河北郑口中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如下四个散点图中，负相关的是 A． B． C． D． 2．（，）可表示为 A． B． C． D． 3．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 A． B． C．1 D．4 4．已知（）的展开式中的常数项为24，则 A．1 B． C．2 D． 5．某学校食堂有8个窗口，分别卖：拉面、盖饭、麻辣烫、汉堡、水饺、炒河粉、粥、米粉，现有两位同学分别从这8个窗口中随机选择1个窗口买饭．这两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭的条件下，他们选择的窗口不相同的概率为 A． B． C． D． 6．某产品参数X服从正态分布，按照16%，34%，34%，16%的比例按参数从高到低将产品划分为1、2、3和4四个品级．若某个产品的参数为192，则其品级是 附：，， A．1 B．2 C．3 D．4 7．某教育研究小组收集了10名高中生每周用于数学复习的时间x（小时）与其数学测试成绩y（百分制）的数据．经计算得，，，，，其中，分别为数学复习的时间与数学测试成绩的标准差，r为相关系数．若用经验回归方程预测成绩，则方程应为 A． B． C． D． 参考公式：样本相关系数 经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式 8．用模型拟合一组数（），若，，设，得变换后的经验回归方程为，则 A． B．12 C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 A．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B．； C．在经验回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好 D．在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少2个单位 10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记，，则下列说法正确的是 A．若A，B相互独立，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．小张上班有时坐地铁，有时骑电动车，他各记录了100次坐地铁和骑电动车上班所用的时间，经数据分析得到：坐地铁平均用时30分钟，样本标准差为6；骑电动车平均用时36分钟，样本标准差为2．已知随机变量，则．假设小张坐地铁用时X和骑电动车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是 A． B． C．若某天有40分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择骑电动车 D．若某天有37分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中含项的系数为__________． 13．某公司安排小张在六天中分别完成A、B、C、D、E、F六项不同的任务（每天一项），并且要求A在B之前做，C与D不在相邻的两天做，则不同的任务安排顺序有__________种． 14．已知，则a被26除的余数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 从0，1，5，6，8，9中选四个数字，组成无重复数字的四位数，求分别满足下列的数有多少个？ （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个偶数？ 16．（本小题满分15分） 良好的睡眠习惯是保持健康的一种有效策略．某医学研究者为研究睡眠习惯和免疫力水平之间的关系，得到如下数据（单位：人）： 免疫力高 免疫力不高 合计 有良好的睡眠习惯 400 200 600 没有良好的睡眠习惯 100 300 400 合计 500 500 1000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”有关联？ （2）按比例分配的分层随机抽样，从有良好的睡眠习惯的人中抽取6人，从这6个有良好的睡眠习惯的人中随机抽取2人，求这2人中“免疫力高”的人数X的分布列和数学期望． 附：，其中 独立性检验中4个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 某学生在一次模拟考试中，遇到两道独立的选择题．每道题有4个选项，其中只有1个正确，该学生可以选择两种答题策略： 策略1：两道题都随机猜一个选项． 策略2：第一道题认真思考（正确概率为0.8），若第一题做对，则第二题也认真思考（正确概率仍为0.8）；若第一题做错，则第二题随机猜一个选项． （1）求在策略1下，该学生恰好答对1题的概率； （2）求在策略2下，该学生答对题数X的分布列； （3）比较两种策略下该学生答对题数的期望，并判断哪种策略更优． 18．（本小题满分17分） 某市自2020年起，在多个社区设立“环保志愿者”岗位．每年，社区根据规模提供一定数量的志愿者名额，居民可自愿报名参加，市环保部门统计了近6年志愿者名额x与报名人数y的相关数据，如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 志愿者名额x（个） 2 4 6 8 10 12 报名人数y（位） 参考数据：，，，， 参考公式：样本相关系数 经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式 （1）已知该市某大型社区在2024年和2025年共有12人报名，且两年无重复报名人员，12人中有8位男性，已知2024年男性报名人数多于2025年．若从这12人中随机抽取2人，两人均为男性且分别来自2024年和2025年的概率为．现从这12人中随机抽取3人，记其中在2024年报名的男性人数为X，求X的分布列； （2）已知变量y与x的相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程，并据此预估志愿者名额为15个时报名的人数． 19．（本小题满分17分） 一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． （1）求，； （2）已知当时，，证明：，并求； （3）求，． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学 参考答案 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】A 9.【答案】CD 10.【答案】ACD 11.【答案】BCD 12.【答案】480 13.【答案】240 14.【答案】25 15.【解析】 (1)若这个四位数中含0，则先从除千位外的三个位置中选一个排0，再从其他5个元素中选3个在剩余 位置排列，共有AA?=3×5×4×3=180(种)排法； 3分 若这个四位数中不含0，则从其他5个数字中选4个进行全排列，共有A:=5×4×3×2=120(种)排法， 所以四位数共有180+120=300（个）. 6分 (2)若个位是0，则从其他5个数字中任选3个排列在剩余的三个位置，共有A?=60(种)排法；9分 若个位是6或8，则从其他4个不为0的数字中选1个排在千位，再从除千位和个位所排数字之外的4个数 中任选2个排在百位和十位，共有A,A4A=2×4×4×3=96(种)排法， 所以偶数共有60+96=156（个）. 13分 16.【解析】 (1)零假设H。:“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”没有关联， 2分 因为X2= 1000×(400×300-200×100)2500 ≈166.667>10.828， 5分 600×400×500×500 3 所以认为H。不成立，所以“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”有关联， 6分 (2)从有良好的睡眠习惯的人中按比例分配的分层随机抽样抽取6人， 则“免疫力高”的有6×2=4（人，“免疫力不高”的有6x!=2(人） 8分 3 3 则X的所有可能取值为0,1,2， P1x-0答x警言x--等-合号 Cg155 13分 所以X的分布列为 0 2 8 2 P 15 15 5 8 24 X的数学期望E(X)=0×,三+1× +2× 15分 15 15 531 17.【解析】 （1)每题随机缩对餐率为子答结概幸为 1分 受学生恰好答对1题为事件A,则P(4=C4×4×子=8一 4分 (2)X的可能取值为0,1,2. 5分 P(X=0)=0.2× =0.15, PX==0.8x1-0.8+0.2×4=0.21, P(X=2)=0.8×0.8=0.64. 9分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.15 0.21 0.64 10分 (3)策略1服从二项分布： E(X)=2x号=0.5. 12分 ·4 策略2的期望： E(X2=0×0.15+1×0.21+2×0.64=1.49 14分 因为E(X,>EX,),所以策略2更优. 15分 18.【解析】 (1)设2021年报名的男性人数为m,则m>8-m, 且有cC 2 ,解得m=6. 2分 11 由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3. 22 所以X的分布列为 X 0 1 2 9 9 11 22 22 11 8分 (2)由题意可知r= r多m (x-y-列 i=l 所以20x-列-}xv70x280-}×140=105,所以6- 2(x-刘(y-列 1053 ∑-到 702 12分 因为2(y-列2=-立-62=280，立片=4030，所以4030-62=280. 解得y=25. 14分 x42-1 而x= 66 所必a=下-bm=25-3x7=29 15分 2 3.29 所以y关于x的经验回归方程为)= x+ 16分 2 当x=15时，)=37，所以估计志愿者名额为15个时报名的人数为37人. 17分 19.【解析】 2 1 1Dn=3,9=3 2分 (2)证明： P(A 42 A.)=P(AA2 A)P(A.4 42 A)=P(A 4:A2)P(A-442 A-2)P(AAA2 A) =P(A42 A3)P(A-2442 A-3)P(A4A2 A2)P(A AA A) ==P(A)P(A24)P(4 442)P(4,442 4). 6分 记R为“第n次取出的是红球”，则B3=B,B2B3RB2B3B,R2B3RRB3, 所以 P(B3)=P(B B2B)+P(R B2 B)+P(BR2B)+P(R R2 B =P(B P(B2 B P(B;B B2+P (R P(B2 R P(B:R B2+ P (B P(R2 BP(B:B R2+P(R P(R2 R P(B:R R2 21、2,133,2131、1411 ，×253453253xa× 8分 3)由题意得A=子，当a22时，n,=pX2,即L=2 ,累乘可得 n+2’p1n+2 风好后测 2n+1 2 ×n+2m+2即p,n+2'A 也符合， 3 2+1 所以p.=(n+2刃 12分 由题意得兮当22时，9=只×n开2 n+2n+*m42*g× n+2 即(n+2)qn=n×2"+3×n+1)xgn-1,令an=(n+1!g-1, 则a=3改4=2，Q=a+nx2,两边同时除以3，释号是+n× 年学会异=a)-3+6)-3+9×),加9 学号+学号+学 12-16+1s-18++a+6-+ox) 号+12x-3m+9*=6-(n+9 0,1=6×3”-(n+3)×2，即g,= 2×3m+1-（n+3)×2m+ (n+2！ 号他符合，所以g.=2x3-+引×2 17分 (n+2)！