3.1.1 变量与函数 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“变量与函数”核心知识点，通过语文课“高处不胜寒”、地理课“早穿皮袄午穿纱”及物理重力公式等跨学科情景导入，引导学生从生活现象中抽象变量关系，搭建从具体实例到函数概念的学习支架。 其亮点在于以跨学科情景培养数学眼光，通过“质量与重力关系表”“矩形面积是否为函数”等问题链发展推理意识，结合表格、关系式等多元表征强化模型意识。学生能在生活中感悟数学本质，教师可借助丰富实例提升教学效率。

八年级下册数学（湘教版） 3.1 函数的概念和表示法 第3章 一次函数 第 1 课时 变量与函数 语文课上... 情景1： 高处不胜寒，起舞弄清影； 说明纬度不变时， 随着 的变化而变化.（气温y、海拔高度x） 气温y 海拔高度x 地理课上... 情景2： 早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜； 说明一天中， 随着 的变化而变化. (气温y、时间x) 气温y 时间x 物理课上... 情景3： 质量(kg) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 重力(G) 重力公式：G=mg（g=10N/kg） 说明纬度不变时， 随着 的变化而变化.（重力G、质量m） 重力G 质量m 在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为 变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 注意： 1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中， 这个量是否可以取不同的数值； 2. π是一个无理数，属于常量. 归纳小结 议一议 如图，△ABC 底边 BC (设 BC = а) 上的高是 h. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时， 三角形的面积 S 会发生变化吗？ 若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？ 哪些是变量？ B C A C C C 在上述变化过程中，高 h 是常量， 底边长 a 和面积 S 都是变量， 并且面积随底边长的变化而变化. 数学课上... 当钩码质量分别为0.05，0.1，0.15，0.2，0.25kg时，钩码所受重力分别是多少？（g=10N/kg）试填写下表： 质量 (kg) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 重力 (G) 思考： 对于质量m和重力G，哪个量先发生变化？ 0.5 1 1.5 2 2.5 ✮质量m 在一个变化过程中， ①自身发生变化的量叫作自变量； ②随自变量变化而变化的量叫作因变量. 原因 结果 在情景3中， 是自变量， 是因变量； (质量m、重力G ) 在情景1中， 是自变量， 是因变量； (气温 y、海拔高度 x ) 海拔高度x 气温y 重力G 质量m 归纳小结 思考... 质量(kg) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 重力(G) 0.5 1 1.5 2 2.5 因变量随着自变量的变化而变化。 思考： 仔细观察表格，对于质量m的每一个值，重力G有几个值 与它对应？ ✬唯一一个 自变量确定一个值时，因变量有唯一的一个值与它对应。 因变量是自变量的函数 函数不是数，是一种对应关系 函数的概念： 一般地，如果变量y随着变量x而变化，对于x 取的 每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作：y=f (x). 因变量 自变量 在情景1中， 是 的函数； (气温y、海拔高度x) 在情景3中， 是 的函数； (质量m、重力G) 海拔高度x 气温y 重力G 质量m 归纳小结 练一练 1. 下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？ （1） 一辆“复兴号”列车以 350 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程 s（km）与行驶时间t（h）. （2） 某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与 相应的蓄水量V. 行驶路程S随着行驶时间t的变化而变化.S与t是变量，350是常量. 相应的蓄水量V随着其水位的高度h的变化而变化。 V与h是变量，a,b,c是常量. 【课本P85 练习 第1题】 练一练 2. 已知圆柱的高 h = 4 cm，底面半径是 r cm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积V = πr2h是r的函数. 在这个变化过程中， 哪个是自变量，哪个是因变量？r的取值范围是多少？ 【课本P85 练习 第2题】 r是自变量，V是因变量. 解：圆柱的体积V随着底面半径r的变化而变化. 说一说 下列各组给出了两个变量 x 和 y，判断 y 是不是 x 的函数. (1) y：正方形的周长；x：这个正方形的边长. (2) y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. (3) y：一个正数的平方根；x：这个正数. (4) y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. y是x的函数 y是x的函数 y不是x的函数 y不是x的函数 练一练 3.下列关于变量 x ，y 的关系式: ① y =2x+3；② y =x2+3；③ y =2|x|；④ ； ⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ． 4.下列图象中，表示 y 是 x 的函数的是( ) ①②③ C 自变量确定一个值时， 因变量有唯一的一个值与它对应. 课堂小结 1.函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的一个值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）有两个变量，其中的一个变量变化时，另一个变量 也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值 与之对应. 课堂练习 1. 某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用 n 表示 工作效率，用 t 表示规定的时间，下列说法正确的是( ) A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量 C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量 C C x≥2 x≠6 8 6. 用10 m 长的绳子围成长方形，设长方形的边长为 x m， 面积为S m2，用含x的式子表示S？自变量x的取值范围是多少？ 长方形的长为3 m时，面积为多少？ 解：S=x (10-2x)÷2 =x(5-x) 当长方形的长x=3时， S =3×(5-3) = 6m2 求自变量x的取值范围： x>0 5-x>0 0<x<5 $