第四章 课时1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角、弧度制及任意角的三角函数”核心考点，依据课标要求梳理了角的概念、弧度制互化、三角函数定义三大考查模块，通过近五年高考真题分析明确三角函数定义及应用占比达50%的高频考点，归纳出选择、填空及解答题基础题型的命题规律。 课件亮点在于“真题情境+技巧建模+素养提升”的备考设计，如以2025四川广安模拟题为例，运用数学思维推导扇形圆心角关系，结合“一全正、二正弦”口诀培养符号意识，通过终边旋转问题训练空间观念。特设易错点警示（如象限角范围判断），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位复习重点，提升备考效率。

课时1任意角、弧度制 的三角函数 及任意角 一、课标要求 1.了解任意角的概念和弧度制，能 的必要性！ 2.借助单位圆理解任意角的三角函 进行弧度与角度的互化，体会引入弧度 数（正弦、余弦、正切）的定义. 二、知识梳理 1.任意角 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形. (2)角的分类：正角、负角和零角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成 的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有做任何 旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角， 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐 标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在 坐标轴上的角（轴线角）不属于任何象限. (3)与角的终边相同的角的取值集合为{ 2.弧度制的定义和公式 ()定义：把长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记 作rad (2)公式 角c的弧度数公式 4 (弧长用1表示) ①1= rad≈0.01745rad; 180 角度与弧度的换算 ②lrad= 0≈57.30° 弧长公式 1-da 扇形面积公式 多中 3.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 cOS =x _tan a-y X Pc,),则 sin a= y 【拓展知识】 1.关于终边相同的角的三个常见结论： (1)终边相同的角相差360°的整数倍： (2)终边在同一直线上的角相差180°的整数倍； (3)终边在相互垂直的两直线上的角相差90°的整数倍. 2.象限角的取值集合 第一象限角的取值集合： 第二象限角的取值集合： 第三象限角的取值集合： 第四象限角的取值集合： a字a {A登s {a经a {交设s 3.轴线角的取值集合 终边落在x轴上的角的取值集合：{g手 终边落在y轴上的角的取值集合： 终边落在坐标轴上的角的取值集合： 4.对于已知角，判断的相应三角函数值的符号问题， 或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理， 常依据三角函数的定义， 5.三角函数定义的推广：当P(x,y)是单位圆上的点时，有sina=y,cos=x, 1au士，们若个是单位圆时，如圆的半径为r(喜则sma=卡coa= 6.当o(o时，①sinatand:②sinx+cos>1. 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打√”，错误的打×） (1)第二象限角大于第一象限角.( X (2)终边相同的两个角的正弦、余弦、 正切值分别相等. (V) (3)角的三角函数值与其终边上点P 的位置有关. (×) (4)若cos0心>0，则a是第一象限或第四象限角.(×) 2、 若一个扇形的面积为3π 3元 3元 A. B. 2 4 B【解析设扇形的圆心角为oa 所以u=3 故选B 半径为1，则该扇形的圆心角为( C. 3元 3元 D. 8 16 因为扇形的面积为3沉，半径为1，所以 a12, 8 8 2 3、(多选题)在平面直角坐标系中， A.小于的角定是锐角 B.钝角一定是第二象限的角 C.终边不重合的角一定不相等 D.第二象限角大于第一象限角： 下列命题正确的有() BC【解析】因为锐角Q习，所以小于的角不一定是锐角，故A不成立： 因为钝角()，第二象限角考支，k之，所以钝角一定是第二 象限角，故B成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故C成立； 例如，B3,但+，故D不成立.故选BC. 4、已知角0的终边过点P(-12,5),则sin0+cos0= -7 【解析】Op=V1s=13,所以sin0= 13 3’ COs 0=-12 所以sin0 13 +cos0=-7 13 四、考点扫描 考点一任意角及其表示 例1(1)己知u是锐角，那么2a是( A.第一象限角 C.小于180的正角 C【解析】因为a是锐角，即0-o< 2 选C. B.第二象限角 D.不大于直角的正角 所以是小于18的正角.故 (2)若角的顶点为坐标原点，始边在 则角a的取值集合是( A. a之 C.1 x轴的非负半轴上，终边在直线上， B. aa D. 七野2 D【解析】根据题意，角α的终边在直线3上，a为第一象限角时， 号车为养三限时，去亭综上，先a的散值统合 akD 是 (3)如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 B 75 30° {360°+30°≤u<k360°+105°，k∈Z}【解析】终边落在射线OA上的角的取值 集合是{B=k360°+30°，k∈Z,终边落在射线OB上的角的取值集合是{y= k360°十105°，k∈Z},所以终边落在阴影部分（含射线OA,不含射线OB)的角的 取值集合是{k360°+30°≤a<k360°+105°，k∈Z}. 规律方法： (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角 的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数(k∈Z)赋值来求得所需的 角. (2)表示终边落在某区域的角的集合时，要注意从小到大按照逆时针扫过该区域. 对点训练(1)（多选题）下列说法正确的有( A.-3π是第象限角 B. 4机是第三象限角 C.-400°是第四象限角 D.-315°是第一象限角 BCD【解析 】-3沉是第三象限角，A错误； 4=元十元，从而4机是第三象限角，B 4 3 3 正确； 三，从而C正确； B≥，D正确.故选BCD (2)如图，终边落在阴影部分（包括边界 A. t☒台 B. 套w C. 年a D. {吾a通a 的角的集合是() y 5π 6 -4-20 4 6 B【解析】终边落在阴影部分的角为5 ，k2, 即终边落在阴影 部分（包括边界）的角的集合是 a牛6 故选B. 2k元 (3)(2025·湖北黄冈市期中)若角x满足a= 3 () A.第一象限或第二象限或第三象限 B.第一象限或第二象限或第四象限 C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 kZ),则a的终边定在 π D【解析】当C时， 6 3π X三 第二象限；当时， 2 终边位于第一象限综上可知， 正半轴上.故选D. 5元 OX三 终边位于第一象限；当时， 6,终边位于 终边位于轴的非正半箱上：当太=训，2x名 则的终边一定在第一象限或第二象限或y轴的非 考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式 例2(1)(2025·四川广安市模拟)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情 况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成的，设扇形（如图）的面积 为S1,圆心角为1，圆面中剩余部分的面积为S2,圆心角为2，当S1与S2的比 值为5-10.618（黄金分制比）时，折扇看上去较为关观则下列结论不正确的是 2 () A.01十02=2元 B.a1=(V5+1)元 C.02=(5-1)元 D. 1V5-1 02 2 B【解析】设扇形的半径为R,由 易知1十2=2元，A正确； 所以5-1 u2+2=2元，解得u2=(5 2 所以w=2元-(5-1)元=(3-V5)元， aR 2 =5-1 故D正确； 02 2 2 一1)m,故C正确； 故B错误.故选B. (2)(2025·淅江湖州市检测)我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了 计惊扇形死长的近似计算公式：。号年谷公式中玄是指筒形中圆扳所对 弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在 园的直径.如图，已知扇形40B的面积为，扇形所在园0的半径为2，利用 上述公式，计算该扇形弧长的近似值为() A.V3+2 B. 3W3+2 2 C.4W3+1 D.23H 2 12x 2元 Q= C【解析】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知 3， 所以 3 如图，取AB的中点C,连接OC,交AB于点D,则☑.易知 6, 91= 则 6,所以 ASasT 2A正，所以扇形 弧长的近似值为 故选C D 规律方法： 应用孤度制解决问题时应注意 ()利用扇形的孤长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是孤度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 对点训练(1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以等边三角形的三个顶点 为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形如图，勒洛 三角形ABC的周长为π，侧该勒洛三角形ABC的面积为() 万 2-V3 A. B. 4 2元 C. D 7- 兀元 C【解析】因为勒洛三角形ABC的周长为π，所以每段圆弧长为 3 3, 解得 】,即等边三角形的边长为1.由题意， 得 故选C (2)砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气 韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB 所得部分，已知是，弧B,弧2多， 则此扇环形砖雕的面积为 m2. 【解析】设圆心角为，则 以纽， 所以此扇环形砖雕的面积为 2元 兀 3 3 以2A+1 QA,解得4]m,所 考点三三角函数的定义 例3（1)(2025·北京房山区模拟)已知角 点O按逆时针方向旋转，得到角B的终边， 4 4 A. B. C. 5 5 的终边过点④，把角的终边绕原 则s() 3 3 D 5 5 D【解析】因为角α的终边经过点3少 T 终边绕原点O逆时针旋转！ 得到 故选D. 3 所以 3a三， 因为把角的 角B的终边， 所以L 2,所以 (2)已知点P(sina,cosa)在第三象限，则角oa的终边在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C【解析】因为点Psn化，os④在第三象限，所以十&所以为第三象限介. 故选C 规律方法： 利用三角函数的定义， 已知角的三角函数值， 已知角终边上一点P的坐标， 也可以求出点P的坐标. 可以求出α的三角函数值； 对点训练(1)己知角a的终边过点P(-8m,一6sin30), 值为( A.-1 B.- D 2 2 2 2 C【解析】由题意，得点P(-8m,-3),r=64m2+9, 4 所以m>0,解得m= 故选C. 2 且C0S0= 5' 则m的 -8m 所以cosa= 二 64m2+9 (2)(2025·湖南长沙市长郡中学期末) 是( A.第一象限角 C.第三象限角 已知sin Ocos00,且cos0=cos0,则角0 B.第二象限角 D.第四象限角 D【解析】因为sin Ocos0,所以sin 又cos=cos0,所以cos0≥0 综上有sin0,cos>0, 即0为第四象限角.故选D 0,cos0是一正一负，