考点10 正态分布（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

考点10 正态分布 考点一：正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 考点二：正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 考点三：三个特殊区间内取值的概率值及原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 题型一：正态密度函数 【例1】如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 【答案】 5 1 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 【例2】（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 【变式1-1】若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【详解】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 【变式1-2】（多选）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【答案】ACD 【详解】对于A，根据正态密度曲线可知，， ，故，所以曲线关于直线对称正确； 对于B，当时，的峰值为，故不正确； 对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确； 对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确. 故选：ACD 【变式1-3】（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为100 B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大 【答案】AC 【详解】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确； ，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确； 根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误； 故选：AC 题型二：正态曲线的特点 抓住曲线关于对称、在处最高、越小越瘦高、与轴围成面积为这几个关键点，直接根据特点判断图像、参数或命题正误。 【例3】设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 【例4】如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】B 【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确； 乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确； 由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确； 由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确. 故选：B. 【变式2-1】（多选）已知三个正态分布密度函数 (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是（   ） A．μ1＜μ2＝μ3 B．σ1＝σ2＜σ3 C．μ1>μ2＝μ3 D．σ1＝σ2>σ3 【答案】AB 【详解】正态分布关于对称，且越大图象的对称轴越靠近右边， 故第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且二，三两个的均值相等，故. 越小，曲线越瘦高，则第二个图象要比第三个的要小，故. 故选：AB. 【变式2-2】（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示， 则下列说法中正确的是（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则. A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【答案】ACD 【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称， 所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分， 故选项A正确，B错误； 因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”， 所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右， 则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小， 故选项C正确； 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为， 故选项D正确． 故选：ACD． 【变式2-3】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 题型三：正态曲线的对称性 利用关于对称的核心性质，，，把不对称区间转化为对称区间计算，快速化简概率表达式。 【例5】已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】已知随机变量，实数满足， 所以，解得. 【例6】已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 【答案】/ 【详解】因为随机变量满足，,， 由正态分布的对称性可得，即，所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 【变式3-1】已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 【答案】（答案不唯一，也可以是中的任何一个） 【详解】，，，， 的负整数的值为. 所以答案不唯一，可以是中的任何一个. 【变式3-2】已知随机变量服从正态分布，且 ，则等于___________． 【答案】 【详解】由随机变量，可知正态分布曲线关于均值对称， 已知，因此， 由对称性可得：和关于对称， 因此， . 【变式3-3】已知随机变量，且正数满足，则的最小值为_____________. 【答案】9 【详解】因为随机变量，正数满足， 有对称性可知，即， 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9 题型四：利用三个特殊区间求概率 【例7】某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【例8】（多选）某老旧小区进行设备节能改造工程，小区内共有700户，其中小户型有550户，其余均为大户型．现采用分层随机抽样的方法选取56户来统计节能结果，结果显示抽取的a户小户型平均每月可节约用电7度，抽取的b户大户型每月可节约用电21度，已知该小区的所有住户每月可节约用电的度数近似服从正态分布，近似为样本均值，则（   ） 附：若，则，， A．， B． C． D．该小区每月可节约用电的度数低于6度的约有16户 【答案】ABD 【详解】由题设（户），（户），A对； 所以，B对； 所以，则，C错； ， 所以户，D对. 故选：ABD 【变式4-1】若，则______．（假设，则，，．） 【答案】0.1573 【详解】因为，所以，则 ． 故答案为：. 【变式4-2】（多选）某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每年第三季度日平均降雨量（单位：毫米）X服从正态分布，则（   ）（若随机变量Z服从正态分布，则） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，则， A：，对； B：，错； C：，对； D：，错； 故选：AC 【变式4-3】（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（    ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，.） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可设， 由题意可得：，所以A正确，B错误； ， ， ， ，故C错误； ， ， ，故D正确. 故选：AD． 题型五：标准正态分布 标准正态分布是的，一般正态分布用化为标准正态，再用对称性或查表求概率，牢记。 【例9】随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 【答案】/ 【详解】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 【例10】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 【变式5-1】随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则__________．（用字母表示） 【答案】 【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 【变式5-2】《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A．23 B．29 C．36 D．43 【答案】B 【详解】由题意知：～则有， 设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40 ∴有原始分 而，由对称性知 ∴有，即 故选：B 【点睛】本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。注意正态分布的对称性应用 【变式5-3】产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，即， 解得， 又，则，解得. （2）因为，所以，， 记指标在之内的件数为，则， 所以. 题型六：正态分布的实际应用 先从题目中找到和确定分布模型，再把实际问题转化为区间概率计算，最后用原则或特殊区间求值，结合题意给出结论即可。 【例11】（多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：，A项正确； 对于B：，B项正确； 对于C：，C项错误； 对于D：，D项正确． 故选：ABD. 【例12】某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 【变式6-1】（多选）根据国家质量监督检验标准，保温杯的密闭性是重要的参考标准，为监控一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个保温杯，并检测其密封性.根据长期生产经验，可认为此条生产线正常状态下生产的保温杯的密封性参数X服从正态分布.假设生产状态正常.记Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量，则（   ） 附：若随机变量X服从正态分布，则①；②；③；参考数据： A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得：， 因为Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量， 所以， 即，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误，D正确； 故选：BD. 【变式6-2】某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值， 令，则， 因此有 . 【变式6-3】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 题型七：正态分布与其他分布的综合 【例13】新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)100 (2)0.2 (3)分布列见解析，1.6 【分析】 【详解】（1）. （2）因为，所以， 所以. （3）设1人获赠库车小白杏的个数为，则，，. 依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.34 0.12 0.09 所以. 【例14】某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 【变式7-1】中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子100次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于60的概率为______．（保留小数点后四位）附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】 【详解】由题意，随机变量，其中 所以， 又因为且，由中心极限定理可知服从正态分布， 故答案为:. 【变式7-2】毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 【变式7-3】某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】(1)25241人 (2) 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【分析】 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. （2）因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 一、单选题 1．设随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【详解】易知正态分布关于对称，因此， 又，所以, 所以. 2．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 【答案】C 【详解】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选:C. 3．某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：因为甲零件的平均长度与乙零件相同，所以，所以A错误. B：正态分布关于均值对称，所以，所以B错误. C：因为甲零件的离散程度越大，所以方差更大，即，所以C正确. D：因为，在坐标轴上在的右侧，，所以D错误. 4．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，，所以， 因为，所以， 而，A，B错误， ，所以， 故，C正确，D错误； 5．已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 6．已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】B 【详解】由连续型随机变量，根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 但函数，即表示正态分布密度函数与及轴围成的面积， 显然有，且函数是递增函数，故AC错误； 由于，可猜想的图象关于点对称， 再进行证明，即证， 所以的图象关于点对称，故B正确，D错误； 故选：B． 7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 二、多选题 8．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（   ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为20%，则 C．越大，的值越小 D．越小，评分在的概率越大 【答案】AD 【详解】对于A，由题意可知，， ， ，由对称性可知， ，故A正确； 对于B，由题意可知，， 因为，所以，故B不正确； 对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以， 不会随的变化而变化，故C错误； 对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”， 因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，故D正确； 9．目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75 【答案】AB 【详解】对于选项A，，，， ，， ，，故选项A正确； 对于选项B， ，故选项B正确； 选项C，，， 故选项C错误； 选项D，，，，， 两组电池能否正常使用相互独立， 这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为，故选项D错误. 故选：AB. 三、填空题 10．已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 11．已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 12．二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为______.(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 【答案】 【详解】由题意得随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为， 同时设正面向上的次数为，则， 所以，， 此时符合，故有， 且，，设所求概率为， 因为， 所以由正态分布对称性得. 故答案为： 四、解答题 13．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 14．某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 15．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】 【详解】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点10 正态分布 考点一：正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 考点二：正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 考点三：三个特殊区间内取值的概率值及原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 题型一：正态密度函数 【例1】如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 【例2】（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【变式1-1】若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【变式1-2】（多选）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【变式1-3】（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为100 B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大 题型二：正态曲线的特点 抓住曲线关于对称、在处最高、越小越瘦高、与轴围成面积为这几个关键点，直接根据特点判断图像、参数或命题正误。 【例3】设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【例4】如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【变式2-1】（多选）已知三个正态分布密度函数 (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是（   ） A．μ1＜μ2＝μ3 B．σ1＝σ2＜σ3 C．μ1>μ2＝μ3 D．σ1＝σ2>σ3 【变式2-2】（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示， 则下列说法中正确的是（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则. A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【变式2-3】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 题型三：正态曲线的对称性 利用关于对称的核心性质，，，把不对称区间转化为对称区间计算，快速化简概率表达式。 【例5】已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例6】已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 【变式3-1】已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 【变式3-2】已知随机变量服从正态分布，且 ，则等于___________． 【变式3-3】已知随机变量，且正数满足，则的最小值为_____________. 题型四：利用三个特殊区间求概率 【例7】某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【例8】（多选）某老旧小区进行设备节能改造工程，小区内共有700户，其中小户型有550户，其余均为大户型．现采用分层随机抽样的方法选取56户来统计节能结果，结果显示抽取的a户小户型平均每月可节约用电7度，抽取的b户大户型每月可节约用电21度，已知该小区的所有住户每月可节约用电的度数近似服从正态分布，近似为样本均值，则（   ） 附：若，则，， A．， B． C． D．该小区每月可节约用电的度数低于6度的约有16户 【变式4-1】若，则______．（假设，则，，．） 【变式4-2】（多选）某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每年第三季度日平均降雨量（单位：毫米）X服从正态分布，则（   ）（若随机变量Z服从正态分布，则） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（    ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，.） A． B． C． D． 题型五：标准正态分布 标准正态分布是的，一般正态分布用化为标准正态，再用对称性或查表求概率，牢记。 【例9】随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 【例10】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【变式5-1】随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则__________．（用字母表示） 【变式5-2】《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A．23 B．29 C．36 D．43 【变式5-3】产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 题型六：正态分布的实际应用 先从题目中找到和确定分布模型，再把实际问题转化为区间概率计算，最后用原则或特殊区间求值，结合题意给出结论即可。 【例11】（多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（   ） A． B． C． D． 【例12】某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【变式6-1】（多选）根据国家质量监督检验标准，保温杯的密闭性是重要的参考标准，为监控一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个保温杯，并检测其密封性.根据长期生产经验，可认为此条生产线正常状态下生产的保温杯的密封性参数X服从正态分布.假设生产状态正常.记Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量，则（   ） 附：若随机变量X服从正态分布，则①；②；③；参考数据： A． B． C． D． 【变式6-2】某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【变式6-3】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 题型七：正态分布与其他分布的综合 【例13】新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 【例14】某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【变式7-1】中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子100次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于60的概率为______．（保留小数点后四位）附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式7-2】毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【变式7-3】某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 一、单选题 1．设随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 2．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 3．某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 二、多选题 8．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（   ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为20%，则 C．越大，的值越小 D．越小，评分在的概率越大 9．目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75 三、填空题 10．已知随机变量，且，则___________ 11．已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 12．二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为______.(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 四、解答题 13．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 14．某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 15．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $