精品解析：江苏盐城市康居路初中教育集团2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

初二数学作业 考试时间：90分钟 试卷满分：120 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 3. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. C. D. 1 5. 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 6. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 7. 如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 9.6 8. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 10. 方程的解是_______． 11. 在平行四边形中，若，则_______． 12. 抛掷一枚质地均匀的六个面刻有点数1～6的骰子，朝上一面数字为偶数的概率记为，朝上一面数字小于3的概率记为，则______．（填“>”“<”或“=”） 13. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 14. 如图，的对角线、相交于点O，点E是的中点，若，则的长为___________． 15. 已知反比例函数的图象经过点，当时，y取值范围是_______． 16. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是_______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在中，点A、C分别在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 20. 在某次寻宝比赛中，系统每次提供40个神秘宝箱，它们形状、大小和质地完全相同（里面装有金币等宝物）．小明进行以下试验：每次试验时，系统随机出现宝箱，然后他随机选取一个宝箱，打开并记录宝物．重复此过程多次，下表记录了试验的部分统计数据： 抽取的次数 50 100 200 400 800 1000 2000 … 抽到金币的次数 13 24 50 98 200 251 498 … 抽到金币的频率 0.260 0.240 0.250 0.245 0.250 0.251 0.249 … （1）该比赛中，当很大时，选到装有金币宝箱的频率在________附近摆动；（填常数，精确到0.01） （2）试估算，该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有多少个； （3）下面事件中，与（1）中事件发生的可能性相同的事件是________（填写所有正确结论的序号） ①买一张电影票，座位号是奇数； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内． 21. 某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． （1）他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； （2）在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，过点作轴，垂足为点，点是双曲线第三象限上一点，连接，． （1）求的值； （2）若的面积为12，求直线的解析式 23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． （2）在图②中，作四边形的边上的高． （3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 24. 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： （1）当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； （2）如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 25. 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点，是“瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与；②点与；③点与． （2）如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点，是“瞬移点”． ①求的值； ②求的面积． （3）如图2，已知，为反比例函数上一点．若且，为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出的值． 26. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． （1）如图1，矩形的对角线，交于点，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； （3）如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学作业 考试时间：90分钟 试卷满分：120 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案．即反比例函数的定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数是反比例函数． 【详解】解： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义； B、是一次函数，不符合反比例函数定义； C、中，符合反比例函数定义； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义． 2. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 3. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出的取值范围后，即可选出符合要求的选项． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得，选项中只有，符合的要求， 故k的取值可以是A项． 4. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得， ， 整理得， 解得， ∴这个数为， 故选：A． 5. 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可． 【详解】解：古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是随机事件， 故选：A． 6. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数的几何意义． 结合反比例函数关系是，设出点坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上的一点， 设， ∵轴， ， ， 故选：B． 7. 如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 9.6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长，再利用菱形面积的两种计算方法（底乘高和对角线乘积的一半）建立等式求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是菱形， ，，， ∴在中，  ，  ， ，， ， ． 8. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：将点代入解析式，得 解得． 10. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 11. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 12. 抛掷一枚质地均匀的六个面刻有点数1～6的骰子，朝上一面数字为偶数的概率记为，朝上一面数字小于3的概率记为，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式分别计算出和的值，再比较两个数的大小即可． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，共有种等可能的结果， 其中朝上一面数字为偶数的结果有，共种，因此 朝上一面数字小于的结果有，共种，因此 ． 13. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，的对角线、相交于点O，点E是的中点，若，则的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知为中点，进而根据中位线定理可得结果． 【详解】解：四边形为平行四边形， 是的中点 是的中位线 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题的关键． 15. 已知反比例函数的图象经过点，当时，y取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质结合给定的x的取值范围，求出y的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． ∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ ． 16. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，借助等腰直角三角形的几何性质，用含a，b的式子表示出点B的坐标，从而得到与b的关系，再整体代入即可求解． 【详解】解：设，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共10小题，共72分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）直接开方即可得出方程的解； （2）先确定，再求出，然后根据求根公式解答． 【小问1详解】 解：， 开方，得， 即， ∴； 【小问2详解】 解：， 由，可得， ∴， ∴． 18. 如图，在中，点A、C分别在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的基本判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的性质得出，得出，再由平行四边形的性质和判定即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形． 19. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． 20. 在某次寻宝比赛中，系统每次提供40个神秘宝箱，它们形状、大小和质地完全相同（里面装有金币等宝物）．小明进行以下试验：每次试验时，系统随机出现宝箱，然后他随机选取一个宝箱，打开并记录宝物．重复此过程多次，下表记录了试验的部分统计数据： 抽取的次数 50 100 200 400 800 1000 2000 … 抽到金币的次数 13 24 50 98 200 251 498 … 抽到金币的频率 0.260 0.240 0.250 0.245 0.250 0.251 0.249 … （1）该比赛中，当很大时，选到装有金币宝箱的频率在________附近摆动；（填常数，精确到0.01） （2）试估算，该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有多少个； （3）下面事件中，与（1）中事件发生的可能性相同的事件是________（填写所有正确结论的序号） ①买一张电影票，座位号是奇数； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内． 【答案】（1）0.25； （2）10个； （3）②③④． 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，简单的概率计算，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据表格中的数据即可得到答案； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得选到装有金币宝箱的概率约为，再根据概率计算公式求解即可； （3）根据概率计算公式分别计算出四个事件发生的概率即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察表格可知，当很大时，选到装有金币宝箱的频率在附近摆动； 【小问2详解】 解：由（1）可知，选到装有金币宝箱的概率约为， ∴该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有个； 【小问3详解】 ①买一张电影票，座位号是奇数的概率为； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球的概率为； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内的概率为． ∴与（1）中事件发生的可能性相同的事件是②③④． 21. 某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． （1）他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； （2）在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断出四边形中有一个角为直角，再根据矩形的定义即可判断四边形为矩形． 【小问1详解】 解：由题意可知，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ，，， 为矩形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，过点作轴，垂足为点，点是双曲线第三象限上一点，连接，． （1）求的值； （2）若的面积为12，求直线的解析式 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解； （2）先根据点A的坐标求出AB的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，即可求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式． 【详解】解：（1）∵双曲线，经过点， ， 解得； （2）设点到的距离为， 点的坐标为，轴， ， ， 解得， ∵点的纵坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以，直线的解析式为． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解题关键在于利用待定系数法求函数解析式. 23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． （2）在图②中，作四边形的边上的高． （3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可． 【小问1详解】 如图①中，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 如图②中，高即为所求； 根据网格与勾股定理得出 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图③中，点即为所求． 如图所示，找到格点， ，， 则是等腰直角三角形， 找到格点，则是矩形， ∴是的中点， ∴垂直平分， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： （1）当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； （2）如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）当，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． 【小问2详解】 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，, 依题意：, 解得：或（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． 25. 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点，是“瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与；②点与；③点与． （2）如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点，是“瞬移点”． ①求的值； ②求的面积． （3）如图2，已知，为反比例函数上一点．若且，为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出的值． 【答案】（1）②③ （2）①；② （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐个验证，即可求解． （2）①设，根据，在直线上得出，根据，是“瞬移点”得出，即可得出； ②联立，根据根与系数的关系可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出，代入式子的值，即可求解． （3）根据新定义求得，根据正方形的性质以及全等三角形的性质得出的坐标，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； 【小问2详解】 解：①设， ∵，在直线上， ∴ ∴， ∵，是“瞬移点”， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； ②联立 消去得，， ∴， ∴， ∵有交点，则，即， 又∵在的右侧，则， ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵在第一象限，则， ∴， ∵ ∴ ； 【小问3详解】 解：∵，， ①当时，解得：，满足， 此时， 当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在第四象限时， 设，则与关于对称， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，解得：，满足，结论同①， ∵不能为对角线，且，不存在其他情形， 综上所述，或． 26. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． （1）如图1，矩形的对角线，交于点，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； （3）如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 【答案】（1）证明：在矩形中， 为直角三角形， 由矩形的性质可知 是等腰三角形 四边形是奇特四边形 （2）的长为或 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可； （3）分情况讨论，分分别为奇特线时，根据中位线的性质结合等边三角形的性质，勾股定理求得的最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中， 为直角三角形 ①当时，如图作交于点， 为等腰三角形 ②当时，如图，作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵共线， ∴共线， 则在上，不是四边形，不符合题意，故此情形不存在； ③当时，如图， 综上所述，的长为或． 【小问3详解】 ∵菱形中，， ∴，， 连接， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， 情形一：当是奇特线时，如图，则是直角三角形，且 ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 延长交于点，连接， 又∵ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 此时 ∴的最小值为 情形二：当为奇特线时， ∵，故不能为直角三角形 当为等腰三角形时，重合，此时也为等腰三角形，不为直角三角形，故此情形不存在， 综上所述，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $