期末复习卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 北师大版八年级下册期末复习卷，以《红楼梦》金币、猎犬逐兔等传统文化与经典问题为情境，覆盖几何变换、不等式、分式等核心知识，注重数学眼光观察与数学思维应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|中心对称图形、不等式解集、函数图像|结合传统图案考查图形性质，体现数学审美| |填空题|6题|分式意义、平移坐标、最短路径|正八边形外角计算融合文化与几何，培养空间观念| |解答题|8题|因式分解、几何作图、新定义“和谐方程”|“和谐方程”新定义问题考查推理意识，体育用品店应用题体现数学语言表达实际问题|

期末复习卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ）． A．B． C． D． 2．若关于x的不等式的解集为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则分式的值为（     ） A． B．2 C． D．5 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（     ） A． B． C． D． 7．我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D． 9．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．当______时，分式无意义． 12．不等式组的解集为______． 13．在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 14．如图，在等边三角形中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为___． 15．《红楼梦》是我国四大名著之一．如图是《红楼梦》的八边形彩色金币，将其抽象为正八边形（如图），延长至点，则的度数为________°．    16．我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 三、解答题 17．按要求完成各题 (1)因式分解：． (2)计算：． 18．解不等式组及化简求值： (1)解不等式组：． (2)化简求值：，其中． 19．已知点，解答下列各题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 20．某体育用品店借抚州赣超联赛热潮，购进A、B两款抚州本土球队球迷装备．相关信息如下： 信息1：每个A款球迷装备的进价比每个B款多元； 信息2：该店用元购进A款装备的数量，是用元购进B款装备数量的一半． (1)求每个A款、B款球迷装备的进价分别是多少元？ (2)厂家联动赣超推出优惠：购买1个A款装备，赠送1个B款装备．若B款装备的总数量，是A款数量的倍少个，且购买总费用不超过元，求该店最多可购买多少个A款装备？ 21．如图，四边形是平行四边形 (1)将平行四边形沿过点的直线翻折，使点落在边上点处，且边与重合．请用尺规作图法作出直线及点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若，平行四边形的周长为24，求的长． 22．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 23．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 24．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末复习卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B D B D C B C 1．D 【分析】根据轴对称图形（沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形）以及中心对称图形（绕某一点旋转后，能与自身完全重合的图形）的定义逐一分析选项，找出“是中心对称图形，但不是轴对称图形”的选项． 【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形也是中心对称图形； B选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； C选项中的图形既是轴对称图形也是中心对称图形； D选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． 2．A 【分析】求出不等式的解集，结合给出的解集，进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴，则， ∴. 3．C 【分析】由题意可得，再代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．B 【分析】先依次求出不等式与的解集，再确定不等式组的解集，进而选出数轴表示正确的选项． 【详解】解：解不等式组， 解①得，， ； 解②得，， ， ； 故不等式组的解集为． 5．D 【分析】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，根据直尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角定理计算即可． 【详解】解：如图，设两直尺分别交于点， ∵ 两个三角尺的竖直直角边在同一直线上（或均垂直于水平线） ， ， ∴ ， ∴ ． 6．B 【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 7．D 【分析】设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，根据相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定列方程即可． 【详解】解：∵相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定， ∴狗跑250步时，兔子跑了步，因此速度比为， 设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，因此速度比也可表示为， ∴可列方程． 8．C 【分析】如图所示，连接，取中点K，连接，根据中位线的判定和性质得到，，结合题意得到，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，取中点K，连接， ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得． 9．B 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质和点、的坐标得到，，再根据折叠的对应角相等和平行线的性质推出，然后根据等角对等边和勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，即C、D纵坐标相同， ∵点，点， ∴，， 由折叠的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 10．C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 11． 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 12． 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则找出公共解集，即可得到答案． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 因此原不等式组的解集为． 13．0 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】由题意得， ∴ ∴． 14．6 【分析】根据等边三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 15． 【分析】根据多边形的外角和为进行求解即可． 【详解】解：∵八边形为正八边形， ∴的度数为． 16． 【分析】由于的长为定值，求的最小值转化为求的最小值，通过平移变换，将线段平移至，使得转化为，利用两点之间线段最短结合勾股定理即可求解． 【详解】解：为定值， 求的最小值，即求的最小值， 如图，将点向右平移个单位长度得到点，连接， 点的坐标为， 点的坐标为， 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作交的延长线于点， 在中， 水平直角边长为， 竖直直角边长为， 根据勾股定理得： 的最小值为， 的最小值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． （2）根据分式的减法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． 18．(1) (2)， 【分析】（1）分别解两不等式，即可求出不等式组的解集； （2）先根据分式的运算法则化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． （2）解： ， 当时，原式． 19．(1) (2) (3) 2026 【分析】（1）根据点P在x轴上，纵坐标的值为0，由此列式求解即可； （2）根据平行于y轴，横坐标相等，由此列式求解即可； （3）根据第二象限的特点列不等式得到，根据到坐标轴距离相等列式得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵点P在第二象限， ∴， 解得，， ∴， ∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得，， ∴． 20．(1)每个A款装备的进价为元，每个B款装备的进价为元； (2)该店最多可购买个A款装备． 【分析】（1）设每个B款装备进价为元，则每个A款装备的进价为元，根据信息2列出方程，解方程即可求解； （2）设该体育用品商店购买个A款装备，则有个B款装备，根据题目要求列出不等式组，即可求得的取值范围，这里注意根据题目信息B款装备总数量应该不少于购买的A款装备数量． 【详解】（1）解：设每个B款装备进价为元，则每个A款装备的进价为元， 根据题意得，解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， 则（元/个）， 答：每个A款装备的进价为元，每个B款装备的进价为元； （2）解：设该体育用品商店购买个A款装备，则有个B款装备， 根据题意得，解得， 答：该体育用品商店最多可购买个A款装备． 21．(1)解：如图，直线及点即为所作； (2) 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，交于点，则；再作的平分线交于点，作直线即可； （2）由平行四边形的性质得，由作图得，可得，从而得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 22．(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 23．(1)③ (2) 【分析】（1）求出各个方程解和不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）求出方程解和不等式组的解集，根据“和谐方程”的定义得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ①，解得； ②，解得； ③，解得， 只有在内， ∴不等式组的“和谐方程”有③； 故答案为：③ （2）解：解得到， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的“和谐方程”， ∴， 解得 24．(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $