8.6.2 第1课时　直线与平面垂直的判定及直线和平面所成的角分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学直线与平面垂直同步练，新授课场景下采用三级分层设计，通过基础巩固、能力提升到素养创新的递进路径，培养空间观念、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|线面垂直判定、线面角计算|以选择、填空为主，如空间四边形对角线关系辨析，夯实概念理解| |B级|轨迹问题、综合证明|含多选题与中档解答题，如三棱锥中线面垂直性质应用，提升逻辑推理| |C级|跨知识综合应用|创新解答题，如四棱锥中平行证明与异面直线所成角计算，发展空间想象|

8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定及直线和平面所成的角 A级 必备知识基础练 1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 2.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题正确的是(　　) A.若a⊥α,a⊥β,则α∥β B.若a⊥α,b⊥α,则a∥b C.若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α∥β D.若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a∥b 3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是　　　　　.(填“平行”或“垂直”)  (第4题图) 5.如图,在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)  (第5题图) 6.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为　　　　　.  (第6题图) 7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与直线AC所成角的大小为　　　　　;直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为　　　　　. (第7题图) 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE. 9.(2024新高考Ⅱ节选)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.求证:BC⊥AD. B级 关键能力提升练 10.如图,点A∈α,点B∈α,点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A,B的动点,且PC⊥AC,则动点C在平面α内的轨迹是(　　) (第10题图) A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.两条平行直线 D.半圆,但要去掉两个点 11.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论中正确的有(　　) (第11题图) A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论: ①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④AD1与BD为异面直线. 其中所有正确结论的序号是　　　　　.  13.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点. (1)求证:AD⊥平面BCC1B1; (2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值. C级 学科素养创新练 14.如图,在四棱锥E-ABCD中,DA⊥平面ABE,DA∥BC,BC=1,DA=2,F是DE的中点. (1)证明:CF∥平面ABE; (2)若BA=BE=2,直线DE与平面ABE所成角为45°,求直线CF与直线DB所成角的余弦值. 参考答案 1.C　如图,取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C. 2.AB　对于A,若a⊥α,a⊥β,由线面垂直的性质及面面平行的定义可得α∥β,故A正确;对于B,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质定理可得a∥b,故B正确;对于C,若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故C错误;对于D,若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a与b可能平行、相交或异面,故D错误.故选AB. 3.C　如图,连接AC. ∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角. 又AC=,PA=, ∴tan∠PCA=. ∴∠PCA=60°.故选C. 4.垂直　∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO. ∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1. 又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O. ∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC, ∴EF⊥平面BB1O. 5.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一)　只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB,故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可. 6.　 如图,取A'B'的中点D,连接C'D,BD. ∵底面△A'B'C'是正三角形, ∴C'D⊥A'B'. ∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D. 又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A', 故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角. 由等边三角形A'B'C'的边长为1,得C'D=, 在Rt△BB'C'中,BC'=,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为. 7.　 如图,连接A1C1,BC1,△BA1C1为等边三角形. 又AC∥A1C1,所以直线A1B与直线AC所成角的大小为. 因为四边形BCC1B1是正方形, 所以BC1⊥B1C.又DC⊥平面BCC1B1,所以BC1⊥CD. 又因为CD∩B1C=C,所以BC1⊥平面A1B1CD. 设BC1交B1C于点O,连接A1O,则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△OA1B中,sin∠OA1B=,所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为. 8.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE, 所以△PAE≌△CDE, 所以PE=CE, 即△PEC是等腰三角形. 又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC. 又因为BP==2=BC, F是PC的中点,所以BF⊥PC. 又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF. 因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE. 9. 证明如图,连接AE,DE,因为DA=DB=DC,∠ADC=∠ADB=60°, 所以△ADC≌△ADB, 所以AB=AC. 因为E为BC中点,所以BC⊥AE. 又DB=DC,所以BC⊥DE, 又DE∩AE=E,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥AD. 10.B　连接BC(图略).因为点A∈α,点C∈α,所以AC⊂α.因为PB⊥α,所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC,所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以动点C在以AB为直径的圆上,但不与点A,B重合. 11.ABC　因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,故A正确; 因为BC⊥平面PAB,AD⊂平面PAB,得BC⊥AD.又PA=AB,D是PB的中点,所以AD⊥PB.又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AD⊥平面PBC.因为PC⊂平面PBC,所以AD⊥PC,故B,C正确; 由BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,得BC⊥PB,因此PB与CD不垂直,从而PB不与平面ADC垂直,故D错误.故选ABC. 12.②③④　①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误; ②连接BC1,A1C1(图略).易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C, 因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确; ③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=,故③正确; ④因为AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确. 13.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, ∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. 又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1. (2)解如图,连接C1D. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1, 则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角. 在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=, 即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 14. (1)证明如图,取AE中点G,连接FG,GB. 因为F是DE的中点,所以FG∥DA且FG=DA,又BC∥DA,BC=DA, 所以FG∥BC且FG=BC, 所以四边形BCFG为平行四边形, 所以FC∥BG, 又BG⊂平面ABE,FC⊄平面ABE, 所以CF∥平面ABE. (2)解由(1)可知∠DBG即为直线CF与直线DB所成角或其补角,连接DG,因为DA⊥平面ABE, 所以∠DEA即为直线DE与平面ABE所成角, 所以∠DEA=45°,所以AE=DA=2, 所以△ABE为正三角形. 所以BG=,DG=,BD=2, 所以△DBG是以G为直角顶点的直角三角形, 所以cos∠DBG=. 故直线CF与直线DB所成角的余弦值为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $