第四章　4.6　正弦定理、余弦定理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦正弦定理、余弦定理及其应用，覆盖三角形解的判断、面积计算、中线与角平分线等核心考点，对接高考评价体系，分析解三角形、形状判断等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”，包含2024-2026年高考真题及模拟题，通过题型分类、真题解析、跟踪训练，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。如例1结合正弦定理与余弦定理解外接圆问题，例3利用面积公式与余弦定理求角，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准组织复习，提升备考效率。

正弦定理、余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 =______=_____=2R a2=_______________； b2=________________； c2=_______________ b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (1)a=2Rsin A，b=__________， c=__________； (2)sin A=，sin B=_____， sin C=_____； (3)a∶b∶c=___________________ cos =___________； cos=__________； cos =__________ 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 2.三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高)； (2)S=__________=_________=_________；  (3)S=(r为三角形的内切圆半径). absin C acsin B bcsin A r(a+b+c) 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b. (　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. (　　) (4)在△ABC中，若b2+c2-a2>0，则△ABC为锐角三角形. (　　) 自主诊断 × √ × × 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=，a=1，B=，则c等于 A. B.2 C. D.3 √ 解析　由余弦定理得cos B=，即-=，整理得c2+c-6=0，解得c=2(负值舍去). 3.(2025·广安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，C=，b=，则a等于 A.2 B. C. D. √ 解析　因为A=，C=，所以B=π--=， 由正弦定理=，可得a===. 4.(2025·辽阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC的面积为　　　　.  4 解析　在△ABC中，因为a=5，b=7，c=4， 由余弦定理可得cos B===-，又0<B<π， 所以sin B===， 因此，S△ABC=acsin B=×5×4×=4. 1.熟记以下△ABC中的常用结论： (1)A+B+C=π，=-. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A+B)=sin C；cos(A+B)=-cos C；tan(A+B)=-tan C. (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=bcos A+acos B. 微点提醒 2.谨防两个易误点 (1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解. (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　 (1)(2026·临沂模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是△ABC的外接圆的圆心，a=4，b=6，sin C+cos C=，则该外接圆O的面积为 A.8π B.5π C.10π D.20π √ 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 解析　由sin C+cos C=，得sin=，即sin=1， 又因为0<C<π，得<C+<， 所以C+=，所以C=， 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得c2=32+36-2×4×6×=20，解得c=2， 由正弦定理得外接圆O的直径2R===2，所以R=， 所以圆O的面积S=πR2=10π. (2)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=，a=3sin B，则C等于 A. B. C. D. √ 解析　在△ABC中，由b2+c2+bc=a2及余弦定理，可得cos A==-， 由0<A<π，可得A=， 又b=，a=3sin B，由正弦定理得 sin B====， 又sin B>0，解得sin B=， 又0<B<，因此B=， 所以C=π-A-B=. 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理求解. (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理的推论求解. (3)利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 思维升华 跟踪训练1　(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是 A.a=3 B.b=7 C.B=60° D.sin C= √ √ √ 解析　由sin 2B+sin B=0，得 2sin Bcos B+sin B=0， 因为在△ABC中，0°<B<180°，故sin B>0，得cos B=-， 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得b2=a2+52-2×a×5×=a2+5a+25， 因为b=10-a，所以(10-a)2=a2+5a+25， 解得a=3，所以b=7. 由cos B=-，得B=120°，则sin B=. 由正弦定理得sin C=sin B=×=. 例2　(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是 A.若a=2ccos B，则△ABC是等腰三角形 B.若cos Acos Bcos C>0，则△ABC是锐角三角形 C.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形 D.若a-ccos B=acos C，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 √ 命题点1　三角形的形状判断 √ √ 解析　对于A，方法一　由正弦定理可得sin A=2sin Ccos B， 又sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B，因此可得sin(B-C)=0， 又因为B∈(0，π)，C∈(0，π)， 所以B=C，所以△ABC是等腰三角形，A正确； 方法二　由余弦定理得a=2c·， 即a2=a2+c2-b2，即b2=c2， 又b>0，c>0，所以b=c， 所以△ABC为等腰三角形，A正确； 对于B，由cos Acos Bcos C>0且A+B+C=π知，cos A>0，cos B>0，cos C>0，所以A，B，C∈，所以B正确； 解析　对于C，若acos A=bcos B，由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B， 即sin 2A=sin 2B，因此2A=2B或2A=π-2B， 可得A=B或A+B=，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由正弦定理可得sin A-sin Ccos B=sin Acos C， 即sin Bcos C+sin Ccos B-sin Ccos B=sin Acos C，所以sin Bcos C=sin Acos C， 所以sin B=sin A或cos C=0，所以A=B或C=， 即△ABC为等腰三角形或直角三角形，D正确. 例3　(2025·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=(b2+c2-a2)，则cos A=　　　.  命题点2　三角形的面积 解析　由S=(b2+c2-a2)， 可得bcsin A=(b2+c2-a2)， 所以sin A=·， 所以sin A=2cos A>0， 即cos A>0， 两边平方得sin2A=8cos2A， 又sin2A+cos2A=1， 所以9cos2A=1，所以cos A=. (1)判断三角形形状的两种思路 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. (2)三角形面积公式的应用原则 ①对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 思维升华 跟踪训练2　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin Bsin C，(b+c+a)(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ 解析　因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc， 所以b2+c2-a2=bc， 所以cos A===. 因为A∈(0，π)，所以A=， 又sin2A=sin Bsin C，所以a2=bc， 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c， 所以△ABC是等边三角形. (2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C =cos B，a2+b2-c2=ab. ①求B； 解　由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab，所以cos C=， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C===， 又因为sin C=cos B，即cos B=，又B∈(0，π)，所以B=. (2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C =cos B，a2+b2-c2=ab. ②若△ABC的面积为3+，求c. 解　由①可得B=，cos C=，C∈(0，π)， 从而C=，sin A=sin(B+C)=sin=×+×=. 方法一　由正弦定理有=，从而b=·c=c， 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A=·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+，可得c2=3+，所以c=2. (2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C =cos B，a2+b2-c2=ab. ②若△ABC的面积为3+，求c. 解　方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C=2R2···=·R2=3+. 所以R=2. 所以c=2R·sin C=2×2×=2. 例4　(多选)(2026·沈阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，点D为边BC上一动点，则 A.BC=2 B.当AD为边BC上的高时，AD= C.当AD为边BC上的中线时，AD= D.当AD为角A的平分线时，AD= 题型三　与中线、角平分线、垂线有关的问题 √ √ √ 解析　对于A，由余弦定理，可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=16+36-2×4×6×=28， 所以BC=2，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得S△ABC=×AB×AC×sin A=×4×6×=6， 而S△ABC=×BC×AD=×2×AD=6，故AD==，所以B错误； 对于C，因为=+)， 所以=+2·+)=×=19，所以||=，所以C正确； 解析　对于D，因为AD为角A的平分线， 则∠BAD=∠CAD=， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD， 可得6=×4×ADsin+×6×ADsin， 可得AD=，所以D正确. 三角形中线、角平分线的解题策略 (1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即=+)，两边平方即可得到边与角的关系. (2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，=. 思维升华 跟踪训练3　(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=，角A的平分线AD交BC于点D，AD=2，b=6，则以下结论正确的是 A.c=3 B.BD=2CD C.△ABC的面积为 D.a=3 √ √ 解析　如图所示， A=，则sin A=sin=，cos A=-， 由S△ABC=S△ACD+S△ABD，即有bcsin A=b·AD·sin+c·AD·sin， 所以bc=2b+2c，因为b=6，所以c=3，故A正确； 由角平分线的性质可知，===，即2BD=CD，故B错误； S△ABC=bcsin A=×6×3×=，故C正确； 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+9+2×6×3×=63， 所以a=3，故D错误. 微拓展 相关定理在解三角形中的综合应用 1.角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则=. 进而得到(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理). (2)==. 2.张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β， 则+=. 微拓展 3.中线长定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线， 则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 典例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线长为　　　.  微拓展 7 解析　方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知， AB2+BC2=2(BD2+DC2)， 即c2+a2=2， 则BD2=-=-=49，BD=7， 故AC边上的中线长为7. 解析　方法二　因为a=7，b=8，c=9，由余弦定理得cos B== =. 设D是AC的中点，则=+)， 两边平方得||2=+2·+) =×=49， 所以||=7，即AC边上的中线长为7. (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=，AD=2，则2b+c的最小值为　　　　　.  微拓展 6+4 解析　如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD =∠BAC=， 由张角定理得=+， 即=+，∴+=， ∴2b+c=(2b+c)×2=6++≥6+2 =6+4(当且仅当=且+=， 即c=b=2+2时取等号). 返回 一、单项选择题 1.(2025·北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B-sin A=0，则b等于 A. B.2 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 解析　因为asin B-sin A=0，即asin B=sin A，由正弦定理得ab=a，又a≠0，所以b=. 2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于 A.45° B.60° C.120° D.135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　方法一　由余弦定理得cos A= ==， 又0°<A<180°，所以A=45°. 方法二　由题意得BC<AB<AC，所以A<C<B，又A+B+C=180°， 所以A<60°，结合选项可知A正确. 3.(2025·齐齐哈尔模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=4，sin A=，则△ABC的面积为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A，代入=4， 整理可得bc=2，所以S=bcsin A=×2×=. 4.(2025·杭州期末)在△ABC中，cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为cos2=， 所以=，整理得cos B=， 方法一　由余弦定理得=， 化简得a2+b2=c2，所以C=. 故△ABC的形状为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　由正弦定理==， 得cos B=， 所以sin Ccos B=sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C， 得sin Bcos C=0， 又B∈(0，π)，所以sin B>0， 所以cos C=0，又C∈(0，π)， 所以C=. 故△ABC的形状为直角三角形. 5.(2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设BD=x，则AD=2x， 在△ADC中，得cos∠ADC==， 在△BDC中， 得cos∠BDC==， 因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0， 即+=0，解得x=2或x=-2(舍去)，所以c=3x=6. 6.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为B=，b2=ac， 则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理可得， b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac， 即a2+c2=ac， 根据正弦定理得 sin2A+sin2C=sin Asin C=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=， 因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0， 则sin A+sin C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结论中正确的是 A.A∶B∶C=2∶3∶4 B.△ABC为钝角三角形 C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6 D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4， 由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4，A错误； 设a=2x，b=3x，c=4x，x>0， 由题意可知，C为最大角，0<C<π， 因为cos C===-<0，故C为钝角，故B正确； 若a+b+c=18，则a=4，b=6，c=8， 又cos C=-，所以sin C==， 所以S△ABC=absin C=×4×6×=3，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由正弦定理得2R===，即R=， 由面积公式可得(a+b+c)r=absin C， 即×9x×r=×2x×3x×， 所以r=x，所以=，故5R=16r，故D正确. 8.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则 A.BC边上的高线长为 B.AD= C.BD= D.BE= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　在△ABC中，由余弦定理 cos∠BAC===， ∴∠BAC=60°， 设BC边上的高为h， 则S△ABC=AB·AC·sin 60°=·BC·h， 解得h=，故A正确； 又S△ABD+S△ACD=S△ABC，故AB·AD·sin 30°+AC·AD·sin 30°=AB·AC·sin 60°， 解得AD=，故B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知=， ∴=，∴BD=DC=BC=， 故C正确； ∵E为AC的中点，∴AE=2，在△ABE中， 由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAC =1+4-2×1×2×=3，∴BE=，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A=60°，b=1，c=4，则=　　　　.  解析　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8×=13，即a=， 由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆的半径)， 可得==2R===. 10.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=，AB=3，AD=2，若AC=3，则CD=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为在△ABC中，∠B=，AB=3，AC=3， 由正弦定理可得=，所以sin∠ACB===， 又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，因此cos∠ACD=sin∠ACB=， 在△ACD中，AD=2，AC=3， 由余弦定理可得cos∠ACD===， 所以CD2-6CD+5=0，解得CD=1或CD=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B =bcos A，c-2b=1，a=. (1)求A的值； 解　已知asin B=bcos A， 由正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A， 显然cos A≠0，sin B≠0， 则tan A=，由0<A<π，可知A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B =bcos A，c-2b=1，a=. (2)求c的值； 解　由(1)知，cos A=，且c=2b+1，a=， 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)×=3b2+3b+1，即b2+b-2=0， 解得b=1(b=-2舍去)，故c=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c-2b=1，a=. (3)求sin(A+2B)的值. 解　由正弦定理=，且b=1，a=，sin A=，得sin B==，且a>b，则角B为锐角， 故cos B=， 又sin 2B=2sin Bcos B=， 且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=， 故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C +b=0，b=c. (1)求cos C； 解　因为acos C+b=0，所以a·+b=0， 即a2+3b2-c2=0， 因为b=c，则c=2b， 即a2+3b2-8b2=a2-5b2=0， 又a>0，b>0，故a=b， 由余弦定理可得cos C===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C +b=0，b=c. (2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求AD的长. 解　因为cos C=-， 则sin C===， 因为S△ABC=absin C=ab=，可得ab=， 又因为a=b，c=2b，故a=，b=，c=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C +b=0，b=c. (2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求AD的长. 解　由b=c， 得sin B=sin C=×=， 在△ABD中， 由正弦定理可得=，故AD===. 13.(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2，tan A=2，向量在向量上的投影向量为，则 A.边BC上的高为3 B.sin∠ACB= C.·=-8 D.边AB上的中线长为 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知=，所以AD=AB， 设AD=x，则BD=2x，又tan A=2，所以CD=2x，所以B=， 在Rt△ACD中，AC=x=2，所以x=2， 所以AD=2，BD=4，CD=4，所以AB=6， 在Rt△BCD中，易得BC==4， 所以边BC上的高为AB·sin B=3，故选项A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠ACB==， 又因为∠ACB∈(0，π)，所以sin∠ACB==，故选项B正确； ·=||||cos∠ACB=2×4×=8，故选项C错误； 设AB的中点为M，则=+)， 所以=++2·)=×(20+32+2×8)=17， 则||=，即CM=，故选项D正确. 14.已知△ABC的面积S=(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　依题意，△ABC的面积S=(b2+c2)， 则bcsin A=(b2+c2)，即2bcsin A=b2+c2， 由于0<A<π，所以0<sin A≤1， 所以0<2bcsin A≤2bc， 即0<b2+c2≤2bc， 由基本不等式可知b2+c2≥2bc， 当且仅当b=c时等号成立， 所以b2+c2=2bc，b=c，所以sin A=1，A=，所以△ABC是等腰直角三角形. 返回 $