21.2.2　平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练习围绕平行四边形的5个判定定理，构建“基础巩固-能力提升-综合应用”三层训练体系，通过填空、证明、作图等题型，实现从单一知识点到多定理综合应用的进阶，培养学生推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|5个判定定理的定义与直接应用|填空题考查定义，选择题辨析判定条件，夯实概念理解| |能力提升|判定定理与全等、作图结合|典例及变式训练（如与全等证明结合），培养推理意识| |综合应用|多定理综合及动态问题|易错易混题（网格作图）、动态探究题（点运动问题），发展创新意识|

21．2.2　平行四边形的判定 1．利用定义判定一个四边形是平行四边形 两组对边分别 的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的判定定理1 两组对边分别 的四边形是平行四边形． 3．平行四边形的判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 4．平行四边形的判定定理3 对角线 的四边形是平行四边形． 5．平行四边形的判定定理4 一组对边平行且 的四边形是平行四边形． 考点1　平行四边形与全等相结合 【典例1】如图，AD是△ABC 的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF.求证：AD＝BF. 用平行四边形的判定定理和性质可解决有关角的相等或互补、线段相等或两直线平行等问题，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题． 【变式训练】 1．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在线段BD上，满足∠EAO＝∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形． 考点2　与平行四边形有关的作图问题 【典例2】如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交边CD于点F. (1)请用尺规作∠ADB的平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)； (2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠__ __．(两直线平行，内错角相等) 又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC， ∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DE∥__ __．(__ __)(填推理的依据) 又∵四边形ABCD是平行四边形． ∴BE∥DF. ∴四边形DEBF为平行四边形(__ __)(填推理的依据) 本题考查基本的尺规作图及平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握用尺规作已知角的平分线，能熟练运用平行线的判定与性质． 【变式训练】 2．尺规作图问题： 如图1，E是▱ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2.以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 小丽：以A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦……我明白了！ 　 (1)证明小明作法中AF∥CE； (2)指出小丽作法中存在的问题． 知识点1　两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件( ) A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180° 2．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( ) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形． 知识点2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 5．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 知识点3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是( ) 甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2 A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以 C．两人都可以 D．两人都不可以 7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 知识点4　对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴①____． 又∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②____). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①②应分别为( ) A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证： (1)OD＝OB. (2)四边形ABCD是平行四边形． 知识点5　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 10．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( ) 11．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC 易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形 12.在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 13．顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 图1 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是( ) A． B．3 C．3或 D．或 15． 如图，在▱ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连接BF，CE. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)若AB＝8，AD＝6，∠A＝60°，求CE的长． 【母题P62练习T2】如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. 【变式】(云南德宏州期末)如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，CD，AD.求证：四边形ABCD为平行四边形． 16．(推理能力)如图，△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内． (1)求证：四边形PEDC为平行四边形； (2)若在△APB中，AB＝3，PA＝，PB＝2，求四边形PEDC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21．2.2　平行四边形的判定 1．利用定义判定一个四边形是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．平行四边形的判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 4．平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．平行四边形的判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 考点1　平行四边形与全等相结合 【典例1】如图，AD是△ABC 的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF.求证：AD＝BF. 证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED. ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC. ∵AD是△ABC 的中线，∴DC＝BD＝AF， ∴四边形ADBF是平行四边形，∴AD＝BF. 用平行四边形的判定定理和性质可解决有关角的相等或互补、线段相等或两直线平行等问题，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题． 【变式训练】 1．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在线段BD上，满足∠EAO＝∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形． 在△AOE和△COD中， ∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OD＝OE. 又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形． 考点2　与平行四边形有关的作图问题 【典例2】如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交边CD于点F. (1)请用尺规作∠ADB的平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)； (2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠__DBC__．(两直线平行，内错角相等) 又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC， ∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DE∥__BF__．(__内错角相等，两直线平行__)(填推理的依据) 又∵四边形ABCD是平行四边形． ∴BE∥DF. ∴四边形DEBF为平行四边形(__两组对边分别平行的四边形是平行四边形__)(填推理的依据) 解：(1)作图如下： DE即为所求； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC.(两直线平行，内错角相等) 又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC. ∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC. ∴∠EDB＝∠DBF. ∴DE∥BF.(内错角相等，两直线平行)(填推理的依据) 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE∥DF， ∴四边形DEBF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)(填推理的依据). 本题考查基本的尺规作图及平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握用尺规作已知角的平分线，能熟练运用平行线的判定与性质． 【变式训练】 2．尺规作图问题： 如图1，E是▱ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2.以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 小丽：以A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦……我明白了！ 　 (1)证明小明作法中AF∥CE； (2)指出小丽作法中存在的问题． (1)根据小明的作法，知CF＝AE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. 即AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥CE； (2)以A为圆心，EC长为半径画弧，交边BC于点F，此时可能会有两个交点，但只有其中之一符合题意．故小丽的作法有问题． 知识点1　两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件(D) A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180° 2．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是(B) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形． ∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C. ∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE. ∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形． 知识点2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(B) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 5．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． ∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠BCA＝90°. 在Rt△CAD与Rt△ACB中， ∴Rt△CAD≌Rt△ACB(HL)， ∴AD＝BC.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 知识点3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是(B) 甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2 A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以 C．两人都可以 D．两人都不可以 7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 知识点4　对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴①____． 又∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②____). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①②应分别为(D) A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证： (1)OD＝OB. (2)四边形ABCD是平行四边形． (1)∵O是AC中点，∴OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OE＝OF. ∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD， 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OD＝OB； (2)∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形． 知识点5　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 10．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(D) 11．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(D) A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC 易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形 12.在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为(B) A．2 B．3 C．4 D．5 13．顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(B) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 当①AD∥BC，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形．理由如下： 连接AC，如图1所示．∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD. 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴BC＝DA， ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形； 当①AD∥BC，③∠A＝∠C时，四边形ABCD为平行四边形．理由如下： 连接AC，如图1所示． 图1 ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD. ∵∠A＝∠C，∴∠BAD－∠CAD＝∠BCD－∠ACB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD. ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形； 当③∠A＝∠C，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形．理由如下： 图2 如图2所示，在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°. ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴2∠C＋2∠B＝360°， ∴∠C＋∠B＝180°， ∴AB∥CD.同理，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(D) A． B．3 C．3或 D．或 15． 如图，在▱ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连接BF，CE. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)若AB＝8，AD＝6，∠A＝60°，求CE的长． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD.∵F是CD的中点，∴CF＝CD. 又∵BE＝AB，∴CF＝BE. ∵CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形； (2)如图，过点C作CH⊥BE于点H. 由题意，可得∠CBE＝∠A＝60°， CD＝AB＝8，BC＝AD＝6. 在Rt△BCH中，∠BCH＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°，∴BH＝BC＝×6＝3. 由勾股定理，得CH＝＝＝3. 由(1)，可知四边形BECF是平行四边形， ∴BE＝CF＝CD＝×8＝4，则EH＝BE－BH＝4－3＝1. 在Rt△CHE中，根据勾股定理，得 CE＝＝＝2. 【母题P62练习T2】如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. ∵AE⊥BD，BD⊥CF，∴AE∥CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBF. ∵AE⊥BD，BD⊥CF，AD＝BC， ∠ADB＝∠CBF，∴△BCF≌△DAE， ∴AE＝CF. ∵AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形． 【变式】(云南德宏州期末)如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，CD，AD.求证：四边形ABCD为平行四边形． 如图，设BD交EF于点O. ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴OB＝OD，OE＝OF. ∵AE＝CF， ∴OE＋AE＝OF＋CF，即OA＝OC. 又∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 16．(推理能力)如图，△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内． (1)求证：四边形PEDC为平行四边形； (2)若在△APB中，AB＝3，PA＝，PB＝2，求四边形PEDC的面积． (1)∵△APE，△ABD是等边三角形， ∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAP－∠PAD＝∠DAB－∠PAD， ∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB(SAS)，∴DE＝BP， ∵△PBC是等边三角形，∴PC＝PB， ∴DE＝PC，同理PE＝CD，∴四边形PEDC是平行四边形． (2)如图所示，延长EP交BC于点H. ∵AB＝3，PA＝，PB＝2， ∴PA2＋PB2＝AB2， ∴∠APB＝90°. 又∵△APE，△PBC为等边三角形， ∴AP＝PE＝，PB＝PC＝2，∠APE＝∠BPC＝∠BCP＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPH＝30°， ∴∠PHC＝90°，∴CH＝CP＝1. 又∵PE＝， ∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $