精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学北门校区2025-2026学年第二学期九年级二模数学试题

2025-2026学年第二学期九年级独立作业（五）数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（每题4分，共36分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 【答案】C 【解析】 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据科学记数法表示即可． 【详解】， 故选C 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方计算，单项式除以单项式，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 某校社团开展关于古代四大发明的项目式学习活动，小明从造纸术、印刷术、指南针、火药项目中随机选择一项，恰好选择“造纸术”这个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 总共有造纸术、印刷术、指南针、火药4个等可能选择的项目，选择“造纸术”的结果只有1种 ∴ 恰好选择“造纸术”的概率为． 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 7. 某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，利用每周销售该款恤获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 某苹果批发商连续4天购进苹果，并从第3天开始销售，苹果的存量S（吨）与时间t（天）的函数关系如图所示，则苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（ ） A. 4.5天 B. 5天 C. 5.5天 D. 6天 【答案】B 【解析】 【分析】先求得购进苹果的速度是4吨/天，销售苹果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：购进苹果的速度是吨/天， 当在第3天时，库存物资应该有12吨，在第4天时库存8吨， 所以销售苹果的速度是（吨/天）， 所以剩余的8吨完全销售需要（天）， 故苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（天）． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时， C. 当时，函数的最大值为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与x轴有两个交点求出a的范围，再配方得到顶点式，结合开口方向、对称轴和函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数 的图象与轴有两个交点， ∴判别式 ， ∴，图象开口向上，故A错误． 将二次函数配方得： ， 可得对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，，故B错误． ∵，开口向上，顶点在区间内， ∴函数在内的最小值为，最大值大于，故C错误． ∵对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随值的增大而增大，故D正确． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知是常数，若和是同类项，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵和是同类项， ∴． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因数，再平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，掌握因式分解的方法步骤是解答的关键． 12. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】由题意得， ∴ ∴． 14. 如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由，设出边长，表示出的面积，的面积，的面积，结合，求解即可． 【详解】解：∵， 设，， ∴点的纵坐标为， 即，可得点的横坐标为，则点； ∴点， ∴点的纵坐标为， 即，可得点的横坐标为，则点； ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴，解得． 15. 一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数，∵，，∴是“九九数”．最小的“九九数”为__________；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了数字类规律，整式的加减，二元一次方程的解等知识，根据题意得到最小的“九九数”千位上数字为1，则个位上的数字为8，百位上的数字为0，则十位上的数字为9，即可得到最小的“九九数”， 设“九九数”M千位上数字为a, 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，，则，若“九九数”M能被11整除，则能别11整除，再进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，最小的“九九数”千位上数字为1，则个位上的数字为8，百位上的数字为0，则十位上的数字为9， ∴最小的“九九数”为， 设“九九数”M千位上数字为a, 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，， 则 若“九九数”M能被11整除，则能别11整除， 则设， ∵ ∴ ∴，则且为整数， 当时，M取得最小值，此时，M取得最小值为， 当时，M取得最大值，此时，M取得最大值为， ∴M的最大值与最小值之差为 故答案为：， 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算与解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式得； 解不等式得， 故不等式组的解集为． 17. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知甲骑自行车，乙骑电动车，他们沿相同路线由A地到B地，行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： ①A、B两地的路程为_____千米； ②乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时． 【答案】（1） （2）①；②乙在距A地千米处追上甲，此时甲行驶了小时 【解析】 【分析】（1）按照分式混合运算的法则进行计算即可； （2）①根据图象直接判断即可； ②分别求出两条线段的解析式，再联立求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①由图可知，A、B两地的路程为千米； ②设甲的运动路径的函数解析式为， 将点代入，得， ∴甲的运动路径的函数解析式为， 设乙的运动路径的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴乙的运动路径的函数解析式为， 联立两个函数可得， ， 解得， ∴交点坐标为， ∴乙在距A地千米处追上甲，此时甲行驶了小时． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①分别以B、C为圆心，为半径画弧，两弧交下方于点，连接即可； ②作的垂直平分线交于E，以E为圆心，为半径画弧，在下方交垂直平分线于点，连接即可； （2）作交于F，设，根据30度角的性质可知，根据菱形的面积公式求出，即可求出菱形的周长． 【小问1详解】 解：①如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，， ∴四边形为菱形； ②如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，，，， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，作交于F， 设， ∵， ∴， ∵菱形的面积为2， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴菱形的周长． 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】（1）①80；3；②180； （2）①92.2；②91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以，；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； 【小问2详解】 解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案为：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 22. 如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径和的长． 【答案】（1）见解析 （2）3， 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用以及相似三角形的性质与判定： （1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可； （2）连接，根据三角函数求出和半径的长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 连接， ，， ， ， ，即半径为3， 是直径， ∴， ， 又 ． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 【答案】（1）当时，是等腰直角三角形，见解析； （2）的长为； （3）的长度为或4cm． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状； （2）证明，由相似三角形的性质，可得的长； （3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，是等腰直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵沿着折叠， ∴，， ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）解：由折叠可得， ∵， ∴． ∴，，三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得，． ∴的长为． （3）解：∵沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， 分两种情况： 情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， 情况，如图，当点在上时，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点与点重合（如图）， 答：的长度为或4cm． 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级独立作业（五）数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（每题4分，共36分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校社团开展关于古代四大发明的项目式学习活动，小明从造纸术、印刷术、指南针、火药项目中随机选择一项，恰好选择“造纸术”这个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 某苹果批发商连续4天购进苹果，并从第3天开始销售，苹果的存量S（吨）与时间t（天）的函数关系如图所示，则苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（ ） A. 4.5天 B. 5天 C. 5.5天 D. 6天 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时， C. 当时，函数的最大值为 D. 当时，的值随值的增大而增大 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知是常数，若和是同类项，则_____． 11. 因式分解：______． 12. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 14. 如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是_______． 15. 一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数，∵，，∴是“九九数”．最小的“九九数”为__________；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为__________． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算与解不等式组： （1） （2） 17. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知甲骑自行车，乙骑电动车，他们沿相同路线由A地到B地，行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： ①A、B两地的路程为_____千米； ②乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 21. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 22. 如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径和的长． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $