期末提分练案　专题　直线与平面垂直 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以“直线与平面垂直”为核心，通过A级基础巩固、B级能力提升、C级创新探究的三层设计，实现从概念理解到综合应用再到素养发展的递进，适配期末复习分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|线面垂直判定、线面角、简单几何体中的线线角与位置关系|选择、填空为主，聚焦基础概念辨析与直接应用，培养空间观念| |B级|复杂几何体（阳马、三棱锥）、多面体与球、综合证明与距离计算|解答题占比高，结合《九章算术》情境，提升推理能力与运算能力| |C级|探究性线面平行与垂直关系|开放性问题，需构造辅助线与推理论证，发展创新意识与数学表达|

专题　直线与平面垂直 A级 必备知识基础练 1.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法中正确的是(　　) A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l⊥n D.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α 2.若斜线段AB的长是它在平面α内射影长的2倍,则AB与平面α所成角的大小为(　　) A.60° B.45° C.30° D.90° 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,B1D1的中点,则直线EF与直线AA1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 4.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,△PAC是等腰三角形,PA=4,AB⊥BC,AB=2,在平面PCB内作CH⊥PB交PB于点H,点D是PA的中点,则BH和平面CDH所成的角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 5.平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是　　　　　.  6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA=PB,DA=DB=,点E,F分别为AB和PB的中点,AB=2,PD=PE=1. (1)证明:CF⊥PE; (2)求直线CF与平面PDE所成角的正弦值. B级 关键能力提升练 7.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=1,AB=AD=2,则点A到平面PBD的距离为(　　) A. B. C. D. 8.(多选题)已知三棱锥P-ABC中,O为AB中点,PO⊥平面ABC,∠APB=90°,PA=PB=2,则下列说法中正确的是(　　) A.若O为△ABC的外心,则PC=2 B.若△ABC为等边三角形,则AP⊥BC C.若AB⊥BC且AB=BC,则三棱锥P-ABC的外接球体积为 D.当∠ACB=90°时,PC与平面PAB所成角的范围为 9.若棱长为的正四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,则球O的半径为　　　　;球O的表面积为　　　　.  10.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=4,BC=CD=2,△PAD为等边三角形,BD⊥PA. (1)证明:BD⊥平面PAD; (2)求点C到面PBD的距离. 11.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E是BC上一点且BE=BC,PB⊥AE. (1)求证:AB⊥平面PAE; (2)求点C到平面PDE的距离. C级 学科素养创新练 12.如图,PA垂直矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PAD; (2)若PD与平面ABCD所成的角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD?求出α的度数并证明你的结论. 参考答案 1.D　对于A,由m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,得只有直线m与n相交时,可得l⊥α,故A错误; 对于B,由m⊂α,n⊥α,l⊥n,得l与m平行、相交或异面,故B错误; 对于C,由l∥m,m⊥α,n⊥α,得l∥n,故C错误; 对于D,由l∥m,l⊥α,得m⊥α.又因为m∥n,所以n⊥α. 故选D. 2.A　 如图,OB为斜线段AB在平面α内的射影,则∠ABO即为AB与平面α所成角的平面角, 由AB=2OB, 得cos∠ABO=, 又0°≤∠ABO≤90°,所以∠ABO=60°, 即AB与平面α所成角的大小为60°.故选A. 3.A　 如图,取BD的中点G,连接EG,FG,则AA1∥FG,且AA1=FG, 故直线EF与直线AA1所成的角为∠EFG. 因为AA1⊥平面ABCD,EG⊂平面ABCD,所以AA1⊥EG,FG⊥EG, 设AA1=FG=2a,EG=AD=a, 则tan∠EFG=.故选A. 4.C　因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥AB, 又因为AB⊥BC,且PC∩BC=C, 所以AB⊥平面PBC, 因为CH⊂平面PBC,所以AB⊥CH, 因为CH⊥PB,且AB∩PB=B, 所以CH⊥平面PAB,所以CH⊥PA, 因为△PAC是等腰三角形,点D是PA的中点, 所以CD⊥PA, 因为CH∩CD=C,所以PA⊥平面CDH, 所以∠PHD为BH和平面CDH所成的角, 因为PA=4,AB=2, 所以PC=AC=2,CB=2,PD=2, PB==2,PB·CH=PC·CB, 解得CH=,PH=, 所以sin∠PHD=.故选C. 5.垂直　∵O为平行四边形ABCD对角线的交点, ∴O为AC中点,又PA=PC, ∴PO⊥AC. 同理PO⊥BD,又AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD. 6.(1)证明取PE 的中点H,连接HD,HF,如图, ∵点E,F,H分别为AB,PB和PE的中点,底面ABCD是平行四边形, ∴HF∥AB∥DC,HF=EB=AB=DC,∴H,F,C,D四点共面, ∵DA=DB=,AB=2, ∴△ADB为等腰直角三角形,∴DE=1, ∵PD=PE=1,∴△PDE为等边三角形,∴DH⊥PE, ∵PA=PB,E为AB的中点,∴PE⊥AB,∴PE⊥DC, 又DH∩DC=D,DH,DC⊂平面DHFC, ∴PE⊥平面DHFC, ∵CF⊂平面DHFC,∴PE⊥CF. (2) 解取DC上靠近C的一个四等分点,连接HM,如图, 由(1)知,HF∥AB∥DC,HF=EB=AB=DC, ∴HF∥MC,HF=MC,∴CF∥MH, ∴直线MH与平面PDE所成的角即为直线CF与平面PDE所成的角,∵PA=PB,DA=DB=,E为AB的中点, ∴PE⊥AB,DE⊥AB, ∵PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE, ∴AB⊥平面PDE,∴DC⊥平面PDE, ∴∠MHD为直线MH与平面PDE所成的角, ∵DM=,DH=,∴HM=, ∴sin∠MHD=, ∴直线CF与平面PDE所成角的正弦值为. 7.B　∵侧棱PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD, ∴PB=,PD=,BD=2, ∴△PBD为等腰三角形, 则底边BD上的高为, 设点A到平面PBD的距离为h, 则四棱锥的体积为S△ABD×PA=S△PDB×h, ∴×2×2×1=×2×h, 则h=.故选B. 8.ACD　选项A,若O为△ABC的外心,则OA=OB=OC,又PO⊥平面ABC,得△POC≌△POA≌△POB,则必有PA=PB=PC,所以PC=2,选项A正确; 选项B,因为PO⊥平面ABC,则PO⊥BC,假设AP⊥BC,又PO∩AP=P,PO,AP⊂平面PAB,则BC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,得BC⊥AB,又△ABC为等边三角形,显然矛盾,故假设不成立,选项B错误; 选项C,若AB⊥BC且AB=BC,则三棱锥P-ABC的外接球大小与以PA,PB,BC为棱长的长方体的外接球大小相同,球的直径为2R==4⇒R=2,故外接球体积V=R3=,选项C正确; 选项D,若∠ACB=90°时,设PC与平面PAB所成角为θ, 可得OC=OA=OB=,PC=2,设C到平面PAB的距离为d,由VC-PAB=VP-ABC,可得d··2·2=AC·BC,即有AC·BC=2d≤=4,当且仅当AC=BC=2取得等号,可得d的最大值为,sin θ=,即有θ的范围为,选项D正确.故选ACD. 9.　9π　 如图,取BD中点G,连GC,AG,过A作AE⊥平面BCD,交GC于点E,则GC=,CE=GC=,AE==2, 设球心为O,球半径为r, 则r2=(2-r)2+()2,解得r=, ∴球O的表面积S=4πr2=4π×=9π. 10.(1) 证明如图,取AB中点E,连接DE,因为AB∥CD,∠ABC=90°,AB=4,BC=CD=2,所以四边形EBCD为正方形,△AED为等腰直角三角形, 则∠ADE=45°,∠BDE=45°,∠ADE+∠BDE=90°, 故BD⊥AD, 因为BD⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以BD⊥平面PAD. (2)解设点C到平面PBD的距离为h, 由(1)得PD=BD=2,BD⊥PD, 则△BDP面积为PD·BD=4, 取AD中点O,连接PO,则PO⊥AD,且PO=, 因为BD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD, 所以BD⊥PO,AD∩BD=D,AD,BD⊂平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD, 又△BCD面积为BC·CD=2, 所以三棱锥C-PBD的体积为VC-PBD=S△BDP·h=VP-BCD=S△BCD·PO=,解得h=, 即点C到平面PBD的距离为. 11.(1)证明∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD, ∴PA⊥AE, 又∵PB⊥AE,PB∩PA=P,PB,PA⊂平面PAB, ∴AE⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB, ∴AE⊥AB. 又∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴PA⊥AB, 又PA∩AE=A,PA,AE⊂平面PAE, ∴AB⊥平面PAE. (2)解由EC=BC=2=AD,且ABCD为梯形,AD∥EC,且AD=DC=2,则ADCE为菱形,所以AE=2, 由(1)得,AB⊥AE,又BE=4,所以∠ABE=30°, 则∠AEC=120° 从而有△CDE是边长为2的等边三角形. 在△PDE中,PE=PD=2,DE=2, 设C到平面PDE的距离为h, 由VP-ECD=VC-PDE,得S△ECD·PA=S△PDE·h, 即×2××2=×2××h, 解得h=,即C到平面PDE的距离为. 12.(1)证明 取PD的中点E,连接NE,AE,如图. ∵N是PC的中点, ∴NE∥DC且NE=DC. 又DC∥AB且DC=AB,AM=AB,∴AM∥CD且AM=CD, ∴NE∥AM,且NE=AM, ∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD, ∴MN∥平面PAD. (2)解 当α=45°时,MN⊥平面PCD,证明如下: ∵PA⊥平面ABCD, ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角. ∵∠PDA=45°,∴AP=AD,∴AE⊥PD. 又MN∥AE,∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD. 又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE,∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD, ∴MN⊥平面PCD. 10 学科网（北京）股份有限公司 $