第六章　平面向量及其应用 习题课　平面向量基本定理及坐标表示-课件 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过知识清单梳理基底表示、坐标运算、数量积公式等核心内容，结合方法归纳构建“概念-运算-应用”逻辑网络，帮助学生形成系统知识框架。 其亮点在于以探究点驱动复习，如用基底表示向量的例题及变式训练培养数学思维，坐标法解决梯形问题发展数学眼光，分层设计让不同学生巩固知识，助力教师精准把握学情提升复习效率。

第六章　平面向量及其应用 习题课　平面向量基本定理及坐标表示 【课标要求】 1.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量坐标表示的意义. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　用基底表示向量 【例1】 在△ABC中,∠A=60°,BC=1,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为　　　　;若,则的最大值为　　　　.  a+b 　 解析 因为E为CD的中点,所以)=)=a+b; )=a+b. 所以(2a2+5a·b+2b2),记AB=x,AC=y, 则(2x2+5xycos 60°+2y2)=. 在△ABC中,根据余弦定理,得BC2=x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy=1,即x2+y2=1+xy,于是, 由x2+y2-xy=1和基本不等式得,x2+y2-xy=1≥2xy-xy=xy, 故xy≤1,当且仅当x=y=1取得等号,则x=y=1时,有最大值. 变式训练1(2025天津)在△ABC中,D为AB中点,=a,=b,则=　　　　;若||=5,且AE⊥CB,则=　　　　　.  a+b -15 解析 如图,∵CD=CA+AD=CA+12AB=-b+12a, ∴CE=13CD=-13b+16a, 则AE=AC+CE=b+16a-13b=16a+23b. ∵AE⊥CB,则AE·CB=0,得(16a+23b)(a-b)=0, 整理得a2+3a·b-4b2=0.① 又|AE|=5, ∴(16a+23b)2=136a2+29a·b+49b2=25, 整理得a2+8a·b+16b2=900.② 由①②得,a·b=-4b2+180,a2=16b2-540, ∴AE·CD=(16a+23b)(12a-b)=a2-8b2+2a·b12 =16b2-540-8b2-8b2+36012=-18012=-15. 探究点二　向量加减数乘的坐标运算 【例2】 已知点A,B,C,D为平面内不同的四点,若=2-3, 且=(-2,1),则=(　　) A.(4,-2) B.(-4,2) C.(6,-3) D.(-6,3) D　 解析 由=2-3=3-3,即=3,即=3, 又=(-2,1),所以=3=(-6,3). 变式训练2已知向量=(2,1),=(7,m),=(3,-1),若A,B,D三点共线,则实数m=　　　　. 6 解析 因为=(7,m),=(3,-1),所以=(10,m-1), 又=(2,1),且A,B,D三点共线,即,因此2(m-1)-1×10=0,解得m=6. 探究点三　向量的数量积的坐标运算 【例3】 已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于(　　) A.10 B.-10 C.3 D.-3 B 解析 由向量a=(2,-1),b=(1,-1),可得a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2), 所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. 变式训练3(1)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角的大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析 设a与c的夹角为θ,依题意得,a+b=(-1,-2),|a|=.设c=(x,y),因为(a+b)·c=,所以x+2y=-.又a·c=x+2y,所以cos θ==-, 所以θ=120°, 所以a与c的夹角为120°.故选C. (2)已知向量a=(2,-3),b=(1,-3),c=(1,λ),若(a+2b)⊥c,则λ=　　　　　.  解析 因为a=(2,-3),b=(1,-3),所以a+2b=(4,-9), 又因为(a+2b)⊥c,c=(1,λ),所以4×1-9λ=0, 解得λ=,故答案为. 探究点四　平面几何与坐标运算 【例4】 在梯形ABCD中,=2=0,且||=||=2,若AC与BD交于点E,则=(　　) A.- B.- C.-2 D.- A 解析 因为AB∥CD,则=2,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),E,可得=(2,2),, 所以=2×+2×=-. 变式训练4已知点D在Rt△ABC的斜边BC上(包含端点),若AB=2,AC=3,则的取值范围为　　　　. [-4,9]　 解析 以A为坐标原点,正方向为x轴、y轴正方向,可建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(0,3), ∴=(-2,3),=(2,0), 设=λ(0≤λ≤1),则=(-2λ,3λ), ∴=(2-2λ,3λ), ∴=-2(2-2λ)+9λ=13λ-4,又0≤λ≤1, ∴-4≤≤9,即的取值范围为[-4,9]. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)用基底表示向量. (2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=. (3)用坐标表示的向量夹角公式. 2.方法归纳:数形结合、化归与转化. 3.常见误区: (1)忽视基底中的基底不共线; (2)两向量夹角的余弦公式易记错. $