期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性的三类核心应用，通过递进式题型设计构建从基础求区间到含参讨论的完整训练体系，培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数求单调区间|6例+6变式|选择/填空/解答，直接求单调区间|导数正负与单调性关系的正向应用| |已知单调性求参数|6例+6变式|选择/填空/解答，含恒成立/存在性问题|单调性条件转化为导数符号的逆向推理| |含参函数单调性讨论|3例+3变式|解答题，需分类讨论参数影响|参数对导数零点及符号的综合影响分析|

期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 考点目录 利用导数求函数的单调区间 已知函数单调性求参数 含参函数的单调性讨论问题 考点一 利用导数求函数的单调区间 例1．（25-26高二下·广东东莞·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，即，且， ，故的单调递增区间为． 例2．（25-26高二下·河北廊坊·期中）已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【答案】A 【详解】，， ，令，解得， 所以的单调递增区间为. 例3．（25-26高二下·四川成都·期中）函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 例4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用导数与函数单调性的关系求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且，令，解得， 所以的单调递减区间为 例5．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 例6．（25-26高二下·北京通州·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. 【详解】（1）， 由得曲线在点处的切线方程为； （2）由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 变式1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数，则单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 变式2．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 变式3．（25-26高二下·北京·期中）函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________． 【答案】 ； 和. 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】因为分母不为零，得函数定义域为. 根据分式求导法则得，其中，（）， 当时，，即，故单调递增区间为； 当时，，结合定义域得或 ； 即单调递增区间为；单调递减区间为和. 变式4．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 变式5．（2026·陕西商洛·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及最大值． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为． 【分析】（1）根据导数的几何意义求斜率，再求切线方程； （2）利用导数求函数的单调区间，再求最值. 【详解】（1）． 因为， ， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为， 令，得，所以的单调递增区间为． 令，得，所以的单调递减区间为． 故的最大值为． 变式6．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 (2). 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 考点二 已知函数单调性求参数 例1．（25-26高二下·河北廊坊·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数在区间上的单调性，转化为不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数与函数单调性求最值即可. 【详解】由函数，则， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，等价于在上恒成立， 令，则， 因为，所以，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以函数在上单调递减，则实数的取值范围为. 例2．（25-26高二下·重庆·期中）已知，函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导，将函数在上存在递减区间转化为导数小于0有解，分离参数得，构造函数并求导判断其在区间内单调递增，进而得到的取值范围. 【详解】由题意，，定义域为. 求导得. 函数在上存在单调递减区间，即存在，使得成立. 即在上有解，整理得. 令，， 求导得. 当时，，故，在上单调递增. 当时，，所以. 因此，结合条件，得实数的取值范围是. 例3．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 例4．（25-26高二下·山东淄博·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意可知在上恒成立， 因此在上恒成立， 令，则， 所以. 因此实数的取值范围是. 例5．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为 (2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 例6．（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件求出切点，结合导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程即可. （2）先求出的单调递减区间，再利用集合之间的包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）由得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）令，解得，即的单调递减区间为， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得． 变式1．（25-26高二下·陕西西安·期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化问题为在上有解，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】根据题意可得在上有解， 即在上有解，所以， 由，得，则 ，所以， 则的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数在区间上单调递增等价于导函数在该区间上恒非负，将问题转化为求二次函数在给定区间的最小值，即可得到的取值范围。 【详解】因为， 所以， 因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间恒成立，即在区间恒成立 即，在区间恒成立 令 ，， 这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，对称轴 ， 因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 ，取得最小值 要使 对所有 恒成立，只需 ，即：， 因此 的取值范围为 . 变式3．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是__________.（用区间作答） 【答案】 【分析】先把问题转化为在上恒成立，然后利用分离参数求最值，即可求解参数范围. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 即，所以， 即实数的取值范围为. 变式4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据函数单调性可得在上有解，即在上有解，令，利用导数求其最大值即可. 【详解】因为，所以， 由存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解， 令，所以， 所以时，，所以在上单调递增， 时，，所以在上单调递减， 则，所以. 变式5．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)令，解不等式； (3)若函数在上是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在R上为增函数 (2) (3) 【分析】（1）利用函数的单调性的关系可得出结论； （2）分析可知函数为偶函数，且该函数在上为增函数，由可得，所以，结合绝对值的性质和对数函数的单调性解之即可； （3）由题意可知或对任意的恒成立，求导得，令，，则或对任意的恒成立，且，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式恒成立可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）由得，即， 当且仅当时，即当时，， 所以函数在R上为增函数． （2）因为，所以， 所以，则为偶函数， 令，则， 令，则， 所以函数在上为增函数， 当时，，故函数在上为增函数， 由可得，所以，即或， 解得或，故不等式的解集为. （3）由题意可知或对任意的恒成立． 因为， 则， 令，，其中， 由题意可知或对任意的恒成立，且， 当时，，由可得；由可得，不符合题意； 当时，即当时，函数的图象开口向下，当时，，不符合题意； 当时，即当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上为增函数， 此时，符合题意； ②当时，即当时， 只需， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 可知对任意的，， 由可得，即. 综上所述，实数的取值范围是. 变式6．（2026·福建·模拟预测）已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，问题化为恒成立，应用导函数求右侧的最小值，即可得； （2）问题化为证明 在上有且仅有一个零点，应用导数研究其零点即可证. 【详解】（1）由题设 ， 若为增函数，则，， 即对任意恒成立，即恒成立． 令，， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即的取值范围是； （2）令，可得，令 ， 所以， 设 且，则， 当时，当时， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 取，且，则， 取，且，则， 所以在区间存在唯一零点， 所以有且仅有一个零点. 考点三 含参函数的单调性讨论问题 例1．（25-26高二下·北京·月考）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：． 【答案】(1) (2)当时，函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在是单调递减， 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增 (3)因， 要证，只需证，即， 令，， 因此只需证即可， 因为， 再令，则， 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，， 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即， 所以在有唯一零点， 且当，，当，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 且，， 所以对，都有成立， 即，即， 所以当，成立 【分析】（1）根据导数的意义可求得曲线在点处的切线方程； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【详解】（1）当时，， 所以， 则， ， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）若，，函数的定义为， 所以， 令，得或，即或， ①当时，即， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增； ②当，即时， 当时，，，， 当时，，，， 所以函数在是单调递减； ③当时，即， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在是单调递减， 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增； （3）略. 例2．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． (2)有2个零点． 【分析】（1）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （2）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1），令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 例3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在区间上的最小值和最大值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)最大值为，最小值为 ； (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 【分析】（1）先求出导函数，再根据给定得出导函数为负即可得出函数单调性即可求解； （2）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； 【详解】（1）∵，∴， ，∴在上递减， 所以当时取函数的最大值为，当时取函数的最小值为 ； （2）∵，∴， 当时，恒成立，在上递增， 当时，令得，，∴在上递增， 令得，，∴在上递减． 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)． 【分析】（1）求出导函数，分和，分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 变式2．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，的单调增区间为；单调减区间为； 当时，的单调减区间为；单调增区间为； 当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为；单调减区间为； (3) 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【详解】（1）当时，得到，则， ，则， 所以切线方程为，即. （2）由题意得， 可得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. （3）由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 变式3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求得导数，分类讨论的范围，进而分析出的正负，进而得出的单调区间； （2）由（1）分析出，根据不等式放缩，裂项相消即可证明． 【详解】（1）， ①当时，令得，， 当，当， 所以在单调递增，在单调递减； ②当时，令，， 1）当时，即时，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 2）当时，即时，，则在上单调递减； 综上所述，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （2）由（1）知当时，在上单调递减， 当时，，所以，即， 所以 ， 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 考点目录 利用导数求函数的单调区间 已知函数单调性求参数 含参函数的单调性讨论问题 考点一 利用导数求函数的单调区间 例1.(25-26高二下广东东莞·期中)函数f(x)=8nx-x2的单调递增区间为() A.（-o,-2)U(2,+∞) B.（-2,2 C.(0,2 D.（2,+0 例2.(25-26高二下河北廊坊期中)已知函数fx=2 ，则f(x的单调递增区间为() xInx A.（ B. 、e e C.(1,+o） D 和(1，+o】 e 例3.(2526高二下一调川度都期)函数-二3的华调淀减区间是 例4.（2526高二下河南胸阶段检测》己知层数f1到=，-6：+5，则/川到的单调遷减区制为 例5.(2026四川遂宁.模拟预测)函数f(x=e-xnx+x2-axa∈R). 0当。=e1时，求函数小在})的单调区间： (2)若存在xe0,+o,使得f(x)≤0成立，求a的取值范围. 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 例6.(25-26高二下.北京通州期中)己知函数f(x)=e(x2-x+1 (1)求曲线y=∫(x在点0，∫(0)处的切线方程； (2)求函数∫x)的单调区间. 变式1.(25-26高二下·黑龙江·期末)已知函数f(x)=x-,则f(x)单调递增区间是() A.-0,0) B.(1,+o0) C.-o,0U(1,+0） D.(0,1 变式2.(2026山西·模拟预测)函数f(x=lnr-2x的单调递增区间是() A.02 B.(0,2 C. D.（2,+0） 变式3.(25-26高二下北京期中)函数y=©，的单调递增区间为 单调递减区间为 x-1 变式4.(2026-山东聊城二模)函数fx)=e-1-1nx的单调递减区间为 2 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 变式5.(2026陕西商洛三模)已知函数f(x)=x-xlnx. (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (②)求∫(x)的单调区间及最大值. 变式6.(25-26高二下广东茂名期中)已知函数f(x)=x3+x2-8.x+7 (I)求函数∫(x)的单调区间和极值； (②)若方程f(x=a恰有一个实数解，求实数a的取值范围. 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 考点二 已知函数单调性求参数 例1.(25-26高二下·河北廊坊期中)已知函数f(x)=e-anx-1在[1,4上单调递减，则实数a的取值范围为() A.[4e,+ow） B.(-co,e) C.（4e,+oo) D.e,+o) 例2.(25-26高二下.重庆期中)已知a>0,函数f(x=x-a)lnx在区间1，e上存在单调递减区间，则实数a的 取值范围是() A.0<a<1B.a>2e C.a>1 D.1<a<2e 例3.(2026山东济南·模拟预测)已知函数f(x)=e*-ar2-x是R上的单调递增函数，则a的值为 例4.(25-26高二下·山东淄博·期中)己知函数f(x=sin2x+4cosx-ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是 例5.(2026安微模拟预测)已知函数f(x)=(2x-1)e2x-2mx3 ()若曲线y=∫x)在x=处的切线1与y轴垂直，求f(x)的单调区间； 21 (2)若函数fx)在(0，+0上不单调，求实数m的取值范围. 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 例6.(25-26高二下…河北保定期中)已知函数f(x)=x3-3x2-9x+1. (1)求曲线y=f(x)在点(L,fI)处的切线方程： (2)若函数y=f(x)在区间[m,m+2]上单调递减，求实数m的取值范围. 变式1.(25-26高二下.陕西西安期中)若函数fx=mx2+12x-2nx在(0,1)上存在单调递增区间，则m的取值范 围为() A.（-9,0 B.[-9,0 C.（-9,+∞ D.（-0,-9列 变式2.(25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测)己知函数f(x)=x2-a)e2在区间[-1,2]上单调递增，则a的取值 范围为() A.(-0,0] B. C.（-0,6] 变式3.(2526高二下-黑龙江大庆期中)已知函数fx)=-61r-+ax,则f刘在3，+)上单调递减的充 要条件是a∈ (用区间作答) 变式4.(25-26高二下·甘肃白银·期中)若函数f(x)=x2+kx+2nx存在单调递减区间，则实数k的取值范围是 J 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 变式5.(25-26高二下·浙江阶段检测)已知函数fx)=e-e-2x (1)讨论(x的单调性； (2)令gx=fx+2x-sinx,解不等式g'1<g'(lnx; (3)若函数h(x)=fx)-ae+ax在R上是单调函数，求实数a的取值范围. 3+Inx-ax2 变式6.(2026福建模拟预测)已知函数∫x)=2 2· (I)若∫(x)为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数f(x)有且仅有一个零点. 6 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 考点三 含参函数的单调性讨论问题 例1.(25-26高二下.北京·月考)已知函数f(x)=aln'x-xnr+x. (1)若a=0,求曲线f(x)在点(1，f)处的切线方程； (2)若a>0,讨论∫(x)的单调性： (3)若ae(0,),e为自然对数的底数，证明：f(e)<1. 例2.(2026山西运城模拟预测)设函数f(x)=an(x+1)-xa≠0). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当0<a<1时，求f(x)零点的个数. > 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 例3.(25-26高二下.重庆阶段检测)已知函数f(x=lnx-ax. (1)当a=1时，求f(x)在区间1,3]上的最小值和最大值； (2)求∫(x)的单调区间. 变式1.(2026陕西西安模拟预测)己知f(x)=e2r-ax+2,a∈R,e是自然对数的底数. (I)求函数y=f(x的单调区间； (2)若关于的方程∫(x)-2=0有两个不等实根，求a的取值范围. P 期末复习：导数函数的单调性3种高频考点专项训练 变式2.(25-26高二下湖南株洲-阶段检测)已知函数f(x=(x-2)e-ar2+ax(a∈R) 2 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程： (②)分析∫x的单调性； (3)当x>2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 变式3.(25-26高二下·河南南阳·阶段检测)己知函数fx=ln1+x+axa≤0) (1)讨论∫(x)的单调性； a证明：（+++司)e. 9