期末复习专题15 空间几何体中展开图、截面、动点的问题专项训练【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦空间几何体展开图、截面、动点三大核心问题，通过递进式考点构建从基础到综合的知识逻辑链，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |展开图的路程最值问题|6题|多面体/旋转体表面最短路径计算|化空间为平面，应用平面几何距离公式| |多面体的截面形状判断|5题|正方体/正三棱锥截面形状判定|基于线面关系的空间想象与截面作图| |多面体的截面周长与面积计算|5题|截面多边形边长及面积求解|结合几何性质与勾股定理综合计算| |球体中截面的问题|4题|球截面圆半径与球心距关系应用|利用球的截面性质及勾股定理推导| |动点轨迹的问题|5题|表面/体内动点轨迹判断|通过线面平行、角度关系确定轨迹| |动点中探究性的问题|6题|存在性与位置关系探究|综合空间证明与计算的逻辑推理|

专题15 空间几何体中展开图、截面、动点的问题 考点一 展开图的路程最值问题 考点二 多面体的截面形状判断 考点三 多面体的截面周长与面积计算 考点四 球体中截面的问题 考点五 动点轨迹的问题 考点六 动点中探究性的问题 考点一 展开图的路程最值问题 1．（多选）如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于，则，则， 则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接， 又是等边三角形，则，则，则， 所以是二面角的平面角， 又，分别为，的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 2．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 3．如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【答案】/ 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为    4．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 【答案】(1)体积为，侧面积为 (2)21 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）为圆台的高，如图，在梯形中，作，垂足为， 则，， ， 在中，，， ． ∴圆台的高， 圆台的体积为， 圆台的侧面积为 （2）如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开， 连接，则线段的长度即为这根绳的最短长度， ，，即， 解得，， ∵圆台的下底面周长为， ∴弧的长度为，， 在中，，，， 由余弦定理得：， ， 故这根绳的最短长度为21. 5．边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算即可得到答案. 【详解】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后， ∴，即为所求最短距离． 故选：A. 6．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解； （2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）． 其中漏斗锥体部分的高米， 所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作，交的延长线于点，连接， 则米，米． 在直角中， 可得（米）， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）． 考点二 多面体的截面形状判断 7．在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法推出截面的形状． 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 【点睛】 8．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 9．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 10．（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 11．（多选）如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】AD 【详解】选项A，由图可知，将线条延伸即可得到梯形. 选项B，三棱锥如下图所示，，. 选项C，因为 平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值.不难得出正弦值最大时点处于点的位置，. 选项D，将平面与平面沿展开得到下图，可以看到最短的距离便是两点之间的连线，. 考点三 多面体的截面周长与面积计算 12．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 13．在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 【答案】/ 【分析】由题意可得平面，根据线面平行的性质，有，由线面垂直的判定与性质定理可得平面与底面所成角为，设，结合可解得，从而，即三点共线，即截面多边形为，进而可求其周长. 【详解】如图，，因为平面，平面，故平面， 设平面平面，点在棱上，则有， 设平面，， 过点作于点，则易得底面， 设，则， 因为为的中点，易得，且，则平面， ，故平面与底面所成角为， 因为，，所以四边形为等腰梯形， 因为，且为的中点，则为的中点， 因为，易得四边形为矩形， 因为为的中点，底面，则为的中点，进而有为的中点， 则，则，，即， 在中，，解得， 从而，即三点共线，即截面多边形为， ， 所以截面多边形的周长为：. 故答案为：. 14．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面面平行得出线面平行，设出比例，根据相似表示出边长，最后求得周长. 【详解】如图，截面，由于， 则， 设，则， ，， 则， 则周长为， 故选：A. 15．已知正三棱柱底面边长是，高是，过底面一边，作与底面成角的截面，则其面积是______． 【答案】 【分析】取中点，在线段延长线上取一点，使得，根据二面角平面角定义可证得平面与平面成角为，由此可确定截面；根据长度比例关系可求得结果. 【详解】取中点，连接，在线段延长线上取一点，连接，使得， 为等边三角形，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面，，即为二面角的平面角， 平面与平面成角为， 设平面平面，，， 平面平面，，四边形即为所求截面， ，，， ，， ，，， . 故答案为：. 16．已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面，并将其补充成等腰三角形，设，可得圆台的母线长为，过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成等腰三角形，设其顶角为，求出，根据条件求得，进而求得圆台的高，求出体积. 【详解】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形， 则，，设， 因为，，所以，即圆台的母线长为. 过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成等腰三角形，设其顶角为， 则， 因为，且，则当时，的最大值为， 所以，得， 在中，由余弦定理得，即. 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 17．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. (1)求该正方体被平面所截得的截面面积； 【答案】(1) 【分析】（1）取的中点为，连接，先证明，可得四边形为截面，进而求解即可； 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为分别为棱的中点，所以， 则四边形为截面，且， 则梯形的高为， 所以. 考点四 球体中截面的问题 18．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的体积是. 故答案为：. 19．若一个平面截球所得截面圆的半径为3，且球心与截面所围成的圆锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的体积公式可得圆锥的高，再由勾股定理可得球的半径，结合球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设截面圆的半径为，圆心为，球的半径为， 则圆锥． ，． 又，， 球的表面积为． 故选：C． 20．（多选）在正方体中，，分别为的中点，是上的动点，则（ ） A．平面 B．平面截正方体的截面面积为8 C．三棱锥的体积与点的位置无关 D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理和空间向量数量积的坐标表示公式，结合线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式、球的截面性质、正方形截面的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如图，以A为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，， ，， ，平面，平面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接，则且， 可知，所以共面，则等腰梯形即为截面， 在正方体中，， 所以， ， 等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故B错误； 对于C，可知在正方体中，，又平面，平面，所以平面， 因为P是上的动点，所以P到平面的距离为定值，故三棱锥的体积与P点的位置无关，故C正确； 对于D，设外接球心为O，过O作，垂足为，则以为圆心，为半径的圆是过AE面积最小的截面圆， 则，设， ，， ，解得， 则， 故截面圆的最小面积为，故D正确． 故选：ACD 21．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体并建立空间直角坐标系，设、外接球半径为R，求出各点及球心坐标，分析截面圆的面积差从而求出h、R，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R， 以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为， 最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为. 因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为， 所以，解得， 则，外接球表面积为：. 故选：D 考点五 动点轨迹的问题 23．如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 24．（多选）如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B．当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】A当为中点，为中点时，作出截面判断；B当点重合时，利用线面垂直的性质定理和判定定理求证；C当为中点，为中点时，利用面面平行的判定定理求证；D求出点的轨迹即可. 【详解】A选项，当为中点，为中点时， 在上取点Q ，使，在上取点T ，使 连接、，则，则四边形为平行四边形，则, 在平面内过点作，交于N，则, 连接，则同理可证, 则五边形为过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面，故A错误； B选项，当点重合时，平面， 若是线段的中点，则为和的交点， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证，， 因为平面，所以平面， 即平面，故B正确； C选项，当为中点，为中点时，平面平面， 因为，平面，平面，则平面， 因为，又平面，平面，则平面， 又，则平面平面，故C正确； D选项，当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 取线段的中点，连接，则平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 则点在以为圆心，为半径且位于侧面内的圆上， 该圆分别交于点， 因为，所以，则， 故点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD 25．（多选）在棱长为2的正方体中，M是线段上的点，则（    ） A．过点与直线都垂直的直线有且只有一条 B．过点与直线都相交的直线有且只有一条 C．若为的中点，则三棱锥的外接球的球心O在正方体的体对角线上 D．若为的中点，是已知正方体表面上的动点且有，则动点P的轨迹长度是 【答案】AD 【分析】利用过定点垂直于已知平面的直线条数判断A；利用线面平行的性质判断B；确定球心位置判断C；确定轨迹并求出长度判断D. 【详解】对于A，在正方体中，， 确定平面，过点有且只有一条直线垂直于平面， 即过点有且只有一条直线与直线都垂直， 因此过点与直线都垂直的直线有且只有一条，A正确； 对于B，过点与直线相交的直线在平面内，而平面， 即直线与平面内的直线不可能相交，B错误； 对于C，为的中点，则， 三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 若球心在上，则必为线段的中点， 此时，而，与为球心矛盾，C错误； 对于D，为的中点，在上取点，使得，取中点， 在上取点，使得，则，而平面， 则平面，又平面，于是， 在正方形中，，则， 可得，即， 而平面，因此平面， 由，得，则平面，点的轨迹为四边形， 所以动点P的轨迹长度是，D正确. 故选：AD 26．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（    ）    A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是 D．若是上一动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A：借助线面平行判定定理与性质定理可得，再利用正方体性质及线面垂直性质定理可得，即可得；对B：借助线面垂直性质定理与勾股定理计算即可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对C：举出反例即可得；对D：将平面与平面沿展开至同一平面后，结合与形状，计算即可得. 【详解】对A：因为平面，平面，则平面， 又因为平面平面，平面，则， 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则有，故A正确； 对B：由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则， 则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆位于正方形内的部分， 故点的轨迹长度为，故B正确； 对C：因为，则异面直线与所成角与直线与所成角相等， 当点与重合时，此时，故C错误； 对D：将平面与平面沿展开至同一平面，如下图：    则，当且仅当在线段上时，取等， ，故为正三角形， 又为等腰直角三角形，故为中点， 则，故D正确.    27．（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 考点六 动点中探究性的问题 28．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【分析】根据线面垂直的性质以及勾股定理求解选项A,B.根据面面垂直的性质以及勾股定理求解选项C,D. 【详解】连接，记，连接. 若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，. 在，中，分别有，. 若平面平面，则，，. 因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 29．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 30．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 31．如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 32．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】由线面平行的判定可判断A，由正方体外接球的直径为对角线可判断B，由线面角定义可判断C，由等体积法判断D. 【详解】对于A：由于在正方体中，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B：正方体外接球的直径为对角线，即， 所以，B正确； 因为平面，则为直线CE与平面所成的角， 则， 若，则，所以， 又，， 所以存在一点，使得直线CE与平面所成的角为，C正确； 由A知平面，为上的动点， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 设到平面的距离， ，， 由等体积可得：，即， 所以，所以到平面的距离为，D错误. 1．若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设AB，的中点分别为D，E，连接CD，OD，OE，， 设，则. 因为，所以. 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 2．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 3．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 4．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 5．已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（   ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】由题意，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，作出截面图形可得结论. 【详解】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形. 故选：B． 6．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 7．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 【答案】B 【分析】由题可求出圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 8．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 9．（多选）如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积；对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于选D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，利用长方体的外接球计算半径，再代入球的体积公式计算. 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积，D错误. 10．（多选）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 11．（多选）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，过三点作正方体的截面，则（   ） A．所得截面图形为五边形 B．平面 C．截面多边形的周长为 D．平面与平面夹角的正切值为 【答案】ABD 【分析】选项A，采用延长交线法，即可确定截面形状；选项B，利用中位线性质和线面平行判定定理即可判断；选项C，利用相似性求出截面五边形各边的长度即可判断；选项D，利用二面角的定义，找到其平面角，再利用三角函数的定义求解即得． 【详解】 对于A，如图，延长交的延长线于点， 由，，由，得，解得． 连接交于点，交的延长线于点，连接交于点， 连接，则所得截面图形为五边形，A正确： 对于B，连接，由为的中点，且，得为的中点，所以， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，B正确； 对于C，易得，所以， ，， 所以五边形的周长为，C错误； 对于D，连接交于点，连接，易知， 所以为平面与平面的夹角， 因为，所以，D正确． 12．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围. 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 13．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 【答案】 【分析】根据平行关系求截面，进而可得周长. 【详解】由、为、的中点，得， 又，，则为平行四边形，， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，，则，， 可得，，， 所以截面周长为. 14．在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 【答案】线段 【分析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，可证平面，进而可得平面平面，再确定点的轨迹即可． 【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段. 15．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 16．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 空间几何体中展开图、截面、动点的问题 考点一 展开图的路程最值问题 考点二 多面体的截面形状判断 考点三 多面体的截面周长与面积计算 考点四 球体中截面的问题 考点五 动点轨迹的问题 考点六 动点中探究性的问题 考点一 展开图的路程最值问题 1．（多选）如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 2．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 3．如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    4．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 5．边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 6．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 考点二 多面体的截面形状判断 7．在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 8．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 9．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 10．（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 11．（多选）如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 考点三 多面体的截面周长与面积计算 12．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 13．在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 14．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 15．已知正三棱柱底面边长是，高是，过底面一边，作与底面成角的截面，则其面积是______． 16．已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 17．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. (1)求该正方体被平面所截得的截面面积； 考点四 球体中截面的问题 18．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______. 19．若一个平面截球所得截面圆的半径为3，且球心与截面所围成的圆锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）在正方体中，，分别为的中点，是上的动点，则（ ） A．平面 B．平面截正方体的截面面积为8 C．三棱锥的体积与点的位置无关 D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 21．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 考点五 动点轨迹的问题 23．如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 24．（多选）如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B．当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 25．（多选）在棱长为2的正方体中，M是线段上的点，则（    ） A．过点与直线都垂直的直线有且只有一条 B．过点与直线都相交的直线有且只有一条 C．若为的中点，则三棱锥的外接球的球心O在正方体的体对角线上 D．若为的中点，是已知正方体表面上的动点且有，则动点P的轨迹长度是 26．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（    ）    A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是 D．若是上一动点，则的最小值为 27．（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 考点六 动点中探究性的问题 28．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 29．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 31．如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 32．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 1．若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 4．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 5．已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（   ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 6．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．48 B．50 C．96 D．100 8．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 9．（多选）如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 10．（多选）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 11．（多选）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，过三点作正方体的截面，则（   ） A．所得截面图形为五边形 B．平面 C．截面多边形的周长为 D．平面与平面夹角的正切值为 12．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 13．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 14．在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 15．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 16．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $