2025-2026学年人教版八年级数学下册期末必刷卷

**基本信息** 立足人教版八年级下册核心知识，通过《九章算术》文化素材、无人机科技情境及生活应用设计试题，梯度覆盖代数、几何、统计与函数，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式有意义条件（第1题）、数据统计分析（第2题）|结合正多边形角度计算（第4题）考查空间观念| |填空题|6/18|勾股定理应用（第13题）、平行四边形坐标（第14题）|引用《九章算术》芦苇问题（第13题）体现文化传承| |解答题|8/72|一次函数图像与性质（第18题）、矩形折叠动态问题（第24题）|无人机高度函数图像（第18题）培养模型意识，综合题（24题）提升推理能力|

2025-2026学年人教版八年级数学下册期末必刷卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（     ） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是55分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分 3．有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．24 B．18 C． D．28 7．在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中线段AB两端点的坐标分别为，点为轴上一点，若为直角三角形，则这样的P点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以为一组邻边作平行四边形，已知，，连接交于点G，当最小时，则四边形的周长为（     ） A． B． C．14 D．16 10．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，，则式子的值为_________． 12．如果数据3，5，，9，10的平均数是，那么这组数据的中位数与方差分别是____________． 13．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 14．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 15．已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 16．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解答 (1)计算： (2)先化简，再求值． 其中 18．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 19．每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图） B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据： A班 B班 平均数 8.2 中位数 8 8.5 众数 8 方差 1.56 0.84 根据以上信息，解答下列问题． (1)补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________； (2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ (3)为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可） 20．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 21．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 22．按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 23．如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点B和点C的坐标； (2)为轴上点右侧一动点，以，为邻边作，连接，． ①求的最小值； ②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 24．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下册期末必刷卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 2．某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（     ） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是55分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分 【答案】D 【分析】根据表格信息，结合总人数、众数、中位数、平均数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该班总人数为 ，故A选项结论正确，不符合题意； B．成绩为55分的人数最多，为8人，即该班成绩的众数是55分，故B选项结论正确，不符合题意； C．40个数据从小到大排列后，中位数是第20和第21个数据的平均数，前四个成绩的总人数为 ，可得第20和第21个数据都是55分，∴ 中位数为 分，故C选项结论正确，不符合题意； D．计算平均数得：，即平均数不是55分，故D选项结论错误，符合题意． 3．有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 4．如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正多边形的性质求得，，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得． 【详解】解：由正多边形的性质可知， ，，， ，， ． 5．如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据垂直平分线的性质得出，可得，根据可得的最小值为，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点，，三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为的长， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 6．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．24 B．18 C． D．28 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，平移的性质，坐标与图形；设当向右平移到位置时，点与点重合，根据题意得出的长，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设当向右平移到位置时，点与点重合，此时在直线上， ， ， 将代入中得：，即， ，即， ， 则线段扫过的面积． 故选：D． 7．在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质及一次函数的性质，根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】解：A项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； B项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项符合题意； C项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； D项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项不符合题意， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中线段AB两端点的坐标分别为，点为轴上一点，若为直角三角形，则这样的P点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设，分三种情况讨论：；，，根据勾股定理构造关于p的方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，，， 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴； 综上，为直角三角形，则这样的P点有或或，共3个． 9．如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以为一组邻边作平行四边形，已知，，连接交于点G，当最小时，则四边形的周长为（     ） A． B． C．14 D．16 【答案】A 【分析】先由四边形是平行四边形，得到，则根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时取得最小值，此时四边形是菱形，得到，再根据勾股定理求出，最后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 如图，根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时取得最小值， ∴此时四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 10．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 12．如果数据3，5，，9，10的平均数是，那么这组数据的中位数与方差分别是____________． 【答案】5，8.8 【分析】根据平均数的定义列出方程求解的值，再计算中位数和方差． 【详解】解：由题意，数据的平均数为， 则， 即， 解得， 数据组为，排序后中位数为5，平均数为6，方差为． 故答案为5，8.8． 【点睛】本题考查了平均数，中位数和方差，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 13．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 14．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，构造直角三角形，利用已知点的坐标点和勾股定理求出点的坐标，再利用平行四边形的性质证三角形全等，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，， 在中，， 如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为， 则， ， ∵点B的坐标为， ∴， 在中，， 在和中，， ∴，， 又∵点D在第二象限， ∴点D的坐标为． 15．已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 【答案】 【分析】画出三个函数的公共部分，最小值即求三个函数的公共部分的最小值． 【详解】解：由题意，画出三个函数的图象如下： ∵无论取何值，总取，，中的最大值， ∴的最小值是和的交点的纵坐标， 联立，解得， ∴的最小值为. 16．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 【答案】 【分析】先根据函数图象得到、的长度，再利用勾股定理求得的长度，最后利用三角形中位线的性质即可求得点P运动至的中点处时，的长． 【详解】解：根据函数图象，可得，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵当点P运动至的中点时，是的中位线， ∴此时． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解答 (1)计算： (2)先化简，再求值． 其中 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴ ． 18．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【答案】(1)20 (2)8，4 (3)甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读图是解题的关键： （1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息作答即可； （2）根据图象可知，甲无人机升高，乙无人机升高，进行求解即可； （3）用时甲的高度减去乙的高度即可． 【详解】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 19．每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图） B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据： A班 B班 平均数 8.2 中位数 8 8.5 众数 8 方差 1.56 0.84 根据以上信息，解答下列问题． (1)补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________； (2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ (3)为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可） 【答案】(1)图见解析，， (2)25名 (3)B班阅读氛围更好．理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）． 【分析】（1）先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可； （2）用样本估算总体方法求解即可； （3）比较两班平均分或中位数大小即可得出结论． 【详解】（1）解：成绩为10分的人数， 补全条形统计图如图所示： 由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即， ． （2）解：（名）． （3）解：B班阅读氛围更好． 理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）． 20．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 (2)售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【详解】（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． （2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为． 中，， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 22．按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①；②C；③ (2)①，；② 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为， 此时，， 周长的最大值为：． 23．如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点B和点C的坐标； (2)为轴上点右侧一动点，以，为邻边作，连接，． ①求的最小值； ②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①的最小值为；②． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）①作C点关于x轴的对称点G，连接，则，过点G点作，过点N作，交于H点，则四边形是平行四边形，，根据，，求出，则的最小值为的长； ②过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； （2）解：①作C点关于x轴的对称点G，连接，则， 过点G点作，过点N作，交于H点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴由平移可得：， ∵， ∴的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为； ②能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、轴对称求最短距离等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 24．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $