7.5正态分布 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以题载法构建正态分布从概念到应用的完整训练体系，通过分层题型培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题|定义法识别参数μ,σ|从密度函数定义到期望方差本质| |性质应用|6题|对称性求概率、3σ原则|性质推导→概率计算→图像分析| |实际情境|5题|区间概率估算、决策模型|实际问题→正态建模→结果解释| |综合应用|2题|分布列与期望、统计推断|知识整合→数学语言表达现实问题|

7.5正态分布 练习 一、单选题 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．已知随机变量服从正态分布，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（    ） （参考数据：若，则） A．3413 B．5120 C．6827 D．10328 4．模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（    ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 5．已知随机变量，，这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知随机变量X服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 8．某产品参数X服从正态分布，按照16%，34%，34%，16%的比例按参数从高到低将产品划分为1、2、3和4四个品级．若某个产品的参数为192，则其品级是（   ） 附：，， A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．小张上班有时坐地铁，有时骑电动车，他各记录了100次坐地铁和骑电动车上班所用的时间，经数据分析得到：坐地铁平均用时30分钟，样本标准差为6；骑电动车平均用时36分钟，样本标准差为2．已知随机变量，则．假设小张坐地铁用时X和骑电动车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若某天有40分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择骑电动车 D．若某天有37分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁 10．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：)服从正态分布，且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 三、填空题 12．设，且，则______． 13．已知随机变量服从正态分布，则________． 14．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 四、解答题 15．某科技公司生产精密零件，零件质量指标．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该公司生产零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测得其中有4个优质品，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望．附：若，则，． 16．某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 17．某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 18．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C C D B BCD ABD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 2．D 【分析】根据随机变量期望及方差的性质计算求解 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，， 由随机变量期望与方差的性质得， 3．C 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 4．C 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性，结合给定的定义逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，因此，B正确； 对于C，，， 因此区间不具有较好构建度，C错误； 对于D，，而， 因此区间具有较好构建度，D正确. 5．C 【详解】对于A，正态曲线对称轴为， 由图可知，的对称轴在左，的对称轴在右，故，故A错误； 对于B，越小，曲线越瘦高，的曲线更瘦高，说明，故B错误； 对于C， ，对，因，， 由于在均值左侧， ，故 ， 因此，故C正确； 对于D， 与 相等，故D错误. 6．C 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 7．D 【分析】应用正态分布概率计算求解. 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 8．B 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性得，再结合题意即可求得答案. 【详解】因为，所以，，，， 因为， 所以， 所以，按照16%，34%，34%，16%的比例按参数从高到低将产品划分为1、2、3和4四个品级对应的的范围分别是：，，，， 所以，当某个产品的参数为192，则其品级是2 9．BCD 【详解】根据题意可知，故A选项错误，B选项正确. 若某天有40分钟可用，，. ，且，. 所以小张要想尽可能不迟到应该选择电动车，C选项正确. 若某天有37分钟可用，则, ，且，. 所以小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁，D选项正确. 10．ABD 【详解】由正态分布的对称性可知，，故，A正确； ，故，B正确； ，，故，C错误； 因为，所以， 故，D正确． 11．AB 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 12．/ 【分析】根据正态分布的对称性可得，，即可求概率. 【详解】因为， 所以， 所以， 两式相加得，所以. 故答案为：. 13．/ 【详解】因为，所以正态密度曲线关于直线对称，得到. 14．23 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 15．(1) (2) 1 2 3 2 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用独立重复试验的概率公式求解. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由，得， 则从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取2个，恰好有1个为优质品的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 16．(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 17．(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 18．(1)70.5 (2)人 (3) 【分析】（1）代入平均数公式求解； （2）首先根据参考数据计算，再计算人数； （3）根据（2）的结果，转化为二项分布求概率. 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 学科网（北京）股份有限公司 $