精品解析：河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期三调数学试卷

2025—2026学年高二下学期3调 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于样本（线性）相关系数的说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 越大，线性相关程度越强 C. 时，变量，为负相关 D. 越小，线性相关程度越强 【答案】C 【解析】 【详解】的取值范围是，所以A错误； 越大，线性相关程度越强；越小，线性相关程度越弱. 所以B、D错误； 时，变量，为正相关；时，变量，为负相关. 所以C正确. 2. 已知，两个离散型随机变量之间存在线性正相关关系：，且，，，，则，的取值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，离散型随机变量，满足， 所以，，即， 解得. 3. 为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．依据小概率值的独立性检验，分析睡前阅读是否会有助于睡眠质量． 睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计 坚持睡前阅读 30 10 40 不睡前阅读 10 30 40 合计 40 40 80 ，临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 则下列说法正确的是（ ） A. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 B. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 C. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 D. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 【答案】C 【解析】 【详解】零假设为：睡前阅读与睡眠质量无关. 根据列联表中的数据经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量. 4. 河北四大名窑：邢窑、定窑、磁州窑、井陉窑．现从中任选3个名窑，安排到周一、周二、周三三天进行非遗研学直播，要求邢窑不安排在周一，则不同的直播安排方法有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 20种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【详解】第一步：安排周一的直播窗口，邢窑不能在周一，因此从除邢窑外的其余3大名窑中选1个安排在周一，共3种选择； 第二步：安排周二、周三的直播窗口，从剩余的3个名窑中任选2个进行全排列，排列数为种； 总安排方法数为：种 5. 已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 6. 从0至6这七个数中取出5个数组成一个五位数，要求百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大，则这样无重复数字的五位偶数有（ ） A. 42个 B. 43个 C. 84个 D. 86个 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得五位偶数的个位数字只能是，百位和千位上的数都要大于等于3，且百位和千位上的数相差1，进而百位和千位上的数为3和4、4和5、5和6，三种情况讨论求解即可. 【详解】由于要组成无重复数字的五位偶数，百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大， 则其个位数字只能是，百位和千位上的数都要大于等于3. ①当百位和千位上的数为3和4时（3和4可以交换位置），其它位置只能从中选择， 若万位选1，则剩下两个位置排0和2（0和2可以交换位置）； 若万位选2，则个位只能选0，十位选1. 因此，共有个； ②当百位和千位上的数为4和5时（4和5可以交换位置），其它位置只能从中选择， 若万位选1或3，则个位可以从0和2中任选1个，十位从剩下的2个数中任选1个； 若万位选2，则个位只能选0，十位从剩下的2个数中任选1个. 因此，共有个； ③当百位和千位上的数为5和6时（5和6可以交换位置），其它位置只能从中选择， 若万位选1或3，则个位可以从中任选1个，十位从剩下的3个数中任选1个； 若万位选2或4，则个位从剩下的2个偶数中任选1个，十位从剩下的3个数中任选1个. 因此，共有个. 综上所述，共有个. 7. 梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可得，，再结合导数的几何意义求得，进而求解即可. 【详解】由，得， 即，， 则，，即， 由于曲线在点处的切线经过点，且， 则，解得或（舍去）， 则，即. 8. 已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据超几何分布计算得到“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”的期望，根据全概率公式计算最终结果即可. 【详解】设随机变量表示“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”，因此随机变量服从超几何分布，即，因此， 设事件为从样品检测台上取一件样品是样品，则当时，此时从检测台上取1件是 A 的条件概率为， 为与中的最小值，则由全概率公式，可得， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且满足，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布概率的对称性计算求解选项A,B,C.再利用正态分布的期望以及方差的性质求解即可. 【详解】选项A.由对称性得， 因此，A错误. 选项B.，B正确. 选项C.由对称性得，C错误. 选项D.期望 ， 方差，因此 ，D正确. 10. 设函数，则（ ） A. ，有3个零点 B. 时， C. ，使得对任意x，有 D. ，当，且时，有 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：求导得极值点，结合的范围分析极值符号与时的函数走势，判断零点个数. 选项B：作差计算得关于的函数，分析其在区间的符号即可判断大小. 选项C：取特值代入等式左侧化简，验证对任意结果恒为即可. 选项D：由确定取值，结合得，代入验证二者函数值相等即可. 【详解】对函数求导得，可得的极值点为，. 选项A：当时，，故. 单调性为：时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减. 极小值为，极大值为. ，，，. 又时，；时，. 故在、、上各存在1个零点，共3个零点，A正确. 选项B： 令，，令得； 时，单调递增，且，故时，即，B错误. 选项C：取，此时，代入等式左边： 该式对任意恒成立，故存在满足条件，C正确. 选项D：且，故，则. 由得，显然. 计算得：， ， 故，D正确. 【点睛】方法归纳：1. 判断函数零点个数时，需结合极值符号与端点处函数趋势分析； 2. 存在性问题可结合已知条件构造对应变量代入验证. 11. 某智能路由器有和两种信号传输模式，运行规则如下：在信号稳定时，系统自动选择传输模式的概率为；在信号不稳定时，系统自动选择传输模式的概率为；路由器信号稳定的概率为．则下列结论正确的是（ ） A. 路由器信号稳定且选择传输模式的概率为 B. 路由器选择传输模式的概率为 C. “路由器信号稳定”与“路由器选择传输模式”是相互独立事件 D. 已知路由器选择了传输模式，则它处于信号稳定的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据信号传输规则，以及条件概率公式计算可判断A；利用全概率公式计算可判断B；利用独立事件的定义计算即可判断C；利用条件概率公式计算可判断D. 【详解】记事件为”路由器信号稳定”,则事件为”路由器信号不稳定”， 记事件为“路由器选择传输模式”，则事件为“路由器选择传输模式”， 由题意得，则， 由题意得，则， 由题意得，则. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 由，得， 所以，所以， 故“路由器信号稳定”与“路由器选择传输模式”是不相互独立事件，故C错误； 对于D，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______________ 【答案】240 【解析】 【详解】的展开式， 要想求的展开式中的系数，令，（舍去）；或令，， ∴， ∴的展开式中的系数为240. 13. 已知时，，则正实数的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】借助同构变形构造辅助函数，由单调性化简不等式，再通过导数分析新函数的最值，反向锁定参数的取值边界. 【详解】原不等式整理可得， 因为，所以不等式等价于. 设函数，求导得. 时，在单调递增. 令，，原不等式等价于， 即在上恒成立. 记，，，. 时，在单调递增，，恒成立； 时，存在满足，时，，与条件矛盾. 综上所述，正实数的取值范围是. 14. 投掷一枚骰子次，记次中最大的点数为，若使，则的最小值为_____________ 【答案】2 【解析】 【分析】由题意求得，进而利用数学期望的定义求得期望，利用单调性可求得的最小值. 【详解】由题意可得， 所以， 所以 ， 所以单调递增，又当时，， 当时，， 所以若使，则的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再利用对数的性质得到，进而求出的最小值. 【小问1详解】 ， ． ，． 当时，． 当时，． 经检验，当时，也符合此式， ． 【小问2详解】 ， ． 又，，解得． ，的最小值为16． 16. 对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）该对数据不正常． 【解析】 【分析】（1）代入公式，计算出 ， ，即可得到线性回归方程； （2）代入公式求出残差范围，结合线性回归方程求解判断即可. 【小问1详解】 由题表得，， 所以， 则 ， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 由（1）得时，；时，； 时，；时，；时，． 所以， ， 所以为． 因为时，， 所以， 所以该对数据不正常． 17. 蔚县剪纸核心工序包括画样、刻制、染色3道关键工序，艺人的工序水平直接决定作品质量．某蔚县剪纸非遗工作室有若干个剪纸小组，其中某小组有10名艺人，按工序水平分为两类：4名艺人精通全部3道核心工序（记为“核心艺人”），6名艺人精通其中工序（记为“熟练艺人”）．现从该小组随机抽取5名艺人完成一批剪纸作品，按工序水平分类统计． （1）记抽取的5名艺人中，核心艺人的人数为，求的分布列及数学期望； （2）已知1名核心艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，1名熟练艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，现对该小组进行内部考核，从10名艺人中随机选1名，让其独立完成3件剪纸作品，记优秀作品的件数为，若优秀作品件数的数学期望，则考核有希望通过，判断考核是否有希望通过． 【答案】（1） ． （2），考核有希望通过． 【解析】 【分析】（1）由题意，服从超几何分布，根据超几何分布求解对应的概率，再根据数学期望公式求解即可； （2）方法一：利用二项分布及全概率公式求出期望，判断即可； 方法二：由题意可得的所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再求解期望判断即可. 【小问1详解】 由题意知，10名艺人中有4名核心艺人，6名熟练艺人，随机抽取5名艺人，其中核心艺人的人数服从超几何分布，参数为，，． 所以， ， ， ， ． 故的分布列为 ． 【小问2详解】 （方法一）设事件为“抽到核心艺人”，则事件为“抽到熟练艺人”， 所以，． 若抽到核心艺人，则其完成件作品中优秀作品数， 所以． 若抽到熟练艺人，则其完成件作品中优秀作品数， 所以． 所以， 所以，考核有希望通过． （方法二）设事件为“抽到核心艺人”，则事件为“抽到熟练艺人”， 所以，． 若抽到核心艺人，则其完成件作品中优秀作品数； 若抽到熟练艺人，则其完成件作品中优秀作品数． 由题意知，的所有可能取值为，，，， 所以， ， ， ． 所以的分布列为 所以， 所以，考核有希望通过． 18. 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，在椭圆上，且轴，，．直线交椭圆于，两点，与关于原点对称，与关于轴对称，直线与轴的交点为． （1）求椭圆的标准方程． （2）若过作轴的垂线，其垂线平分． （ⅰ）求证：直线的斜率为定值． （ⅱ）当与的面积相等时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，． 联立，消去并整理，得． 则，即， ，． 如图，过点作轴，则线段平分， ，即． 又，， ， ，即， 或． 当时，，此时直线过点，舍去， ．故直线的斜率为定值． （ⅱ）或． 【解析】 【分析】(1)因为椭圆上的点满足，结合已知可得到与和的关系；又因为轴，所以的横坐标为，代入椭圆方程可得，结合点在椭圆上，联立方程即可求出。 (2)(i)因为过的x轴垂线平分，所以直线和的斜率互为相反数，设出直线的方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理表示出的斜率之和为，推导可得直线的斜率。 (ii)先根据的坐标写出和的坐标，求出直线的方程，进而得到点的坐标；再分别写出和的面积表达式，结合面积相等的条件，联立之前得到的直线斜率关系，求解得到直线方程的参数。 【小问1详解】 ， ， ，则． 又轴，， ，即． ，． 点在椭圆上，， ，， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）解：由（ⅰ）可知，，且，， 直线． 令，得， ． 与的面积相等， ，到直线的距离相等， 与的交点为的中点，且的中点坐标为． ， ， 化简，得，解得． 直线的方程为或． 19. 已知函数，． （1）求的单调区间． （2）若有两个零点，． （ⅰ）求最大正整数； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求证：． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：当时，，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则． 要证，即证， 因为，且，又在上单调递增， 所以只需证， 因为，故只需证， 即在上恒成立， 因为， 令，当时，， 则， 令，则，函数在上单调递减， 所以当时，， 所以， 因此在上单调递减． 又，故时，， 即，从而． 由的单调性得，即． 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，利用导数讨论函数单调性，即可求出函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）的结论，求出时的最小值，结合两个零点的条件，求出的取值范围，即可求出的最大整数；（ⅱ）先确定两个零点的范围，设函数，将求证转化为求证函数在区间恒成立的问题，即可得出证明. 【小问1详解】 由题可知函数的定义域为， 则， 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 （2）（ⅰ）解：由（1）知，当时， ， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以，存在，使得，要使，则， 因为为最大正整数，所以． 此时，，， ，满足题意，故． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二下学期3调 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于样本（线性）相关系数的说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 越大，线性相关程度越强 C. 时，变量，为负相关 D. 越小，线性相关程度越强 2. 已知，两个离散型随机变量之间存在线性正相关关系：，且，，，，则，的取值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．依据小概率值的独立性检验，分析睡前阅读是否会有助于睡眠质量． 睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计 坚持睡前阅读 30 10 40 不睡前阅读 10 30 40 合计 40 40 80 ，临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 则下列说法正确的是（ ） A. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 B. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 C. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 D. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 4. 河北四大名窑：邢窑、定窑、磁州窑、井陉窑．现从中任选3个名窑，安排到周一、周二、周三三天进行非遗研学直播，要求邢窑不安排在周一，则不同的直播安排方法有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 20种 D. 24种 5. 已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 10 6. 从0至6这七个数中取出5个数组成一个五位数，要求百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大，则这样无重复数字的五位偶数有（ ） A. 42个 B. 43个 C. 84个 D. 86个 7. 梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率（ ） A. B. C. D. 8. 已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且满足，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 设函数，则（ ） A. ，有3个零点 B. 时， C. ，使得对任意x，有 D. ，当，且时，有 11. 某智能路由器有和两种信号传输模式，运行规则如下：在信号稳定时，系统自动选择传输模式的概率为；在信号不稳定时，系统自动选择传输模式的概率为；路由器信号稳定的概率为．则下列结论正确的是（ ） A. 路由器信号稳定且选择传输模式的概率为 B. 路由器选择传输模式的概率为 C. “路由器信号稳定”与“路由器选择传输模式”是相互独立事件 D. 已知路由器选择了传输模式，则它处于信号稳定的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______________ 13. 已知时，，则正实数的取值范围是_____________ 14. 投掷一枚骰子次，记次中最大的点数为，若使，则的最小值为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 16. 对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 蔚县剪纸核心工序包括画样、刻制、染色3道关键工序，艺人的工序水平直接决定作品质量．某蔚县剪纸非遗工作室有若干个剪纸小组，其中某小组有10名艺人，按工序水平分为两类：4名艺人精通全部3道核心工序（记为“核心艺人”），6名艺人精通其中工序（记为“熟练艺人”）．现从该小组随机抽取5名艺人完成一批剪纸作品，按工序水平分类统计． （1）记抽取的5名艺人中，核心艺人的人数为，求的分布列及数学期望； （2）已知1名核心艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，1名熟练艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，现对该小组进行内部考核，从10名艺人中随机选1名，让其独立完成3件剪纸作品，记优秀作品的件数为，若优秀作品件数的数学期望，则考核有希望通过，判断考核是否有希望通过． 18. 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，在椭圆上，且轴，，．直线交椭圆于，两点，与关于原点对称，与关于轴对称，直线与轴的交点为． （1）求椭圆的标准方程． （2）若过作轴的垂线，其垂线平分． （ⅰ）求证：直线的斜率为定值． （ⅱ）当与的面积相等时，求直线的方程． 19. 已知函数，． （1）求的单调区间． （2）若有两个零点，． （ⅰ）求最大正整数； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $