期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面、面面平行性质，通过分层例题与变式构建从性质应用到空间推理的训练体系，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行的性质|3例2变式|证明线线平行、线面平行，结合五面体、四棱锥等多面体|以线面平行性质定理为核心，推导线线平行，构建“线面平行→线线平行”的逻辑链条| |面面平行的性质|3例3变式|平面交线证明、点位置探究，结合圆锥、三棱柱等几何体|以面面平行性质定理为延伸，实现“面面平行→线线平行/线面平行”的转化，深化空间关系认知|

期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的性质 例1．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 例2．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行； （2）根据线面平行的性质证明线线平行. 【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 例3．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用侧面积是底面积两倍的已知条件结合勾股定理建立方程，解出底边长从而得出斜高SE； （2）直接将底面积与侧面积相加得出表面积，并利用底面积和已知的高代入棱锥体积公式计算体积； （3）通过底面正方形对边平行得出直线平行于平面，再利用线面平行的性质定理推导出交线与已知底边平行. 【详解】（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且， 底面积为，已知，在中，， 侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积，体积. （3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面， 且平面，平面平面，则. 变式1．（25-26高一下·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得； （3）利用等体积转化为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 变式2．（25-26高一下·福建福州·期中）如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）由（1）的结论，结合平行公理推理得证. （3）利用平行线分线段成比例定理计算得解. 【详解】（1）依题意，平面，平面平面，面， 所以. （2）由（1）知，同理，则，同理， 所以四边形为平行四边形. （3）由为上一点，令，由，得， 则，同理， 所以的周长为. 考点二 面面平行的性质 例1．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可； （2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面． 【详解】（1）由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， 所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为． （2）略 例2．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 【答案】(1)连接，由点为线段上靠近点的三等分点，得， 由为线段的中点，得，由，得， 而，则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面， 又点为线段的中点，则，同理平面， 而平面，则平面平面，又平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行 判定性质推理得证. （2）利用面面平行的性质确定点位置并作出此点，再利用平行线分线段成比例定理求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面平面， 则，，所以点是线段上靠近点的三等分点，如图. 例3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 变式1．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，直线平面. 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1）由三棱柱的性质可得：， 平面，平面， 所以平面. （2） 当时，直线平面，证明如下： 过点作交于点，连接，所以， 因为是的中点，所以为的中点，是的中点， 所以在中，，平面，平面， 所以平面，同理平面，， 平面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面. 即当时，直线平面. 变式2．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 变式3．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的性质 例1.(25-26高一下·福建南平，期中)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD1平面 BCF, D B E (1)求证：CD/1EF: (2)求证：EF⊥平面BCF; 例2.(25-26高一下·辽宁沈阳·期中)如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、 AB的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为I. (1)求证：平面MNQ/平面PAD: (2)求证：BC111; 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 例3.(25-26高一下·河北唐山期中)已知正四棱锥S-ABCD的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设BC的中点为 E,底面ABCD中心为O S E (1)求SE的长度 (2)求正四棱锥S-ABCD的表面积和体积； (3)设平面SBC平面SAD=1,求证：IlIBC; 变式1.(25-26高一下山东·期中)如图，已知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，点 E,F分别为AD,PC的中点，设平面PCD∩平面PBE=I. D D: B (I)证明：DFI/平面PBE; (2)证明：DF/11: (3)求三棱锥F-PBE的体积 2 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 变式2.（25-26高一下·福建福州期中)如图所示，一平面四边形EFGH与空间四边形对角线AC,BD都平行，且交 空间四边形边AB,BC,CD,DA分别于E,F,G,H. G B (1)求证：AC11GH; (②)求证：四边形EFGH为平行四边形 (3)若AC=BD=1,求平行四边形EFGH的周长. 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 考点二 面面平行的性质 例1.(25-26高一下·河南阶段检测)如图，圆锥PO的表面积为15π，AB是底面圆的一条直径，Q是PA的中点， C,D是底面圆上的两点，CDAB,劣弧AC的长为B,PA=2AB. 3 B D (1)若一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A,求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：QC∥平面PBD. 例2.(2526高一下-湖北期中)如图，在空间几何体P-ABCD中，底面ABCD满足4D=2BC,点E为线段BC上 3 靠近点C的三等分点，点F、G为线段AP、AD的中点. A G D (I)证明：EF/平面PDC; 2若平面α经过点E、F、G三点，且与棱PB交于点H.请作图画出H在棱PB上的位置，并求出以的值. HB 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 例3.(2526高一下·四川遂宁·期中)如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，Q为 侧棱SD的中点 S D B C (1)证明：BQ∥平面PAC; (2)若E是侧棱SC上靠近点C的三等分点，求证：BE∥平面PAC. 变式1.(25-26高一下·广东深圳期中)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，P是BC,上一动点，BP=1BC (0<1<1),M是CC上一点，Q是AM的中点. A C B M C ⊙ (1)求证：直线A,B,∥平面ABM; (2)若M是CC,的中点试探究1为何值时，直线PQ//平面ABC？并给出你的证明. 5 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 变式2.(25-26高一下·广西南宁期中)如图，己知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中 点. D B (1)求证：MN/平面PAD; ②若线段PB上存在一点Q使得平面MQ/平面PAD,求%的值. 变式3.(25-26高一下·福建莆田期中)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AA,=2、E、F、G分别为 CD、CCBB,中点. D D C (I)求三棱锥C-BEF的体积； (2)求证：DG/1平面BEF. 6