2025-2026学年人教版七年级数学下册期末必刷卷

**基本信息** 2025-2026学年人教版七年级数学下册期末必刷卷，以星座坐标、读书日调查等真实情境为载体，通过基础题、综合题、探究题的梯度设计，考查统计、几何、代数核心知识，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|普查判断、平行线性质、坐标系应用|结合黄河鱼种类等生活实例，考查抽象能力| |填空题|6/18|命题真假判断、数轴化简、新定义运算|以折叠问题、正方形平移考查几何直观| |解答题|8/72|统计图表分析、动态几何、方案设计|23题购物优惠方案融合方程与不等式，24题平行线探究培养推理能力，体现数学思维与语言表达|

2025-2026学年人教版七年级数学下册期末必刷卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列各项调查适合普查的是（　　） A．某班每位同学视力情况 B．黄河中现有鱼的种类 C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命 2．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．星座是一群位置相近的恒星的组合，人们用线条连接同一星座内的亮星，根据其形状以近似事物命名．如图是狮子座的示意图，建立平面直角坐标系，若恒星的坐标为，恒星的坐标为，则恒星的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 6．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如果将方程的整数解用平面直角坐标系中的点来表示，并将所有这样的点组成的图形记为，以下说法： ①图形上的任意点都不可能在第一象限； ②存在图形上的点到轴和轴的距离相等； ③如果点在图形上，那么点也一定在图形上； ④如果点在图形上，那么将它沿轴向上平移（为正整数）个单位，再沿轴向左平移个单位后得到的点也一定在图形上． 其中所有正确说法的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④ 9．如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 12．已知实数在数轴上的位置如图所示，则 _____． 13．七年级一班50人参加百米测试，每人跑三次，测试情况统计如图，其中三次都没达标的有2人，三次都达标的有16人．那么恰有两次达标的人数占全班人数的______． 14．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 15．如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 16．如图，正方形四个顶点的坐标分别是,，将线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则m，n的数量关系为______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算． (1)； (2)； (3)． 18．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) (3) 19．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 20．世界读书日来临之际，某校为了解七年级学生最喜爱的图书类别，随机抽取m名学生开展问卷调查（要求每名学生仅选择一类最喜爱的图书），调查将图书分为文学类、科普类、漫画类、艺术类、传记类五类，统计后得到两幅不完整的统计图，请结合以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“艺术类”所对应的扇形圆心角度数是________°； (4)若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数之和． 21．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点，． (1)请直接写出点，的坐标； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒，的长为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积是三角形面积的时，求出值，并写出点坐标． 23．5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 24．已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版七年级数学下册期末必刷卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列各项调查适合普查的是（　　） A．某班每位同学视力情况 B．黄河中现有鱼的种类 C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命 【答案】A 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，掌握这些特点是解决此题的关键，由抽样调查和全面调查的特点结合实际问题，逐一判定即可 【详解】解：A、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意； B、黄河中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意； C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：A． 2．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：对于选项A，∵ 当 时，，此时 ，不满足 ，∴ A说法错误， 对于选项B，∵ ，不等式两边同时平方，不等号方向不变，∴ ，即 ，∴ B说法正确， 对于选项C，∵ ，∴ ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴ ，∴ C说法正确， 对于选项D，∵ ，∴ ，其中 ，，可得 ，∴ ，∴ D说法正确． 3．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知可得，再利用垂直定义得，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．星座是一群位置相近的恒星的组合，人们用线条连接同一星座内的亮星，根据其形状以近似事物命名．如图是狮子座的示意图，建立平面直角坐标系，若恒星的坐标为，恒星的坐标为，则恒星的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给出点的坐标建立坐标系，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵恒星的坐标为，恒星的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如下： ∴恒星的坐标为． 5．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 6．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，角的计算，平行线的性质．先求得，利用平行线的性质求得，再由折叠的性质得，作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， 作， ∴，， ∴， 故选：B． 7．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 8．如果将方程的整数解用平面直角坐标系中的点来表示，并将所有这样的点组成的图形记为，以下说法： ①图形上的任意点都不可能在第一象限； ②存在图形上的点到轴和轴的距离相等； ③如果点在图形上，那么点也一定在图形上； ④如果点在图形上，那么将它沿轴向上平移（为正整数）个单位，再沿轴向左平移个单位后得到的点也一定在图形上． 其中所有正确说法的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】求出，则可得，可判断①正确；先得出或，则可得②错误；求出可得③正确；先求出平移后的点为，再求出可得④正确． 【详解】解：①若点在第一象限，则，， ∵都是整数， ∴， ∴， ∴图形上的任意点都不可能在第一象限，说法①正确； ②若点到轴和轴距离相等，则； ∴或， 当时，则，解得，不是整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴不存在图形上的点到轴和轴的距离相等，说法②错误； ③若点在图形上，则，即， ∴点也一定在图形上，说法③正确； ④点沿轴向上平移（为正整数）个单位，再沿轴向左平移个单位后得到的点为， 若点在图形上，则， ∴， ∴点也一定在图形上，说法④正确； 综上，所有正确说法的序号是①③④． 9．如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，即． 10．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ，解得， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组只有个整数解， ，解得， ， 符合条件的整数的值的和为． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 【答案】3 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 12．已知实数在数轴上的位置如图所示，则 _____． 【答案】 【分析】根据数轴可推出，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ 13．七年级一班50人参加百米测试，每人跑三次，测试情况统计如图，其中三次都没达标的有2人，三次都达标的有16人．那么恰有两次达标的人数占全班人数的______． 【答案】54 【分析】本题考查了条形统计图的应用，正确理解图示信息是解答本题的关键．根据图示，先求出三次达标的人数，以及至少一次达标的人数，由此可知恰有两次达标的人数等于三次达标的总人数减去2倍的三次都达标的人数，再减去至少达标一次的人数，进一步计算即可得到答案． 【详解】第一次达标的有（人），第二次达标的有（人），第三次达标的有（人），至少达标一次的有（人），恰有两次达标的有（人），占全班人数的． 故答案为54． 14．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 15．如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】由已知条件即可得出，从而判断①正确；作，结合平行线的性质即可判断②正确；设，，则，，作，结合平行线的性质即可判断③错误，④正确． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 设，，则，， 如图，作，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，无法判断是否为，故③错误； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 16．如图，正方形四个顶点的坐标分别是,，将线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则m，n的数量关系为______． 【答案】或，且， 【分析】由线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点，得，，且，，再根据点到直线的距离等于点到直线的距离，可得，代入，，即可求解． 【详解】解：由线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点， ∴，，且，， ∵,， ∴轴，轴， ∴点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∵点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，m，n的数量关系为或，且，． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) (3) 【答案】(1)，数轴表示 (2)，数轴表示 (3)无解，数轴表示 【分析】先分别求解每个不等式组中两个一元一次不等式的解集，解不等式时遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤． 因为不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，所以求出两个解集后，可利用数轴或口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定公共解集． 最后将最终解集按规范表示在数轴上． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， ， ． 解不等式②，得， ． 取两个解集的公共部分． 得不等式组的解集为． （2）解：， 解不等式①，得， ， ， ． 解不等式②，得， ， ． 取两个解集的公共部分． 得不等式组的解集为． （3）解：， 解不等式①，得， ． 解不等式②，两边同乘12去分母，得， 移项得， ， ． 两个解集没有公共部分． 因此不等式组无解． 19．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)22 【分析】（1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （2）根据平移的性质可得，，在平移的过程中线段扫过的面积是四边形的面积，利用网格图的特征，通过割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：． 20．世界读书日来临之际，某校为了解七年级学生最喜爱的图书类别，随机抽取m名学生开展问卷调查（要求每名学生仅选择一类最喜爱的图书），调查将图书分为文学类、科普类、漫画类、艺术类、传记类五类，统计后得到两幅不完整的统计图，请结合以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“艺术类”所对应的扇形圆心角度数是________°； (4)若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数之和． 【答案】(1)60,30 (2)见解析 (3)36 (4)该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数和为600人． 【分析】（1）先求出除喜爱“传记”类图书外其他四类的人数，及其所占的百分比可得抽查总人数，再用喜爱“科普”图书的人数除以抽查人数可得百分比； （2）先求出喜爱“传记”类图书的学生人数，再补全统计图即可； （3）用乘以“喜爱艺术类”图书所占的百分比可得答案； （4）用总人数乘以喜爱这两类图书所占的百分比即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 所以； （2）解：，补全统计图如下： ； （3）解：， 所以“艺术类”所对应的圆心角度数是； （4）解：， 所以该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数和为600人． 21．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义运算，得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据定义运算得出，然后将（1）中得出的a，b的值代入即可得出答案． （3）令，， 则方程组变形成，结合已知条件得出，进而即可得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：， 解得∶ ． （2）解：∵，， ∴，即， 把，代入， 得：， ∴． （3）解：令，， 则方程组变形成， ∵关于x，y的方程组解为， ∴的解为， 即， 解得． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点，． (1)请直接写出点，的坐标； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒，的长为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积是三角形面积的时，求出值，并写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)，或， 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）分两种情况，当点在上时，当点在上时，根据线段之间的和差关系列式求解即可； （3）分两种情况，当点在上时，当点在上时，根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，， ，， ，， ，； （2）解：，， ，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动， 分两种情况讨论： 如图1，当点在上时，，， ，即； 如图2，当点在上时，，， ，即； 综上，． （3）解：如图1，当点在上时，连接， 三角形的面积是三角形面积的， ， ， ， ． 如图2，当点在上时，连接， 三角形的面积是三角形面积的， ， ， ， ． 综上，当三角形的面积是三角形面积的时，，或，． 23．5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解 (2)店家共有4种采购方案，见详解 (3)选择方式二采购总价更低 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 24．已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)和之间存在的数量关系为 或 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，内错角相等，求出，利用内错角相等得到，从而得到最终答案； （2）过点T作，利用平行线与角平分线的性质得到对应角相等，再进行等量代换进行求解； （3）因为点在直线上，所以先对点的位置进行分类，再过点作平行于的辅助线，然后利用平行线和角平分线的性质得到对应角相等，最后通过等量代换进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图③，过点T作，则， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：设， . ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，； ①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴， ∴． ②如图④-2，当点Q在的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴； ③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述，和之间存在的数量关系为 或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $