10.1.1 有限样本空间与随机事件　10.1.2 事件的关系和运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦概率初步，核心涵盖有限样本空间、随机事件及事件的关系与运算。课堂导入通过抛硬币、过红绿灯等生活实例结合“过关自诊”判断与举例，引导学生从具体现象抽象出样本点、样本空间概念，为事件关系学习搭建基础支架。 其亮点是以“重难探究”为核心，通过无放回/有放回取球、掷骰子等实例，用列举法、Venn图直观呈现，培养学生用数学眼光观察随机现象、用数学思维辨析互斥与对立关系、用数学语言（集合符号）表达事件运算。帮助学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供结构化教学资源，助力课标落实。

第十章　概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 【课标要求】 1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念. 2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系. 3.理解事件A与事件B之间的关系,及并事件、交事件、互斥事件、互为对立事件等相关概念. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　有限样本空间的相关概念 1.随机试验:我们把对随机现象的　　　　和对它的　　　　称为随机试验,简称试验,常用字母　　　表示.  说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验. (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 若只有一个结果就不是随机试验了 实现 观察 E 4 2.样本点:我们把随机试验E的　　　　　　　　　　　称为样本点,一般用ω表示样本点.  3.样本空间:全体样本点的　　　　称为试验E的样本空间,一般用 Ω表示样本空间.  4.有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω=　　　　　　为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间.  名师点睛 样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同. 每个可能的基本结果 集合 {ω1,ω2,…,ωn} 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)随机试验的样本点一定是有限个.(　　) (2)随机试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个.(　　) × √ 2.你能举出生活中的随机试验吗? 提示 生活中的随机试验很多,例如抛硬币试验,掷骰子试验,过红绿灯路口等都是随机试验. 知识点二　事件的概念及分类 1.随机事件:样本空间Ω的　　　称为随机事件,简称事件.  2.基本事件:只包含　　　　　　的事件称为基本事件.  3.事件A发生:在每次试验中,当且仅当______________________,称为事件A发生.  4.必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称　　为必然事件.  5.不可能事件:空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称　　_____为不可能事件.  　每个事件都是样本空间Ω的一个子集 子集 一个样本点 A中某个样本点出现时 Ω ⌀ 名师点睛 应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分. 过关自诊 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)某人过红绿灯路口时遇到红灯是随机事件.(　　) (2)我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的极端情况,每个事件都看作样本空间Ω的子集.(　　) (3)只有当事件A中的样本点都发生了,事件A才发生.(　　) × √ √　 知识点三　利用集合的知识研究随机事件 符号 读法 含义 Venn图 B⊇A(或A⊆B) 事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) __________________________________　　　　　　　   ________________ 事件A与事件B相等 事件B包含事件A,事件A也包含事件B   A∪B(或A+B) ______________________________　　　　　　　 事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中   若事件A发生,则事件 B一定发生 A=B(B⊇A且A⊇B) 　 事件A与事件B的 并事件(或和事件) 符号 读法 含义 Venn图 ____________ 事件A与事件B的交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中   ____________ 事件A与事件B互斥 (或互不相容) 事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件   ___________,且________,  即=B,=A 事件A与事件B互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生   A∩B(或AB)　 A∩B=⌀　 　A∪B=Ω　 A∩B=⌀ 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)事件A发生,事件B与事件C不发生,则可表示为A.(　　) (2)事件A,B,C均不发生可表示为.(　　) (3)事件A,B,C至少有两个发生可表示为A∪B∪C.(　　) (4)若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B一定为互斥事件.(　　) √ √ √ × 2.如果事件A∪B是必然事件,那么事件A和事件B是对立事件吗? 提示 不一定.事件A和事件B是对立事件满足两个条件:①A∩B=⌀;②A∪B=Ω. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　试验的样本空间 【例1】 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y). (1)写出这个试验的样本空间; (2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件. 解 (1)当x=1时,y=2,3,4; 当x=2时,y=1,3,4; 当x=3时,y=1,2,4; 当x=4时,y=1,2,3. 因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}. (2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}. 规律方法　随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏. 变式探究若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间. 解 当x=1时,y可取1,2,3,4. 同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个. 所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. 探究点二　随机事件 角度1.随机事件的概念及分类 【例2】 (1)已知样本空间Ω={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},P={(1,1),(2,1)},则P为 (　　) A.基本事件 B.必然事件 C.随机事件 D.不可能事件 C 解析 (1)随机事件是在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,由随机事件的定义可得P为随机事件. (2)(多选题)下列现象中,是随机现象的有(　　 ) A.在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B.若a为整数,则a+1为整数 C.发射一颗炮弹,命中目标 D.检查流水线上一件产品是合格品 ACD 解析 (2)当a为整数时,a+1一定为整数,是确定性现象,其余3个均为随机现象.故选ACD. 变式训练1有下列事件: ①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾; ②实数的绝对值不小于零; ③某彩票中奖的概率为,则买100 000张这种彩票一定能中奖. 其中必然事件是(　　) A.② B.③ C.①②③ D.②③ A　 解析 ①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾,是不可能事件;②实数的绝对值不小于零,是必然事件;③某彩票中奖的概率为,仅代表可能性,所以买100 000张这种彩票不一定能中奖,是随机事件,所以其中是必然事件的为②. 角度2.用集合表示随机事件 【例3】 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数. (1)写出这个试验的样本空间; (2)求出试验的样本点的个数; (3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含义. 解 (1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. (2)这个试验的样本点个数为36. (3)事件A的含义为“抛掷红、蓝两枚骰子,掷出的点数之和为7”. 变式训练2连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. (1)写出对应的样本空间; (2)求这个试验的样本空间中样本点的个数; (3)写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示. 解 (1)样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}. (2)这个试验的样本点个数是8. (3)“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}. 探究点三　互斥事件、对立事件的判断 【例4】 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,则下列两个事件为互斥事件的是(　　) A.事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本” B.事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》” C.事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本” D.事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》” C　 解析 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,对于A,事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生,不为互斥事件,故A错误; 对于B,事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”能同时发生,不为互斥事件,故B错误; 对于C,事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生,是互斥事件,故C正确; 对于D,事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生,不为互斥事件,故D错误. 规律方法　1.一般判断互斥事件或对立事件时常从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).对于本例中的问题, 要把样本空间明确,再进行分析. 2.判断互斥事件的步骤 (1)确定每个事件包含的结果; (2)确定是否至少有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件不互斥,否则就是互斥的. 3.判断对立事件的步骤 (1)判断是互斥事件; (2)确定两个事件必然有一个发生,否则只互斥,但不对立. 变式训练3从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　　) A.取出2个红球和1个白球 B.取出的3个球全是红球 C.取出的3个球中既有红球也有白球 D.取出的3个球中不止一个红球 解析 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有“3个红球”,“1个红球2个白球”,“2个红球1个白球”,所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3个红球或2个红球1个白球”,即“3个球中不止一个红球”.故选D. D 探究点四　用简单事件的和或积表示复杂事件 【例5】 同时抛掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…,11,12中的一个,记事件A={点数之和是2,4,7,12},事件B={点数之和是2,4,6,8,10,12},事件C={点数之和大于8},则事件A∩B∩=_________________________.  {点数之和为2或4}　 解析 同时抛掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…,11,12中的一个,由题意可得A∩B={点数之和是2,4,12}, ={点数之和小于等于8}, 则A∩B∩={点数之和为2或4}. 【例6】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问: (1)事件D与A,B是什么样的运算关系? (2)事件C与A的交事件是什么事件? 解 (1)对于事件D,可能的结果为“1个红球、2个白球”或“2个红球、1个白球”,故D=A∪B. (2)对于事件C,可能的结果为“1个红球、2个白球”,“2个红球、1个白球”,“3个均为红球”,故C∩A=A. 规律方法　进行事件运算时应注意的问题 (1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 变式训练4从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件. (1)三次全取到次品; (2)只有第一次取到次品; (3)三次中至少有一次取到次品; (4)三次中恰有两次取到次品; (5)三次中至多有一次取到次品. 解 (1)A1A2A3　(2)A1 (3)A1∪A2∪A3　(4)A1A2∪A1A3∪A2A3 (5)A1A3∪A2 本节要点归纳 1.知识清单: (1)随件试验及样本空间. (2)随机事件的分类与表示. (3)事件的关系和运算. (4)互斥事件和对立事件. 2.方法归纳:列举法、树状图法、Venn图法. 3.常见误区: (1)列举样本点时,要按照一定的顺序,力求不重不漏. (2)易将互斥事件和对立事件混淆. $