期末提优特训9《二次根式及其性质》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式定义、性质及应用，以“考点-策略-典例”构建系统性方法体系，强化分类讨论与非负性应用，落实抽象能力、逻辑推理及数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点突破|5大高频考点（含应对策略）|二次根式识别两步判定、取值范围不等式组法、化简分类讨论法、非负性拆分方程法|从定义判定到性质应用，形成概念-性质-应用递进链条| |典例与训练|3道经典例题+基础（36题）+提优（32题）|结合数轴化简、多层根式求解等技巧|覆盖选择/填空/解答，突出易错点（如忽略被开方数符号）|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训9 《二次根式及其性质》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.准确识记二次根式定义，能依据带根号+被开方数 ≥ 0两个条件判别二次根式；熟练求解含根式、分式组合代数式中字母取值范围；牢记两条核心性质： =a（ a ≥ 0 ） 、 =|a| ，能结合字母范围去根号化简；掌握二次根式双重非负性（ ≥ 0,a ≥ 0），会利用几个非负数和为0列式求值；熟记最简二次根式判定标准，快速辨别最简二次根式。 2.通过真题归类训练，总结 “ 求取值范围、根式化简、非负求值 ” 三类题型解题步骤，强化分类讨论思想（ =|a|去绝对值）。 3.克服忽略被开方数符号、直接去掉绝对值的易错误区，养成先判范围再化简的严谨习惯。 4.落实数学抽象（根式定义）、逻辑推理（分类去根号）、数学运算（性质化简）三大素养。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频四大考点（期末占分6～10分，选择+填空为主） 考点1：二次根式识别（选择必考） （1）考法：给出一组代数式，筛选二次根式；易错：负被开方数、立方根误判为二次根式。 （2）应对策略：两步判定： ① 式子带二次根号 （根指数为2）； ② 被开方数整体 ≥ 0，缺一则不是二次根式。 考点2：求字母取值范围（必考，基础填空/单选） （1）考法：单根式、根式+分式、多层嵌套根式三种形式求x范围；易错：分式忘记分母 ≠ 0。 （2）应对策略：列不等式组：根式 → 被开方数 ≥ 0；分式 → 分母 ≠ 0；多层根式从最内层依次 ≥ 0联立求解。 考点3：根式性质化简 =|a| （重难点，填空/解答题） （1）考法：结合数轴、字母取值范围去掉根号化简；易错：直接写成a，忽略正负讨论。 （2）应对策略：先判断a正负：a ≥ 0， =a；a<0， =-a，数轴题先从数轴判断正负。 考点4：双重非负性综合（高频压轴小题） （1）考法： +|B|+C 2 =0形式，利用各部分 ≥ 0，分别等于0解方程组求参数。 （2）应对策略：非负数相加为0 ⇨ 每一项都等于0，拆分多个方程联立求解。 考点5：最简二次根式辨析（填空/选择） （1）判定两条件： ① 被开方数不含分母； ② 不含能开得尽方的因数或因式；分母不含根号。 （2）应对策略：逐条对照，满足两条才是最简根式。 ) 三．经典例题 例1（2023春·浙江丽水期末）下列各式一定不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 例2（2024春·江苏无锡期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________。 例3（2025春·山东德州期末）已知+|y+3|=0，则x+y=________。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025春·江苏盐城射阳期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A.　 B. 　C.　 D.x 2.（2025春·江苏镇江丹徒期末）若在实数范围内有意义，则x取值为（ ） A.x>4　 B.x≥4　 C.x<4　 D.x≤4 3.（2025春·江苏淮安清江浦期末）代数式有意义，则x取值范围（ ） A.x>-2　 B.x≥-2　 C.x≠-2　 D.x<-2 4.（2025春·安徽合肥蜀山区期末）下列根式为最简二次根式的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 5.（2025春·江苏苏州吴江期末）已知+(n-5)2=0，则mn的值是（ ） A.0　 B.5　 C.-5　 D.1 6．要使代数式有意义，则x的（ ） A、最大值为 B、最小值为 C、最大值为 D、最大值为 7．当a＞4时，的结果为（ ） A．a-4 B．4-a C．-4-a D．4+a 8．下列各式中，正确的是（ ） A．＝－2 B．＝9 C．＝±3 D． ＝±3 9．化简：=（ ）． A． B． C． D． 10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）． A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 （二）填空题 11.（2025春·江苏泰州姜堰期末）=________ 12.（2025春·江苏南通通州期末）有意义，则x取值范围：________ 13.（2025春·云南昆明五华期末）在、、中，二次根式一共有____个 14.（2025春·河北保定莲池期末）若y=+，则x=____ 15．若，则a2025+b2026=_______． 16.若x、y都为实数，且y=2028+2027+1则=____． 17. 代数式的最大值是______． 18．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝　 　． 19．若y＝+2，则2x+y　 　． 20．已知实数a满足|2027﹣a|+＝a，那么a﹣20272+1的值是 　 　． （三）解答题 21．计算： (1)； (2)． 22.已知+＝b+8． （1）求a、b的值； （2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根． 23.阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，则a的取值范围． 分析：原式，而表示数x在数轴上的点到原点的距离，表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式 在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是 (1)此例题的解答过程运用了哪些数学思想？请列举例说明． (2)化简 24.阅读下列过程，回答问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题： ＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　； 探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++． 25．【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 26.阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 五．提优特训 （一）选择题 1．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．与相等的式子是（    ） A． B． C． D． 3．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）； （2）； （3）﹣； （4）； （5）； （6）； （7）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．二次根式有意义时，x的取值范围在数轴上如（　　）表示． A． B． C． D． 6．要使有意义，则x应满足( ) A． B．x≤3且 C． D． 7．若实数x，y满足y＝﹣2025，则4x﹣y的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 8. 若式子有意义，则点P(a，b)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 10．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． （二）填空题 11.（2025春·江苏盐城大丰期末）实数a在数轴原点左侧且a<-3，化简+|a+3|=______ 12.（2025春·江苏常州武进期末）y=++4，则x+y=____ 13.（2025春·江西南昌青云谱期末）若+|y-2|=0，则(x+y)2025=____ 14.（2025春·浙江温州鹿城期末）已知是最简二次根式，则x可取最小正整数为____ 15．若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为_______. 16. 等式中的括号应填入__________． 17. 使式子有意义的未知数x的值有_______________个． 18．已知a、b、c为△ABC的三边长，=_____． 19．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且|a|＝|b|，则化简|a＋b|＋＋2＝_______． 20．古希腊的几何学家海伦给出求三角形面积的公式S＝，其中a，b，c为三角形的三边长，p＝.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，那么三角形的面积为__________． （三）解答题 21．若b＝+﹣a+10． （1）求ab及a+b的值； （2）若a、b满足x，试求x的值． 22.已知x为实数且x2+3x+1＝0． （1）求x+的值； （2）求﹣的值． 23．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 24．阅读下面的文字再回答问题 甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a＝”有不同的解答． 甲的解答是：； 乙的解答是 （1）填空：　　的解答是错误的； （2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质 （3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简 25．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 26.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简＝　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训9 《二次根式及其性质》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.准确识记二次根式定义，能依据带根号+被开方数 ≥ 0两个条件判别二次根式；熟练求解含根式、分式组合代数式中字母取值范围；牢记两条核心性质： =a（ a ≥ 0 ） 、 =|a| ，能结合字母范围去根号化简；掌握二次根式双重非负性（ ≥ 0,a ≥ 0），会利用几个非负数和为0列式求值；熟记最简二次根式判定标准，快速辨别最简二次根式。 2.通过真题归类训练，总结 “ 求取值范围、根式化简、非负求值 ” 三类题型解题步骤，强化分类讨论思想（ =|a|去绝对值）。 3.克服忽略被开方数符号、直接去掉绝对值的易错误区，养成先判范围再化简的严谨习惯。 4.落实数学抽象（根式定义）、逻辑推理（分类去根号）、数学运算（性质化简）三大素养。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频四大考点（期末占分6～10分，选择+填空为主） 考点1：二次根式识别（选择必考） （1）考法：给出一组代数式，筛选二次根式；易错：负被开方数、立方根误判为二次根式。 （2）应对策略：两步判定： ① 式子带二次根号 （根指数为2）； ② 被开方数整体 ≥ 0，缺一则不是二次根式。 考点2：求字母取值范围（必考，基础填空/单选） （1）考法：单根式、根式+分式、多层嵌套根式三种形式求x范围；易错：分式忘记分母 ≠ 0。 （2）应对策略：列不等式组：根式 → 被开方数 ≥ 0；分式 → 分母 ≠ 0；多层根式从最内层依次 ≥ 0联立求解。 考点3：根式性质化简 =|a| （重难点，填空/解答题） （1）考法：结合数轴、字母取值范围去掉根号化简；易错：直接写成a，忽略正负讨论。 （2）应对策略：先判断a正负：a ≥ 0， =a；a<0， =-a，数轴题先从数轴判断正负。 考点4：双重非负性综合（高频压轴小题） （1）考法： +|B|+C 2 =0形式，利用各部分 ≥ 0，分别等于0解方程组求参数。 （2）应对策略：非负数相加为0 ⇨ 每一项都等于0，拆分多个方程联立求解。 考点5：最简二次根式辨析（填空/选择） （1）判定两条件： ① 被开方数不含分母； ② 不含能开得尽方的因数或因式；分母不含根号。 （2）应对策略：逐条对照，满足两条才是最简根式。 ) 三．经典例题 例1（2023春·浙江丽水期末）下列各式一定不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：D 【解析】：二次根式要求被开方数≥0，D被开方数=-2＜0，实数范围内无意义，不是二次根式；x2+1≥1、(x-1)2≥0恒成立，A、B、C都是二次根式。 例2（2024春·江苏无锡期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________。 【答案】：x>3 【解析】：①根式：≥0；②分母≠0：≠0⇒x-3≠0；联立得x-3>0，即x>3。 例3（2025春·山东德州期末）已知+|y+3|=0，则x+y=________。 【答案】：-1 【解析】：≥0、|y+3|≥0，两个非负数和为0，⇒x=2,y=-3，x+y=2-3=-1。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025春·江苏盐城射阳期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A.　 B. 　C.　 D.x 【答案】：C 【解析】：二次根式满足：①带二次根号；②被开方数≥0。A被开方数负数无意义，B是立方根，D无根号；x2+1≥1>0，C是二次根式。 2.（2025春·江苏镇江丹徒期末）若在实数范围内有意义，则x取值为（ ） A.x>4　 B.x≥4　 C.x<4　 D.x≤4 【答案】：B 【解析】：被开方数x-4≥0，解得x≥4。 3.（2025春·江苏淮安清江浦期末）代数式有意义，则x取值范围（ ） A.x>-2　 B.x≥-2　 C.x≠-2　 D.x<-2 【答案】：A 【解析】：被开方数x+2≥0，分母≠0，即x+2>0，x>-2。 4.（2025春·安徽合肥蜀山区期末）下列根式为最简二次根式的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】：C 【解析】：最简根式：①无分母；②无开得尽方因数。A含因数9，B、D含分母/小数，只有符合。 5.（2025春·江苏苏州吴江期末）已知+(n-5)2=0，则mn的值是（ ） A.0　 B.5　 C.-5　 D.1 【答案】：A 【解析】：≥0、(n-5)2≥0，非负数和为0，则m=0，n=5，mn=0。 6．要使代数式有意义，则x的（ ） A、最大值为 B、最小值为 C、最大值为 D、最大值为 【答案】A. 【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x≥0，即x≤，所以x的最大值为，故答案选A. 7．当a＞4时，的结果为（ ） A．a-4 B．4-a C．-4-a D．4+a 【答案】A． 【解析】∵a＞4，∴4-a＜0，∴=a-4．故选A． 8．下列各式中，正确的是（ ） A．＝－2 B．＝9 C．＝±3 D． ＝±3 【答案】D． 【解析】A．原式=|﹣2|=2，错误；B．原式=3，错误；C．原式=3，错误；D．原式=±3，正确．故选D． 9．化简：=（ ）． A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】==．故选：C． 10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）． A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【答案】A． 【解析】从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则=a﹣4+11﹣a=7．故选：A． （二）填空题 11.（2025春·江苏泰州姜堰期末）=________ 【答案】：π-3 【解析】：π>3，3-π<0，原式=|3-π|=π-3。 12.（2025春·江苏南通通州期末）有意义，则x取值范围：________ 【答案】：x≥3 【解析】：x-3≥0，x+1≠0，联立得x≥3。 13.（2025春·云南昆明五华期末）在、、中，二次根式一共有____个 【答案】：2 【解析】：无意义，剩余2个是二次根式。 14.（2025春·河北保定莲池期末）若y=+，则x=____ 【答案】：5 【解析】：被开方数x-5≥0 5-x≥0，解得x=5。 15．若，则a2025+b2026=_______． 【答案】0． 【解析】先根据给出的式子求出a，b的值：因为≥0，|b-1|≥0，又因为，所以=0，|b-1|=0，所以=0，b-1=0，解得a=-1，b=1．又因为-1的奇数次方为-1，-1的偶数次方为1，所以a2025+b2026=-1+1=0． 16.若x、y都为实数，且y=2028+2027+1则=____． 【答案】26 【解析】由题意， 所以 所以 所以 故答案为 17. 代数式的最大值是______． 【答案】3 【解析】 则代数式的最大值是3．故答案为 18．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝　 　． 【答案】﹣4b 【解析】从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，所以a﹣b＞0，﹣b＞0，所以|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝a﹣b﹣a+（﹣b）﹣2b＝a﹣b﹣a﹣b﹣2b＝﹣4b，故答案为：﹣4b． 19．若y＝+2，则2x+y　 　． 【答案】4或0 【解析】由题意得：1﹣x2≥0，x2﹣1≥0，则x2＝1，解得：x＝±1，∴y＝2，当x＝1，y＝2时，2x+y＝2×1+2＝4，当x＝﹣1，y＝2时，2x+y＝2×（﹣1）+2＝0，故答案为：4或0． 20．已知实数a满足|2027﹣a|+＝a，那么a﹣20272+1的值是 　 　． 【答案】2029 【解析】由题意得：a﹣2028≥0，解得：a≥2028，则a﹣2027+＝a，整理得：＝2027，∴a﹣2028＝20272，∴a﹣20272＝2028，∴原式＝2028+1＝2029，故答案为：2029． （三）解答题 21．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式； （2）原式． 22.已知+＝b+8． （1）求a、b的值； （2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根． 解：（1）由题意得a﹣17≥0，且17﹣a≥0，得a﹣17＝0，解得a＝17， 把a＝17代入等式，得b+8＝0，解得b＝﹣8．答：a、b的值分别为17、﹣8． （2）由（1）得a＝17，b＝﹣8，±＝±＝±15， ＝＝＝1． 答：a2﹣b2的平方根为±15，a+2b的立方根为1． 23.阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，则a的取值范围． 分析：原式，而表示数x在数轴上的点到原点的距离，表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式 在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是 (1)此例题的解答过程运用了哪些数学思想？请列举例说明． (2)化简 解：（1）数形结合思想：借助数轴进行分析的值； 分类讨论思想：在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边． （2）原式 ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 24.阅读下列过程，回答问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题： ＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　； 探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++． 解：（1）＝2，＝0，＝，＝3；当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．故答案为：2，0，，3，a，﹣a； （2）由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣1＜a+b＜0， 故原式＝﹣a+b﹣（a+b）＝﹣a+b﹣a﹣b＝﹣2a． 25．【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 解：（1），，， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 26.阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 解：（1）∵，∴，，∴原式， ，故答案为：3； （2）由题意可知：，当时，，，∴原方程化为：，解得，符合题意；当时，，，∴，∴，故符合题意；当时，，，∴，解得，符合题意；综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）原方程可化为：，当时，，， ∴原方程化为：，解得，符合题意；当时， ∴，，∴，∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，，∴原方程化为：，∴，符合题意；综上所述，或． 五．提优特训 （一）选择题 1．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】、当时，为二次根式，所以此选项不符合题意； 、为二次根式，所以此选项符合题意；、当或时，为二次根式，所以此选项不符合题意；、当时，为二次根式，所以此选项不符合题意； 故选：． 2．与相等的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．，故A不符合题意；B．无意义，故B不符合题意； C．，故C不符合题意；D． ，故D符合题意．故选：D． 3．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，被开方数含分母，故不是最简二次根式；B、，可化为有理数，故不是最简二次根式；C、，被开方数含平方因子4，故不是最简二次根式；D、，无平方因子，故 是最简二次根式．故选：D． 4．下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）； （2）； （3）﹣； （4）； （5）； （6）； （7）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D． 【解析】6．二次根式有：（1）；（2）；（3）﹣；（5）；（7）共5个，的根指数为3，不是二次根式；∵x＞1，∴1﹣x＜0，∴不是二次根式；故选：D． 5．二次根式有意义时，x的取值范围在数轴上如（　　）表示． A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】由题意得，2x+6≥0，解得x≥﹣3，在数轴上表示如下：．故选：C． 6．要使有意义，则x应满足( ) A． B．x≤3且 C． D． 【答案】D 【解析】根据二次根式有意义的条件可知解得又由分式有意义可知2x－1≠0，所以．综上所述，．故选D． 7．若实数x，y满足y＝﹣2025，则4x﹣y的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B． 【解析】由题意得：2x﹣1≥0，2﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝﹣2025， 则4x﹣y＝4×﹣（﹣2020）＝2027，故选：B． 8. 若式子有意义，则点P(a，b)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】∵式子有意义，∴. 根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.故P（a，b）位于第三象限.故选C． 9．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【解析】∵ ， ∴ ，，． 由 得 ，由 得 ，即 ，∴ ． 代入原式：，，∴ ， 两边平方得 ，即 ，∴ ．故选：A． 10．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ， 分两种情况：1．当 时，，∴ ，取1和2：时，，时，，∴ 总和为 ； 2．当时，，∴ ；从3到，共个值，每个，∴ 和为，综上，．故选：D． （二）填空题 11.（2025春·江苏盐城大丰期末）实数a在数轴原点左侧且a<-3，化简+|a+3|=______ 【答案】：-2a-3 【解析】：a<0，a+3<0，原式=-a-a-3=-2a-3。 12.（2025春·江苏常州武进期末）y=++4，则x+y=____ 【答案】：10 【解析】：被开方数x-6≥0且6-x≥0⇒x=6，y=4，x+y=10。 13.（2025春·江西南昌青云谱期末）若+|y-2|=0，则(x+y)2025=____ 【答案】：-1 【解析】：x+3=0，y-2=0⇒x=-3，y=2，x+y=-1，(-1)2025=-1。 14.（2025春·浙江温州鹿城期末）已知是最简二次根式，则x可取最小正整数为____ 【答案】：3 【解析】：2x-4≥0⇒x≥2，x=2时被开方数0，x=3时2×3-4=2，最简。 15．若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为_______. 【答案】27 【解析】依题意得．∴解得∴x＋y＝27． 16. 等式中的括号应填入__________． 【答案】 【解析】：===.故答案为： 17. 使式子有意义的未知数x的值有_______________个． 【答案】1 【解析】∵式子有意义，∴，∴，∴，即符合条件的的取值只有1个.故答案为1. 18．已知a、b、c为△ABC的三边长，=_____． 【答案】2a＋4b． 【解析】∵a、b、c是三角形的三边长，∴a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0， a－b－c＝a－（b＋c）＜0，c－a－b＝c－（a＋b）＜0．∴原式＝|a＋b＋c|＋|a＋b－c|＋|a－b－c|＋|c－a－b|＝（a＋b＋c）＋（a＋b－c）＋[－（a－b－c）]＋[－（c－a－b）] ＝a＋b＋c＋a＋b－c－a＋b＋c－c＋a＋b＝2a＋4b． 19．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且|a|＝|b|，则化简|a＋b|＋＋2＝_______． 【答案】a－3c 【解析】根据实数a，b，c在数轴上对应的点的位置，得c＜a＜0＜b，∴c－a<0.又∵|a|＝|b|，∴a＋b＝0，∴|a＋b|＋＋2＝0＋|c－a|＋2|c|＝－c＋a－2c＝a－3c. 20．古希腊的几何学家海伦给出求三角形面积的公式S＝，其中a，b，c为三角形的三边长，p＝.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，那么三角形的面积为__________． 【答案】. 【解析】∵a＝2，b＝3，c＝4，∴p＝＝＝， ∴S＝＝＝. （三）解答题 21．若b＝+﹣a+10． （1）求ab及a+b的值； （2）若a、b满足x，试求x的值． 解：（1）∵b＝+﹣a+10，∴ab＝10，b＝﹣a+10，则a+b＝10； （2）∵a、b满足x，∴x2＝，∴x2＝＝＝8， ∴x＝±2．则a2﹣b2的平方根为：±＝±15． 22.已知x为实数且x2+3x+1＝0． （1）求x+的值； （2）求﹣的值． 解：（1）∵x2+3x+1＝0，∴x≠0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3； （2）﹣＝﹣＝﹣＝|（x﹣1）+|﹣， ∵x+＝﹣3，∴x＜0，∴x﹣1＜0，＜0， ∴原式＝1﹣x++＝1﹣x+＝＝， ∵x2+3x+1＝0，∴x2＝﹣3x﹣1，∴原式＝＝＝5 23．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 解：（1），， 故答案为：，． （2）由题意可知：，∵，，，均为正整数， ∴，，故答案为：，． （3）∵，∴，∴，∴， ∴． 24．阅读下面的文字再回答问题 甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a＝”有不同的解答． 甲的解答是：； 乙的解答是 （1）填空：　　的解答是错误的； （2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质 （3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简 解：（1）乙的做法错误．当a＝时，，∴， 故乙的做法错误．故答案为：乙． （2）当a＜0时，； （3）∵3＜x＜5， ∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0． ＝＝7﹣x+2x﹣5＝x+2． 25．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 解：（1），∴，∴，故答案为：，； （2）； （3）原式 ． 26.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简＝　 　． 解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数， ∴a＝m2+5n2，b＝2mn，故答案为：m2+5n2，2mn； （2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，∵x+4＝（m+n）2，∴， 又∵x、m、n均为正整数，∴或，即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7； （3）原式＝＝＝，故答案为：+． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $