期末复习：瞬时变化率与导数的定义、导数的计算、导数的几何意义专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数基础三模块，以题载知构建“定义-计算-几何意义”逻辑链，培养抽象能力与运算推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |瞬时变化率与导数的定义|8题（4例+4变式）|选择/填空，利用定义求导数、切线斜率|从瞬时变化率抽象出导数定义，建立概念生成基础| |导数的计算|16题（8例+8变式）|选择（含多选）/填空/解答，涉及公式应用、复合函数及奇偶函数求导|推导导数计算法则，强化运算能力与推理意识| |导数的几何意义|14题（7例+7变式）|选择/填空/解答（含证明），涵盖切线方程、倾斜角、公切线问题|联结导数与切线斜率，体现几何直观与模型应用|

期末复习：瞬时变化率与导数的定义、导数的计算、导数的几何意义专项训练 期末复习：瞬时变化率与导数的定义、导数的计算、导数的几何意义专项训练 考点目录 瞬时变化率与导数的定义 导数的计算 导数的几何意义 考点一 瞬时变化率与导数的定义 例1．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 又，所以. 例2．（25-26高二下·安徽黄山·期中）已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．9 D．3 【答案】A 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】根据导数的定义得到. 例3．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）若，则__________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 例4．（25-26高二下·上海·阶段检测）若，则______ 【答案】12 【分析】将进行变形，得，利用导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 变式1．（25-26高二下·江西上饶·期中）定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 变式2．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义及几何意义，并将所求极限变形计算可得. 【详解】由导数的几何意义可知，函数在点处的切线斜率等于，因此. 根据导数的定义：, 令 ，当 时， ，，且 因此 . 即 . 变式3．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 【答案】12 【详解】 变式4．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知函数满足，则______． 【答案】 【详解】由题意得 . 考点二 导数的计算 例1．（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解. 【详解】函数， 则， 令，则， 则； 例2．（25-26高二下·新疆喀什·期中）是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知可得，结合复合函数的导数可得，计算可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以，即， 又当时，，所以， 所以， 例3．（25-26高二下·广东汕头·期中·多选）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 例4．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D正确. 例5．（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 例6．（25-26高二下·天津武清·期中）函数的导数为________． 【答案】 【详解】. 例7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据求导公式、四则运算法则及复合函数求导的方法，逐一求解，即可得答案. 【详解】（1）由，得. （2）由为常数，得. （3）由，得. （4）由，得. （5）由，得. （6）由，令，得， 则. 例8．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）求下列函数导数 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得： 。 所以. 变式1．（24-25高二下·北京·期中）函数的导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以函数的导函数. 变式2．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 变式3．（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测·多选）以下求导运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：是常数，可知，故A错误. 选项B：根据幂函数求导公式，可得，故B正确. 选项C：根据指数函数求导公式，可得，故C正确. 选项D：根据对数函数求导公式，可得，故D正确. 变式4．（25-26高二下·新疆喀什·期中·多选）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：，错误. 选项B：，错误. 选项C：，正确. 选项D：，正确. 变式5．（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 【答案】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 变式6．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数，则______． 【答案】 【分析】先求出导函数，再赋值计算得出，最后得出函数值. 【详解】函数， 所以，令，则， 所以， 则． 变式7．（25-26高二下·天津·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】直接利用求导公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. （4）因为， 所以. 变式8．（25-26高二下·内蒙古包头·阶段检测）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）方法一： . 方法二： 因为， 所以. 考点三 导数的几何意义 例1．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令，则，解得， 则曲线在处的切线的倾斜角为. 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 例3．（2026·云南·模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由列方程，从而求得的值. 【详解】因为，得，所以. 例4．（23-24高三下·河北衡水·开学考试）曲线在点处的切线方程是________. 【答案】 【详解】，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 例5．（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 【答案】 【详解】曲线的导数为，设切点坐标为，则该点处切线斜率， 切线方程为，即， 对比已知切线方程得， 则，故，解得， 则． 例6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 例7．（2026·四川成都·三模）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点外，曲线在直线的上方． 【答案】(1) (2)点处的切线可表示为， 构造函数， 则，， 当时，． 由可知当时，，当时，； 当时，在单调递增，当，在单调递减； ①当时，单调递增，则， 即，在单调递减，则； ②当时，单调递增，则， 即，在单调递增，则； ③当时，因为且，所以， 在单调递增，； 综上，除了切点，，即曲线在直线的上方． 【分析】（1）把当作新函数求导判单调，在处取最大值； （2）构造切线差值函数，求导得；，依托在单调递增，分段分析正负与单调性，由证时． 【详解】（1）令，得， 时，，在单调递增； ，，在单调递减， 所以在处取得极大值，也即最大值，． （2）略 变式1．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 又，则点处的切线方程为， 所以切线为. 变式2．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 变式3．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 变式4．（2026·福建泉州·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】 【分析】由求曲线在切点处的导数值等于对应切线的斜率，且切点同时在曲线和切线上. 【详解】设切点为，且， 因为直线的斜率为1，所以， 令，所以， 所以在实数上单调递增，且， 因此此方程的唯一解为，则， 所以切点为，将切点代入切线方程可得. 变式5．（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出曲线的切点为，利用公切线的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可． 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 变式6．（25-26高二下·天津静海·期中）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求参数的值即可. 【详解】由题可得：，所以曲线在点处的切线斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以,解得： 变式7．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为． (1)当时，求证：与的交点位于轴右侧； (2)已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值． 【答案】(1)证明：，，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时，与的交点位于y轴右侧； (2) 【分析】（1）联立与的方程，求出交点横坐标，令，判断交点横坐标的正负； （2）求出坐标，根据求出的值，利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【详解】（1）略 （2）由题可知，，， 则， 若，则，解得， 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：瞬时变化率与导数的定义、导数的计算、导数的几何意义专项训练 期末复习：瞬时变化率与导数的定义、导数的计算、导数的几何意义专项训练 考点目录 瞬时变化率与导数的定义 导数的计算 导数的几何意义 考点一 瞬时变化率与导数的定义 例1．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知，的值是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·安徽黄山·期中）已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．9 D．3 例3．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）若，则__________． 例4．（25-26高二下·上海·阶段检测）若，则______ 变式1．（25-26高二下·江西上饶·期中）定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 变式2．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 变式4．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知函数满足，则______． 考点二 导数的计算 例1．（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 例2．（25-26高二下·新疆喀什·期中）是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·广东汕头·期中·多选）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·上海·三模）已知，则________． 例6．（25-26高二下·天津武清·期中）函数的导数为________． 例7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 例8．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）求下列函数导数 (1)； (2)； 变式1．（24-25高二下·北京·期中）函数的导函数（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测·多选）以下求导运算正确的是（） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·新疆喀什·期中·多选）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 变式6．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数，则______． 变式7．（25-26高二下·天津·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 变式8．（25-26高二下·内蒙古包头·阶段检测）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 考点三 导数的几何意义 例1．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·云南·模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．2 B．1 C． D． 例4．（23-24高三下·河北衡水·开学考试）曲线在点处的切线方程是________. 例5．（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 例6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 例7．（2026·四川成都·三模）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点外，曲线在直线的上方． 变式1．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式3．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 变式4．（2026·福建泉州·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则________． 变式5．（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 变式6．（25-26高二下·天津静海·期中）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 变式7．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为． (1)当时，求证：与的交点位于轴右侧； (2)已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $