10.1.1-10.1.2 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算（分层作业，5大知识点）高一数学人教A版必修第二册

10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 知识点一 事件与样本空间 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】C 【解析】解析  样本空间中有11个样本点，故A错；事件中有5个样本点，故B错； 样本点中没有11，故D错．故选C． 2．（25-26高二上·山东济宁·月考）先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（    ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 【答案】A 【解析】先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，共有4个样本点： 五角向上，一元向上；五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，一元向下； “至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下” “五角向下，一元向上”五角、一元都向上”三个样本点，正确； “只有一枚硬币正面向上”包括五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；两个样本点，错误； “两枚硬币都是正面向上”包括一个样本点；错误； “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包括一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，两个样本点，错误；故选：A 3．（24-25高二上·湖北武汉·月考）一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】因为事件为“从箱中任取个小球观察其编号”， 则事件包含的样本点有， 共种.故选：B. 4．（24-25高二上·广西钦州·月考）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（    ） A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚为6点，第二枚为1点或第一枚为1点，第二枚为6点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为1点，第二枚为6点 【答案】C 【解析】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X， 所以“X>4” 即“X=5”，表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”.故选:C. 知识点二 随机事件的判断 1．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【解析】在掷骰子试验中，朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件.故选：C 2．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解析】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意.故选：C. 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确.故选：C 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（    ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【解析】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，， 取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确.故选：B 知识点一 事件的运算及其含义 1．（24-25高二上·广东广州·期中）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为.故选：A 2．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，；显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为.故选：D 3．（24-25高二上·吉林·月考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【解析】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误；故选：B. 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误.故选：D 知识点二 互斥事件、对立事件的判定 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确.故选：D 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【解析】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 3．（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【解析】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面.故选：A 4．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【解析】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误；故选：A. 知识点一 复杂事件的表示 1．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误，故选：C 2．（24-25高二上·广东佛山·月考）（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A. 由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. B. “甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”， 不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路. C. “甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. D. “甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路. 故选：ACD. 3．设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C的关系和运算分别表示下列事件： (1)三个事件中至多有两个发生； (2)三个事件中至少有两个发生； (3)三个事件恰有两个发生． 【答案】(1)；(2)； (3) 【解析】（1）三个事件中至多有两个发生，即三个事件不能同时发生， 所以三个事件中至多有两个发生表示为； （2）三个事件中至少有两个发生，即两个事件发生且另一个事件不发生或者三个事件同时发生， 所以三个事件中至少有两个发生表示为； （3）三个事件恰有两个发生，即两个事件发生且另一个事件不发生， 所以三个事件恰有两个发生表示为 4．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生． (1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； (2)用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 【答案】(1)答案见解析；(2)①A+B+C；②；③. 【解析】（1）由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅； 区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料； 区域5表示该生只订阅语文学习资料； 区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅. （2）①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生， 所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C； ②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的 事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥， 所以恰好订阅一种学习资料的事件为：； ③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为： 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 知识点一 事件与样本空间 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 2．（25-26高二上·山东济宁·月考）先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（    ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 3．（24-25高二上·湖北武汉·月考）一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25高二上·广西钦州·月考）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（    ） A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚为6点，第二枚为1点或第一枚为1点，第二枚为6点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为1点，第二枚为6点 知识点二 随机事件的判断 1．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 2．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（    ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 知识点一 事件的运算及其含义 1．（24-25高二上·广东广州·期中）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·月考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 互斥事件、对立事件的判定 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 3．（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 4．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 知识点一 复杂事件的表示 1．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东佛山·月考）（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（    ） A． B． C． D． 3．设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C的关系和运算分别表示下列事件： (1)三个事件中至多有两个发生； (2)三个事件中至少有两个发生； (3)三个事件恰有两个发生． 4．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生． (1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； (2)用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $