转盘”活动，该卖场设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，获得一次转动转盘的机会，并参与了活动，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)小明获得奖品的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 23．如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． (3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 24．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末复习卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C B A B C C 1．D 【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，称为轴对称图形，求解即可． 【详解】解：A，B，C均不是轴对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，符合题意． 2．B 【分析】表示绝对值小于1的正数时，科学记数法的形式为，其中满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵ 对于，左起第一个非零数字为，前共有个零，且， ∴ ． 3．C 【分析】本题考查平方差公式的适用特征，平方差公式为，能用平方差公式计算的式子需满足：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，根据该特征逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； 选项B中，，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； 选项C中，，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的条件，能用平方差公式计算； 选项D中，，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算． 4．C 【详解】解：A、，故原选项计算错误； B、，故原选项计算错误； C、，故原选项计算正确； D、，故原选项计算错误． 5．C 【分析】根据平行线的判定逐一分析即可． 【详解】解：A、只能判定，不能判定，所以选项A不符合题意； B、只能判定，不能判定，所以选项B不符合题意； C、根据内错角相等，两直线平行，由能判定，所以选项C符合题意； D、只能判定，不能判定，所以选项D不符合题意． 6．B 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：对选项A：“篮球队员投篮时未进球”可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴A错误； 对选项B：班级中既有男生也有女生，任选一名同学，可能选到男生也可能选到女生，因此“选到女生”是随机事件，∴B正确； 对选项C：装满红色小球的箱子里不可能摸出蓝色小球，属于不可能事件，∴C错误； 对选项D：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，∴D错误． 7．A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 9．C 【分析】根据折线图，得到概率为，逐一求出概率，进行比较判断即可． 【详解】解：由折线图可知：该事件的概率为：； A、抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为：，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为：，不符合题意； C、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为：，符合题意； D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合题意． 10．C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作 ，利用平行线的性质求出的度数，再根据已知条件求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 11． 【分析】本题利用平方差公式对进行因式分解，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：∵， 将，代入上式得：， ∴ ． 12．或 【分析】根据平行线的性质，若两个角的两边分别平行，则两个角相等或互补，因此分类讨论两种情况，结合题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵和的两边分别平行， ∴分两种情况讨论： 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 综上，的度数为或． 13．9或/或9 【分析】根据完全平方公式的结构特征，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：二次三项式能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式，可得 一次项系数满足， 即， 当时，解得， 当时，解得． 综上可知，或． 14． 【分析】利用多项式变形比较与的大小，将展开后化为含的代数式，再与作差即可得到大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴． 15． 54 【分析】首先根据同旁内角互补判定，利用平行线的性质求出的度数，再根据利用平行线的性质得出与的关系以及与的关系，最后通过角的和差计算得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 16．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 原式 ． 17．， 【分析】本题考查整式的化简求值，先利用完全平方公式和平方差公式展开括号，合并同类项化简原式，再代入已知的，的值计算即可． 【详解】解： 当，时 原式． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， 两式相减可得， ∴； （2）解：由（1）知：；， ∴， ∴， ∴． 19．26.5米 【分析】证明，得到，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与互余，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米． 20．(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 21．两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】根据平行线的性质及同角的补角相等补全证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴ （等量代换）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（同角的补角相等）． 22．(1) (2) (3)5 【分析】（1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色的区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴小明获得中性笔的概率是； （2）解：， ∴小明获得奖品的概率是； （3）解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色． 23．(1) (2) (3)的度数为或或 【分析】（1）设，可得：，根据角之间的关系可得：，，根据，可得方程，解方程求出的值，把的值代入即可求出结果； （2）过点作，设，，可得，根据平行线的性质可得，即可求出； （3）设，，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由平分，，可得，所以可得，因为四边形的一边与平行，分四种情况求解． 【详解】（1）解：设， ， ， ，， ，即， 解得：， ； （2）解：如下图所示，过点作， 设，， ，，， ，即， ，即， ，， ，， ，， ，，， ， ， ； （3）解：设，， 平分， ， ， ， ， ，， ，即， ， 平分，， ， ， ， ， 如下图所示，当时，则， ， 解得：， 即； 如下图所示，当时，则， ； 如下图所示，当时，则， ，，， 即， 解得：， ， 当时， 则， 即， 解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 24．(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $