第十章《概率》同步单元必刷卷（培优卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

**基本信息** 第十章《概率》同步单元培优卷，以真实情境与分层设计覆盖概率核心知识，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|事件判断、条件概率|结合抗战知识竞赛等文化情境，考查随机事件辨析| |多选|3/18|概率性质、独立事件|AI科研小组等科技素材，辨析概率概念与独立性| |填空|3/15|投篮概率、方格抽样|非遗传承投入等社会热点，强化数据处理能力| |解答|5/77|频率分布、分层抽样|共享单车调查等现实问题，综合考查模型构建与推理运算|

第十章《概率》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 2．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，并记下每次抛掷后正面朝上的点数．若第一次抛掷正面朝上的数字大于4，则再抛掷一次，若第一次抛掷正面朝上的数字不大于4，则停止抛掷，则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 7．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 8．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（    ） A．随机试验的频率与概率相等 B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C．只有不确定事件有概率 D．若事件发生的概率为，则 10．中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内100个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： ①抽样中，投入高于5000万元的工作室占30%，投入低于2000万元的占25%； ②投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； ③投入高于5000万元的工作室中，有40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是（   ） A．抽样中，投入万元的工作室有55个 B．抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有18个 C．抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过40个 D．若从抽样工作室中随机抽取1个，抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为0.12 11．在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（   ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 13．在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           14．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 16．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17．为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 选择 不选择 选择 不选择 选择 不选择 参考、工具类 20 40 25 25 30 10 文学类 30 30 30 20 25 15 自然、科学类 40 20 40 10 23 17 假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率 (1)假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率； (3)记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为；样本中高三学生不选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明） 18．为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 19．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章《概率》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 2．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，并记下每次抛掷后正面朝上的点数．若第一次抛掷正面朝上的数字大于4，则再抛掷一次，若第一次抛掷正面朝上的数字不大于4，则停止抛掷，则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出所有的基本事件，即可求出概率. 【详解】根据题意可得抛掷一次的所有情况为(1)，(2)，(3)，(4)共4种情况， 抛掷两次的所有情况为， 共12种情况，故抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为． 故选：D 4．某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用“分步乘法原理”计算基本事件总数，运用“对立事件概率”简化计算，“不全被选中”的对立事件是“全被选中”，先求对立事件概率，再用概率减法公式得到结果. 【详解】从三个组中各随机选1人参加文艺汇演,则共有种可能， 设事件:和不全被选中,则事件的对立事件共有三种可能, 所以，所以， 故选：D 5．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 7．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 8．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（    ） A．随机试验的频率与概率相等 B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C．只有不确定事件有概率 D．若事件发生的概率为，则 【答案】ABC 【分析】A根据频率与概率关系判断；B、C、D由事件、概率的定义及性质判断，即可得. 【详解】A：随机试验多次重复发生时，频率越来越稳定于概率，但不一定相等，错； B：如果事件发生的概率为99.9999%，说明此事件发生的概率非常大，但不是必然发生，错； C：确定事件也有概率，错； D：根据概率的性质知，对. 故选：ABC 10．中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内100个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： ①抽样中，投入高于5000万元的工作室占30%，投入低于2000万元的占25%； ②投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； ③投入高于5000万元的工作室中，有40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是（   ） A．抽样中，投入万元的工作室有55个 B．抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有18个 C．抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过40个 D．若从抽样工作室中随机抽取1个，抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为0.12 【答案】BD 【分析】根据题意，分别求得不同投入区间的工作室的数量，结合各个区间内专注于传统技艺传承和专注于非遗文创开发的工作室的数量关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由抽样中，投入高于万元的工作室占30%，投入低于万元的占25%， 可得投入万元的工作室占比为， 所以抽样中，投入万元的工作室有个，所以A错误； 对于B，由抽样中，投入万元的工作室有个， 因为专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为， 所以专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个，故B正确； 对于C，投入高于万元的工作室的数量为个， 其中专注于非遗文创开发的工作室数量为个， 投入万元的工作室且专注于非遗文创开发的工作室有个， 所以专注于非遗文创开发的工作室总数至少为个，所以C错误； 对于D，投入高于万元且专注于传统技艺传承的工作室有个， 所以抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为，所以D正确. 11．在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（   ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 【答案】BD 【分析】运用独立事件概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】A：设甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题为事件， 所以， 只有一个小组受到奖励的概率等于 ，所以本选项说法不正确； B：技术难题被攻克的概率为，所以本选项说法正确； C：只有甲、丙小组受到奖励的概率为，所以本选项说法不正确； D：甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为，所以本选项说法正确. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 【答案】/0.9375 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得答案． 【详解】“有人投中”的对立事件为“三人投篮都不中”， 故所求概率为． 13．在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           【答案】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中， 设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，，共6种. 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种， 故所求概率为. 14．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率_______________. 【答案】 【分析】先根据左边的频率分布直方图得到，再根据右边的频率分布直方图可得. 【详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， 由右边的频率分布直方图可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 16．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. （2）利用（1）的结论，利用频率分布直方图中平均数和中位数定义求解. （3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （3）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 17．为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 选择 不选择 选择 不选择 选择 不选择 参考、工具类 20 40 25 25 30 10 文学类 30 30 30 20 25 15 自然、科学类 40 20 40 10 23 17 假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率 (1)假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率； (3)记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为；样本中高三学生不选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1)850 (2) (3) 【分析】（1）结合题意先求出喜欢借阅文学类书籍的学生的频率，再估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数； （2）先求出高一年级、高二年级、高三年级选择借阅文学类书籍的概率，进而求解即可； （3）根据题意可知，再结合方差的性质得到两者方差相等. 【详解】（1）由题意可知，喜欢借阅文学类书籍的学生的频率为， 因此估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数为. （2）由题意可知，高一年级选择借阅文学类书籍的概率, 高二年级选择借阅文学类书籍的概率, 高三年级选择借阅文学类书籍的概率, 因此估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率为 . （3）由题意可知，， 设，，的平均值为，，，的平均值为， 则，， 而，，的方差为，，，的方差为， 则. 18．为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 【详解】（1）由样本数据，抽取的男生中支持方案一的共50人，抽取男生总人数为， 因此男生支持方案一的概率估计值为； 抽取的女生中支持方案一的共80人，抽取女生总人数为， 因此女生支持方案一的概率估计值为. （2）记“抽取的1名男生支持方案一”为事件，“抽取的2名女生中恰有人支持方案一”为事件（）， “3人中恰有2人支持方案一”为事件， 则，， ，. 由题意知，事件与事件相互独立， 因此， 即 “3人中恰有2人支持方案一”的概率为. （3）全年级支持方案二的总频率， 该年级某班有20名男生和30名女生，设该班支持方案二的频率估计值为， 则. 即该班支持率低于全年级平均水平，因此去掉该班后剩余班级的平均支持率高于全年级平均，故. 19．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $