第四章　4.1　三角函数基本公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数模块，覆盖角的概念、弧度制、同角关系、诱导公式等高考核心考点，依据高考评价体系分析各考点权重，归纳出基本概念辨析、公式应用、综合计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题与模拟题结合的实战训练，如2023·全国乙卷“已知tanθ求sinθ-cosθ”等真题解析，通过“已知sinα±cosα求sinαcosα”等方法培养数学思维，设“易错陷阱警示”提升得分率，助力学生冲刺，为教师提供系统复习指导。

三角函数基本公式 1.角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为 、 和 ； (2)按终边位置分为 和轴线角 相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或__________________ 端点 正角 负角 零角 象限角 {β|β=α+2kπ，k∈Z} 2.弧度制的定义及公式 定义 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 ||= (弧长用l表示，半径用r表示) 角度与弧度的换算 1°= rad；1 rad= ≈57.3° 弧长公式 弧长l=____ 扇形面积公式 S= =______ 半径长 ° |α|r lr |α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y=sin α，x=cos α，=tan α(x≠0). (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α=，cos α=，tan α=(x≠0). 4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： .  sin2α+cos2α=1 =tan α 5.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α ______ ______ _____ _____ _____ 余弦 cos α ______ _____ ______ _____ ______ 正切 tan α _____ ______ -tan α     口诀 奇变偶不变，符号看象限 -sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α -tan α 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (4)tan=(α≠kπ，k∈Z).(　　) 自主诊断 × √ × √ 2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 A.sin(-x)=sin x B.sin=cos x C.cos=-sin x D.cos(x-π)=-cos x √ 解析　 sin(-x)=-sin x，故A不成立； sin=-cos x，故B不成立； cos=-sin x，故C成立； cos(x-π)=-cos x，故D成立. √ 3.已知α是第二象限角，且sin α=，则tan α等于 A.-　　　B.-　　　C.-　　　D.- √ 解析　因为α是第二象限角，且sin α=，故cos α=-=-， 则tan α==-. 4.(2026·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P， 则cos α-sin α=　　　.  解析　由题意，cos α=-，sin α=-， 则cos α-sin α=--=. 1.熟记关于角的两个常用结论 (1)象限角 微点提醒 (2)轴线角 微点提醒 2.谨防几个易误点 (1)角度与弧度不可混用； (2)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况； (3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号； (4)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶 数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(多选)下列说法正确的是 A.665°角是第四象限角 B.与-65°角终边相同的角的集合为 C.若α是第二象限角，则2α是第三象限或第四象限角 D.若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 √ 题型一　三角函数基本概念 命题点1　任意角与象限角 √ √ 解析　对于A，α=665°=360°+305°，所以665°角和305°角的终边相同，故665°角是第四象限角，故A正确； 对于B，与-65°角终边相同的角的集合为，故B正确； 对于C，D，因为α是第二象限角，可得+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，则π+4kπ< 2α<2π+4kπ，k∈Z，所以2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角，故C错误； 又+kπ<<+kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一象限或第三象限角，D正确. 例2　(2025·青岛模拟)中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记 的长为l1 cm， 的长为l2=12 cm，若l1∶l2=3∶1，AD=8 cm，则扇环的面积为 A.128 cm2 B.π cm2 C.π cm2 D.192 cm2 √ 命题点2　弧度制与扇形公式 解析　因为 的长为l1 cm， 的长为l2=12 cm，l1∶l2=3∶1，AD=8 cm， 则l1=36 cm， 如图，设扇环所在圆的圆心为O，OD=r，∠AOB的弧度数为α， 则 解得 则扇环的面积S=×36×(8+4)-×12×4=192(cm2). 例3　已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(-1，t)，若sin α=-，则tan α等于 A.-3　　　B.-　　　C.　　　D.3 命题点3　任意角的三角函数 √ 解析　因为角α的终边经过点(-1，t)， sin α=-， 所以sin α==-，且t<0， 解得t=-， 所以tan α==. (1)确定kα或(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. (3)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出角α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标. (4)已知一个角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置. 思维升华 跟踪训练1　(1)(北师大版必修第二册P16练习T7)若角θ的终边经过点 P(-6t，-8t)(t≠0)，则sin θ-cos θ的值是　　 　.  ± 解析　因为角θ的终边经过点P(-6t，-8t)(t≠0)， 当t<0时，由三角函数的定义可得 sin θ===， cos θ===， 此时sin θ-cos θ=-=； 当t>0时，由三角函数的定义可得 sin θ===-， 解析　cos θ===-， 此时sin θ-cos θ=-+=-. 综上所述，sin θ-cos θ=±. (2)已知扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α=　　　rad时，扇形的面积最大，最大面积为　　 　cm2.  2 25 解析　设扇形的弧长为l，所在圆的半径为R， 由已知得l+2R=20，即l=20-2R， 所以扇形的面积S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25. 所以当R=5 cm时，S取得最大值25 cm2， 此时l=10 cm，α==2(rad). 例4　(1)已知tan α=-3，则等于 A.-　　　B.　　　C.　　　D.- 题型二　同角三角函数基本关系式 √ 解析　因为tan α=-3， 所以==- =-=-=-=. (2)(2025·赤峰模拟)已知锐角α满足sin α-cos α=，则tan α的值为 A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析　方法一　由题意，sin α-cos α=， ① 则(sin α-cos α)2=，又sin2α+cos2α=1， 所以2sin αcos α=， 所以(sin α+cos α)2=1+=， 因为α为锐角，所以sin α+cos α>0， 所以sin α+cos α=， ② 由①和②联立解得sin α=，cos α=， 所以tan α==. 解析　方法二　由sin α-cos α=得， sin α=cos α+， 代入sin2α+cos2α=1得+cos2α=1， 整理得25cos2α+5cos α-12=0， 因为α为锐角，所以cos α>0， 解得cos α=， 所以sin α=，故tan α==. (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用= tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如，asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. (3)对于sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2 =1±2sin αcos α，可以知一求二. 思维升华 跟踪训练2　(1)(2025·萍乡模拟)已知x∈，sin4x+cos4x=，则sin x +cos x等于 A.-　　　B.　　　C.-　　　D. √ 解析　因为sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=， 所以sin2xcos2x=， 又x∈，所以cos x>0，sin x>0， 则sin xcos x=，sin x+cos x===. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ=，则sin θ-cos θ=　　　. - 解析　因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ==，则cos θ=2sin θ， 且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1， 解得sin θ=或sin θ=-(舍去)， 所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-. 例5　(1)(2026·南京模拟)等于 A.　　　B.-　　　C.　　　D.- 题型三　诱导公式 √ 解析　= == ===-. (2)(2025·淄博模拟)若sin=，且0<x<，则sin等于 A.　　　B.-　　　C.　　　D.- √ 解析　sin=sin =cos， 因为0<x<，所以-x∈， 所以cos===， 即sin=. (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2025·六安模拟)已知cos=2cos(α+π)，则 等于 A.-5　　　B.-3　　　C.-　　　D.2 √ 解析　因为cos=2cos(α+π)， 化简得sin α=2cos α，所以tan α=2， 则==tan α=2. (2)(2025·湛江检测)若cos=，则sin等于 A.　　　B.-　　　C.　　　D.- √ 解析　sin=sin=sin=-cos=-. 返回 一、单项选择题 1.(2025·邢台模拟)2 025°角是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 解析　因为2 025°=5×360°+225°，225°角的终边在第三象限， 所以2 025°角是第三象限角. 2.在同一平面直角坐标系中，角α与4α的终边重合，则α的值可能是 A.　　　B.　　　C.　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　由题意得4α-α=3α=2kπ，k∈Z， 可得α=kπ，k∈Z， 所以各选项中只有符合. 3.设集合M=，N=，则 A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由于集合M中，x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°，2k+1是奇数； 而集合N中，x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°，k+1是整数， 因此必有M⊆N. 4.(2025·日照模拟)已知α是第一象限角，且sin α+cos α=3cos αtan α，则sin的值为 A.-　　　B.-　　　C.　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为sin α+cos α=3cos αtan α， 所以sin α+cos α=3sin α，所以cos α=2sin α，左右两侧平方得cos2α=4sin2α =4(1-cos2α)， 所以5cos 2α=4，又因为α是第一象限角，所以cos α=， 则sin=cos α=. 5.(2026·哈尔滨检测)已知sin α-cos α=，则+tan α的值为 A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　已知sin α-cos α=，两边平方可得(sin α-cos α)2=， 即sin2α-2sin αcos α+cos2α=， 因为sin2α+cos2α=1， 所以1-2sin αcos α=，解得sin αcos α=. 则+tan α=+===. 6.(2025·徐州模拟)已知cos(75°+α)=，α是第三象限角，则sin(195°-α) +cos(105°-α)等于 A.-　　　B.　　　C.-　　　D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 解析　因为cos(75°+α)=， 所以sin(195°-α)+cos(105°-α)=sin+cos =-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.已知A(4，3)是角α终边上的一点，则 A.sin(π-α)= B.sin= C.tan(π-α)= D.cos=- √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　角α终边上一点A(4，3)，则OA==5(O为 坐标原点)， 于是sin α==，cos α==，tan α==， 对于A，sin(π-α)=sin α=，A正确； 对于B，sin=cos α=，B正确； 对于C，tan(π-α)=-tan α=-，C错误； 对于D，cos=-sin α=-，D正确. 8.(2025·临沂模拟)下列说法正确的是 A.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 B.若角α是第一象限角，则是第一象限或第二象限角 C.若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β=+2kπ，k∈Z D.cos 3·sin 4>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，设扇形所在圆的半径为r，由扇形弧长公式得r=，解得 r=， 所以扇形的面积S=××=，故A正确； 对于B，若角α是第一象限角， 则α∈，k'∈Z， 于是∈，k'∈Z，可得的终边在第一象限或第三象限，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于C，若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β=π+2kπ，k∈Z，故C错误； 对于D，因为<3<π，π<4<，所以cos 3<0，sin 4<0，所以cos 3·sin 4>0， 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cos α的值为　　 　. - 解析　因为sin α==-， cos α==， 所以sin α-cos α =--=-. 10.在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 方案一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　∵△AOB是顶角为120°，腰长为2的等腰三角形， ∴A=B=30°=，AD=OA=2， 易得OM=ON=2sin=1， ∴方案一中扇形的弧长为2×=， 方案二中扇形的弧长为1×=， ∴<，故方案一中扇形的弧长更短，切割时间短； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方案一中扇形的面积为××2=， 方案二中扇形的面积为××1=， 故两个方案中扇形的面积相等. 两种方案利用废料面积相等，方案一所需切割时间更短，故选择方案一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.(2026·宜春模拟)如图所示，角α为锐角，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边 与单位圆交于点P，cos α=，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆 交于点Q(x1，y1).设终边OQ对应的角度为β. (1)求tan β的值； 解　由角α为锐角，cos α=，则sin α==， 所以sin β=sin=cos α=，cos β=cos=-sin α=-， 所以tan β==-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.(2026·宜春模拟)如图所示，角α为锐角，设角α的始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于点P，cos α=，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转 后与单位圆交于点Q(x1，y1).设终边OQ对应的角度为β. (2)求的值. 解　= ===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·苏州统考)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. (1)求实数a的值； 解　∵sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根， ∴Δ=a2-4a≥0，解得a≥4或a≤0， 由根与系数的关系得sin θ+cos θ=a，sin θcos θ=a， ∵sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=a2-2a=1， 解得a=1-或a=1+(舍去)， 故a=1-. 12.(2025·苏州统考)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. (2)求+的值. 解　+ =- =- = =sin θ+cos θ=a=1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 13.(多选)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积为9，则下列说法正确的是 A.每一个直角三角形的面积为 B.3cos β-3cos α=2 C.3sin β-3sin α=2 D.sin2α+sin2β=1 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 解析　如图，设AB=c，AC=b， 由题意得AD=2，BC=3， 则所以 所以在Rt△ABC中，sin α=cos β=-+，cos α=sin β=+. 对于A，每个直角三角形的面积为bc=××=，故 A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于B，3cos β-3cos α=- =-2，故B错误； 对于C，3sin β-3sin α=-=2，故 C正确； 对于D，sin2α+sin2β=cos2β+sin2β=1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.(2025·乌鲁木齐模拟)已知角α(0°<α<360°)终边上A点坐标为 (sin 310°，cos 310°)，则α=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 140° 解析　因为sin 310°<0，cos 310°>0， 所以角α的终边在第二象限， 又因为tan α=== ===tan 140°， 且0°<α<360°，所以α=140°. 返回 $