第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

第七章《复数》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 2．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关．若复数线性相关，则满足题意的非零实数组可以为（    ） A． B． C． D． 7．设为多项式的所有复数根，则（    ） A． B． C． D． 8．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 10．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为2 11．欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．    13．设，，，下列命题中，假命题的个数为______． ①；②若，则；③； ④若，则；⑤． 14．已知复数，满足，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数满足是纯虚数，求的最小值． 16．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 17．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 18．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 19．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章《复数》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 2．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 3．若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 4．复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先将复数化为三角形式，再根据复数的幂运算法则求出，最后根据建立等式求解. 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 5．若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 其中，当时，最大值为. 6．对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关．若复数线性相关，则满足题意的非零实数组可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件中的线性相关，将代入求解即可. 【详解】由题意得，， 即，， 若为满足要求. 故选：D 7．设为多项式的所有复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合高次的韦达定理可求的值. 【详解】, 设，则可化为， 整理得到， 若，则，矛盾， 故， 故， 故为方程的复数根， 故为的全部的复数根， 所以， 同理， 故. 故选：C. 【点睛】思路点睛：复系数的高次方程的根的关系，依然可以利用韦达定理来处理，注意根据所求代数式的特征合理换元与构造对应的方程. 8．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 10．（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为2 【答案】ABD 【详解】设复数（a，），由可得，. 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误； 选项D：， 因为，当时，的最大值为，正确. 11．欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 【答案】ACD 【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 【详解】A．设，因为，所以，所以， 所以．所以．所以，， 所以，，因此A正确． B．复平面上表示，的点关于实轴对称，因此B不正确； C．，因此C正确； D．由A的解析可知：互为共轭复数，因此D正确． 故选：ACD． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．    【答案】/ 【分析】向量可由向量逆时针旋转得到，然后由复数的三角形式的乘法运算可得再由向量的加法可得，最后根据复数的几何意义可得. 【详解】∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为，+，即点C对应的复数是． 故答案为： 13．设，，，下列命题中，假命题的个数为______． ①； ②若，则； ③； ④若，则； ⑤． 【答案】2 【分析】求得的关系判断①；求得、的关系判断②；利用复数模的运算性质判断③；举反例否定④；举反例否定⑤ 【详解】令，，则,. 则①，判断正确； ②若，则，则 又，，则.判断正确； ③.判断正确； ④若令，，，则， 但此时.判断错误； ⑤当，时， ，即.判断错误. 故答案为：2 14．已知复数，满足，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】设，由题意可得，解得，即，将复数转化为三角形式代入到可得，结合三角恒等变换可得，易得当时的值最大. 【详解】设，则，即，，则． 设， 于是 ， 从而 当且仅当时取最大值， 所以的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数满足是纯虚数，求的最小值． 【答案】． 【分析】设，化简，由是纯虚数可得，代入化简可得即可求解. 【详解】设，则． 因为为纯虚数，所以，所以，所以． 所以 ． 故当时，取得最小值，最小值为． 16．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设中的欧拉公式可求. （2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集. 【详解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 17．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）根据给定定义及函数关系求解. （2）根据变换的定义及点与直线关系，建立恒成立的方程，进而求得方程组的解. （3）根据给定变换求出，再利用的几何意义建立不等式组，进而求出范围. 【详解】（1）依题意，点P对应的复数为， ，则点Q对应的复数为，所以. （2）设点P对应的复数为， 则点Q对应的复数， 点Q坐标为， 由点P在直线上，得， 的反函数为， 将点Q的坐标带入中得， 代入并整理得到， 由对于任意的该方程都成立，得， 解得或， 所以有序实数对为，或，. （3）设，则， ， 因此复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心为、 内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分， 又该部分点集是集合的子集，且， 则或， 解得或， 所以的取值范围是或. 18．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 19．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $