8.6.2 直线与平面垂直（第1课时：直线与平面垂直的判定定理及应用）同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 该同步练习通过“例题引领-基础达标-能力提升”三层设计，聚焦直线与平面垂直判定定理的理解与应用，梯度合理，覆盖从概念辨析到综合探究的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|判定定理直接应用、异面直线成角计算|含证明与计算，示范解题规范| |A组基础达标|定义辨析、简单几何体垂直关系|单选/多选/填空/解答多题型，巩固基础考点| |B组能力提升|动态问题、折叠情境、探究性证明|结合正方体动态点、梯形折叠等复杂情境，提升推理与创新意识|

8.6.2　直线与平面垂直 （第1课时：直线与平面垂直的判定定理及应用） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 【例2】如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.证明：； 【详解】证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. 【例3】如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)当时，MN⊥平面PCD 【分析】（1）根据题意可证∥且，则为平行四边形，即∥，结合线面平行的判定定理说明；（2）根据线面垂直的判定和性质均可得MN⊥平面PCD⊥PD． 【详解】（1）取的中点，连接 ∵分别为的中点，则∥且 又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且 则∥且，即为平行四边形，则∥ 平面PAD，平面PAD ∴平面PAD （2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD ∴⊥PD，且为的中点 ∴ 若且为的中点，则⊥PD ∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD 四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD ，则CD⊥平面PAD 平面PAD，则⊥CD ，则⊥平面PCD ∥，则MN⊥平面PCD 综上所述：当时，MN⊥平面PCD 【A组基础达标】 一、单选题 1．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 2．如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用长方体的结构特征直接判断得解. 【分析】在长方体中，与平面垂直的棱有、、、，共条. 3．在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（   ） A． B． C．与异面但不垂直 D．与相交但不垂直 【答案】B 【详解】在正方体中，因为， 且平面，所以平面， 又因为（与直线不重合）平面，所以.    4．如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，证明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又为的中点，故时，满足要求. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 要使，其中平面，故需平面， 连接，则平面，故只需， 又为的中点，故时，满足要求. 故选：C. 5．图1圆柱形笔筒的底面直径为（壁的厚度忽略不计），母线长为，直观图如图2所示，， 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点O，连接，，证得平面，三棱锥的体积，计算得到答案； 【详解】由，易得，取的中点O，连接，， 则，，又，，平面， 所以平面， 所以， 故选：C. 6．在正方体中，下列选项错误的是（   ） A．与异面 B． C．平面平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据异面直线的性质即可求解A，根据线面垂直的性质可判断B，根据线线平行可证明线面平行判断D，根据面面平行的判定求解C. 【详解】由于,而与相交，结合正方体的性质易知与异面，所以A正确； 因为平面，平面，所以， 又在正方体中易知，， ，平面，所以平面， 又平面，所以，所以B正确； 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，所以C正确； 因为，平面，平面， 所以平面，所以D错误．故选D． 故选：D 二、多选题 7．如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】假设存在点使得，再根据点线面的位置关系得出矛盾可得A错误，利用面面平行的判定定理即可证明平面平面，再结合面面平行性质可得B正确，利用线面垂直判定定理及其性质可得C正确，假设平面，由线面垂直性质可得出平面与平面平行，与题意不符，可得D错误. 【详解】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示， 过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又因为，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误， 故选：BC. 8．设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 【答案】ACD 【分析】结合实例，依据空间中直线、平面之间的位置关系，对A、B、C、D判断正误即可． 【详解】对于A，如图， 在平面内存在无数条直线与直线m垂直，A正确； 对于B，在直线m上取一点， 过该点作平面的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面垂直， 过直线m有且只有一个平面与平面垂直，B错误； 对于C，类似于选项A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面， C正确; 对于D，如图， ，，可作的平行平面， 则且，D正确. 故选： 三、填空题 9．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 【答案】 【分析】连接，通过证明， ，证得平面，由此证得，由此求得，进而通过勾股定理求得的长. 【详解】连接，因为平面，平面， 所以，又，， 所以平面，又平面，则， 由矩形可知. 因为， 所以,解得， 则， 故答案为：. 10在直三棱柱中，，当底面满足条件__________时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据由线面垂直可得线线垂直结合直三棱柱的性质可得类似于的结论即可. 【详解】如图所示，连接， 由，可得，因此，要证， 则只要证明平面，即只要证即可， 由直三棱柱可知，只要证即可． 因为，，故只要证即可． （或者能推出的条件，如等） 答案：（答案不唯一） 四、解答题 11．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 故平面， 12．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 【B组能力提升】 1．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 2．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确； 假设平面，推出，矛盾，B错误； 由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误； 由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误. 【详解】对于A，在正方形中，，， 所以在四面体中，，， 又平面，，所以平面，故选项A正确； 对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误； 对于C，因为面，面，所以， 又，平面，，所以平面， 假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误； 对于D，因为面，面，所以， 若平面，平面，则， 平面，故，显然矛盾，故D错误. 3．如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为______.    【答案】 【分析】取的中点，证得，，得到平面，得到，进而证得平面，得到点在线段上运动，结合，即可求解. 【详解】解：取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为正方形，所以，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以点在线段上运动， 在等腰直角中，由，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得线段的长的最大值为. 故答案为：.      4．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 【答案】1或2/2或1 【分析】由已知判断平面，然后说明，设，通过勾股定理可求出. 【详解】由已知得平面，又平面，所以， 若CF⊥平面，则必有， 设，则，，， 所以由得，解得或2， 所以当或2时，CF⊥平面. 故答案为：1或2. 5．如图1，在直角梯形ADCE中，AD//EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB⊥EC，点F为线段BC上的一点．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使E1F⊥BC，如图2． （Ⅰ）求证：AB//平面CDE1； （Ⅱ）求证：E1F⊥AC； （Ⅲ）在E1D上是否存在一点M，使E1C⊥平面ABM．说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）由已知可证AB//CD，又CD平面CDE1，AB⊄平面CDE1，即可判定AB//平面CDE1； （Ⅱ）由AB⊥BF，AB⊥BE1，可证AB⊥FE1，又E1F⊥BC，可得E1F⊥平面ABC，从而可证E1F⊥AC； （Ⅲ）取CE1的中点G，连接BG，经点G，在△E1CD中作GM//CD，交E1D与点M，连接AM，BM，由CB=BE1，利用等腰三角形的性质可得CE1⊥BG，又由CE1⊥AB，可证CE1⊥平面ABG，利用GM//CD//AB，可知点M在平面ABG上，从而可得E1C⊥平面ABM． 【详解】证明：（Ⅰ）∵在直角梯形ADCE中，AD//EC，∠ADC=90°，AB⊥EC， ∴AB//CD， ∵CD平面CDE1，AB⊄平面CDE1， ∴AB//平面CDE1； （Ⅱ）∵AB⊥BF，AB⊥BE1，BF∩BE1=B， ∴AB⊥平面BFE1， ∵FE1⊂平面BFE1， ∴AB⊥FE1， 又∵E1F⊥BC，BC∩AB=B， ∴E1F⊥平面ABC， ∵AC⊂平面ABC， ∴E1F⊥AC； （Ⅲ）取CE1的中点G，连接BG，在△E1CD中作GM//CD，交E1D与点M，连接AM，BM， ∵CB=BE1， ∴CE1⊥BG， 又∵CE1⊥AB，AB∩BG=B， ∴CE1⊥平面ABG， ∵GM//CD//AB， ∴点M在平面ABG上， ∴E1C⊥平面ABM． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　直线与平面垂直 （第1课时：直线与平面垂直的判定定理及应用） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面．(2)求异面直线与所成的角． 【例2】如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且。证明：； 【例3】如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 【A组基础达标】 一、单选题 1．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 3．在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（   ） A． B． C．与异面但不垂直 D．与相交但不垂直 4．如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．图1圆柱形笔筒的底面直径为（壁的厚度忽略不计），母线长为，直观图如图2所示，， 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．在正方体中，下列选项错误的是（   ） A．与异面 B． C．平面平面 D．平面 二、多选题 7．如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 8．设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 三、填空题 9．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 10．在直三棱柱中，，当底面满足条件__________时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 四、解答题 11．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 12．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【B组能力提升】 1．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 2．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 3．如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为______.    4．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 5．如图1，在直角梯形ADCE中，AD//EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB⊥EC，点F为线段BC上的一点．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使E1F⊥BC，如图2． （Ⅰ）求证：AB//平面CDE1； （Ⅱ）求证：E1F⊥AC； （Ⅲ）在E1D上是否存在一点M，使E1C⊥平面ABM．说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $