江苏连云港市东海县2025-2026学年下学期八年级数学期末考前卷

**基本信息** 江苏省东海县八年级数学期末考前卷，以概率试验、新能源汽车费用计算等真实情境为载体，通过几何动态探究、“对偶式”新定义等问题设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|概率、分式、因式分解、平行四边形|结合频率统计图考查概率应用（第1题）| |填空题|8/24|二次根式、分式方程、旋转、平移与轴对称|以旋转角度计算考查空间观念（第15题）| |解答题|11/102|统计图表、几何证明、新定义运算、动态几何探究|新能源汽车费用问题（第25题）考查模型意识，正方形动点探究（第27题）发展推理能力与创新意识|

江苏省东海县2025-2026学年度第二学期八年级数学期末考前卷 原卷版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃” C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2 D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球 2．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3.下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 6．定义一种“⊗”运算：a⊗b（a≠b），例如：1⊗3，则方程2⊗x1的解是（　　） A．x＝﹣1 B． C． D．x＝2 7．若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，点A、B分别是x轴、y轴正半轴上的动点，且OA＝OB，将线段AB绕点B逆时针旋转60°至BC，若D（4，0）、E（6，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值是（　　）． A． B． C． D．2 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是　 　灯．（填“红、绿、黄”） 10．比较大小：﹣3　 　﹣2．（用“>”、“=”、“<”填空） 11.利用因式分解计算：　 　． 12．若分式的值为0，则x的值是　 　． 13．一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的频数分别是2、6、20，则第4组数据的频率为　 　． 14．已知a是实数，若分式方程无解，则a的值为　 　． 15．如图，将△ABC绕点B顺时针方向旋转100°，得到△DBE，点D恰好落在AC的延长线上，则∠CDE的度数是　 　°． 16．将△ABC和△DEF按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝8，AC＝DF＝6．现固定△ABC，将△DEF沿射线AC方向平移，连接AE、BD，如图2．在平移过程中，当四边形ABDE是轴对称图形时，AF的长是　 　． 三、解答题（本大题共11题，合计102分） 17．（本题满分8分）化简与计算： （1）2； （2）； 18．（本题满分6分）解分式方程：． 19．（本题满分8分）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 20．（本题满分8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ 21．（本题满分8分）在某次寻宝比赛中，系统每次提供40个神秘宝箱，它们形状、大小和质地完全相同（里面装有金币等宝物）．小明进行以下试验：每次试验时，系统随机出现宝箱，然后他随机选取一个宝箱，打开并记录宝物．重复此过程多次，下表记录了试验的部分统计数据： 抽取的次数n 50 100 200 400 800 1000 2000 … 抽到金币的次数m 13 24 50 98 200 251 498 … 抽到金币的频率 0.260 0.240 0.250 0.245 0.250 0.251 0.249 … （1）该比赛中，当n很大时，选到装有金币宝箱的频率在　 　附近摆动；（填常数，精确到0.01） （2）试估算，该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有多少个？ （3）下面事件中，与（1）中事件发生的可能性相同的事件是 　 　（填写所有正确结论的序号）． ①买一张电影票，座位号是奇数； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内． 22．（本题满分8分）我们丢弃的塑料袋有些即使经过几十年也不会被分解成无害物质，因此大量的塑料袋垃圾会造成环境污染．某校八年级（1）班在全校范围内，开展了关于学生家庭一周丢弃塑料袋数量的调查，调查后发现丢弃塑料袋的数量共有5种情况，记录数据整理图表如下（不完整）： 一周丢弃塑料袋数量（个） 16 17 18 19 20 对应家庭数（户） 5 10 m 10 5 请根据以上信息解决下列问题： （1）m的值为　 　，所有被调查学生的家庭一周共丢弃塑料袋　 　个； （2）在扇形统计图中，求一周丢弃19个塑料袋的家庭数对应的扇形圆心角的度数； （3）若每个塑料袋平铺后的平均面积约为0.15平方米，该校九（2）班有45名学生，请计算九（2）班所有学生家庭一周丢弃的塑料袋平铺后的总面积约为多少？ 23．（本题满分10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若　 　，求证：　 　．现有以下三个信息：①AE⊥BC；②AC⊥EF；③AC＝EF．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程． 24．（本题满分10分）如图，每个小方格都是正方形，线段AB、CD、a、b的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． （1）在图1中，以AB为一边，画一个面积为12的四边形ABMN，使其为中心对称图形； （2）在图2中，以CD为一边，画一个面积为10的四边形CDPQ，使其为轴对称图形； （3）在图3中，线段a绕点O旋转得到线段b，画出旋转中心O． 25．（本题满分10分）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题： 动力源 纯油动 纯电动 行驶里程 a千米 a千米 总耗油（电）量 50升 70千瓦时 油（电）单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时 每千米费用 元 　 元 （1）纯电动力时每千米费用为　 　 元； （2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元． ①求出a的值； ②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？ 26．（本题满分12分）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：，则　 　； （2）化简： 　　 ；　 　； （3）计算：． 27．（本题满分14分）市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形ABCD是边长为3的正方形，点E是射线BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． 【探究1】当点E是BC中点时，如图1，发现AE＝EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然不全等，考虑到点E是BC的中点，取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点E是BC的中点”改成“点E是边BC上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“AE＝EF”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】连接AF交直线CD于点I，连接EI，试探究线段BE，EI，ID之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】当CE＝1时，此时△EIF的面积为　 　． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省东海县2025-2026学年度第二学期八年级数学期末考前卷 解析版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃” C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2 D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球 解：由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃”的概率为故不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； D、从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球的概率为，故符合题意； 故选：D． 2．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故不符合题意． B、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，故不符合题意． C、该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意． D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+3y），不是最简分式，故不符合题意． 故选：C． 3.下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 故选：B． 4．下列各式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解：，则A不符合题意， 符合最简二次根式的定义，则B符合题意， 2，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 5．下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 解：A、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 6．定义一种“⊗”运算：a⊗b（a≠b），例如：1⊗3，则方程2⊗x1的解是（　　） A．x＝﹣1 B． C． D．x＝2 解：根据题中的新定义得：1， 整理得：1， 去分母得：﹣x＝1+x﹣2， 解得：x， 检验：把x代入得：x﹣2≠0， ∴分式方程的解为x． 故选：B． 7．若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根据题意画出图形，如图所示： 分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限； ②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限； ③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限， 则第四个顶点不可能落在第三象限． 故选：C． 8．如图，点A、B分别是x轴、y轴正半轴上的动点，且OA＝OB，将线段AB绕点B逆时针旋转60°至BC，若D（4，0）、E（6，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值是（　　）． A． B． C． D．2 解：连接OC，CA， ∵∠ABC＝60°，BA＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴CB＝CA， 在△BOC和△AOC中， ， ∴△BOC≌△AOC（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOC＝45°， 即OC为∠BOA的平分线， ∴点C在∠BOA的平分线上运动， ∴作点D关于∠BOA的平分线射线OC的对称点D′，连接CD′，D′E， 由条件可知D′（0，4）， 由对称性知CD′＝CD， ∴CD+CE＝CD′+CE， 当D′，C，E三点共线时，CD′+CE最小，即线段D′E的长度， ∴， ∴CD′+CE的最小值为， 即CD+CE的最小值为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是　 　灯．（填“红、绿、黄”） 解：∵遇到红灯的概率； 遇到绿灯的概率； 遇到黄灯的概率， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 10．比较大小：﹣3　 　﹣2．（用“>”、“=”、“<”填空） 解：∵（3）2＝18，（2）2＝12， ∴﹣32． 故答案为：＜． 11.利用因式分解计算：　 　． 解：20262﹣20252=（2026+2025）（2026﹣2025）=4051. 故答案为：4051． 12．若分式的值为0，则x的值是　 　． 解：∵分式的值为0， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1． 故答案为：1． 13．一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的频数分别是2、6、20，则第4组数据的频率为　 　． 解：第4组数据的频数是：40﹣（2+6+20）＝12， 则第4组数据的频率为12÷40＝0.3． 故答案为：0.3． 14．已知a是实数，若分式方程无解，则a的值为　 　． 解：将分式方程1的两边都乘以x+2得， 3x+a＝x+2， 由于分式方程的增根为x＝﹣2， 当x＝﹣2时，﹣6+a＝﹣2+2， 解得a＝6． 故答案为：6． 15．如图，将△ABC绕点B顺时针方向旋转100°，得到△DBE，点D恰好落在AC的延长线上，则∠CDE的度数是　 　°． 解：∵△ABC绕点B顺时针方向旋转100°，得到△DBE， ∴∠A＝∠BDE，BA＝BD，∠ABD＝100°， ∵点D恰好落在AC的延长线上， ∴∠A＝∠BDA（180°﹣100°）＝40°， ∴∠BDE＝40°， ∴∠CDE＝∠BDA+∠BDE＝40°+40°＝80°． 故答案为：80． 16．将△ABC和△DEF按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝8，AC＝DF＝6．现固定△ABC，将△DEF沿射线AC方向平移，连接AE、BD，如图2．在平移过程中，当四边形ABDE是轴对称图形时，AF的长是　 　． 解：如图2所示： 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AB＝DE，∠BAC＝∠DEF， 由平移的性质得：点A，F，C，D共线， ∴AB∥DE， ∴在平移过程中，四边形ABDE始终是平行四边形， ∴当四边形ABDE是轴对称图形时，有以下两种情况： ①当四边形ABDE是菱形时，如图2①所示： 此时点F于点C重合，点B，C（F），E共线， ∵BC＝EF＝8，AC＝DF＝6，∠ACB＝∠DFE＝90°， ∴AD⊥BE， ∴四边形ABDE是菱形， ∴四边形ABDE是轴对称图形， 此时AF＝AC＝6； ②当四边形ABDE是矩形时，如图2②所示： ∴∠AED＝90°， 设CF＝a， ∵AC＝DF＝6，点A，F，C，D共线， ∴AD＝AC+CF+DF＝12+a，AF＝AC+CF＝6+a， 在Rt△DEF中，EF＝8，DF＝6， 由勾股定理得：DE10， ∵∠AED＝∠DFE＝90°， 在△AED和△AEF中，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AD2﹣DE2， ∴（6+a）2+82＝（12+a）2﹣102， 解得：a， ∴AF＝6+a， 综上所述：AF的长是6或． 故答案为：6或． 三、解答题（本大题共11题，合计102分） 17．（本题满分8分）化简与计算： （1）2； （2）； 解：（1）2 ＝6 ＝6 ＝6； （2）原式 ＝m+5； 18．（本题满分6分）解分式方程：． 解：方程两边同时乘x﹣3，得2x+x﹣3＝﹣6， 解得：x＝﹣1， 检验，当x＝﹣1时代入x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1； 19．（本题满分8分）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． （1）解：由所给数轴可知，且， 则，． （2）解：，理由如下： ． 因为，， 所以， 所以． 20．（本题满分8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ （1）解： ∴盖住部分化简后的结果为； （2）解：∵时，原分式的值为5，即， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以当，时，原分式的值为5． 21．（本题满分8分）在某次寻宝比赛中，系统每次提供40个神秘宝箱，它们形状、大小和质地完全相同（里面装有金币等宝物）．小明进行以下试验：每次试验时，系统随机出现宝箱，然后他随机选取一个宝箱，打开并记录宝物．重复此过程多次，下表记录了试验的部分统计数据： 抽取的次数n 50 100 200 400 800 1000 2000 … 抽到金币的次数m 13 24 50 98 200 251 498 … 抽到金币的频率 0.260 0.240 0.250 0.245 0.250 0.251 0.249 … （1）该比赛中，当n很大时，选到装有金币宝箱的频率在　 　附近摆动；（填常数，精确到0.01） （2）试估算，该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有多少个？ （3）下面事件中，与（1）中事件发生的可能性相同的事件是 　 　（填写所有正确结论的序号）． ①买一张电影票，座位号是奇数； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内． 解：（1）该比赛中，当n很大时，选到装有金币宝箱的频率在0.25附近摆动； 故答案为：0.25； （2）设放金币的宝箱有x个， 由（1）得选到装有金币宝箱的概率为0.25， 所以0.25， 解得x＝10， 即该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱估计有10个； （3）①买一张电影票，座位号是奇数的概率0.5； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球的概率0.25； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率0.25； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内的概率0.25， 所以与（1）中事件发生的可能性相同的事件是②③④． 故答案为：②③④． 22．（本题满分8分）我们丢弃的塑料袋有些即使经过几十年也不会被分解成无害物质，因此大量的塑料袋垃圾会造成环境污染．某校八年级（1）班在全校范围内，开展了关于学生家庭一周丢弃塑料袋数量的调查，调查后发现丢弃塑料袋的数量共有5种情况，记录数据整理图表如下（不完整）： 一周丢弃塑料袋数量（个） 16 17 18 19 20 对应家庭数（户） 5 10 m 10 5 请根据以上信息解决下列问题： （1）m的值为　 　，所有被调查学生的家庭一周共丢弃塑料袋　 　个； （2）在扇形统计图中，求一周丢弃19个塑料袋的家庭数对应的扇形圆心角的度数； （3）若每个塑料袋平铺后的平均面积约为0.15平方米，该校九（2）班有45名学生，请计算九（2）班所有学生家庭一周丢弃的塑料袋平铺后的总面积约为多少？ 解：（1）这次调查的家庭数是：10÷25%＝40（户）， m＝40×25%＝10（户）， 所有被调查学生的家庭一周共丢弃塑料袋为16×5+17×10+18×10+19×10+20×5＝720（个）； 故答案为：10，720； （2）360°×25%＝90°， 答：一周丢弃19个塑料袋的家庭数对应的扇形圆心角的度数为90°； （3）一周内丢弃的塑料袋的数量的平均数为18（个）， 0.15×18×45＝121.5（平方米）， 答：九（2）班所有学生家庭一周丢弃的塑料袋平铺后的总面积约为121.5平方米． 23．（本题满分10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若　 　，求证：　 　．现有以下三个信息：①AE⊥BC；②AC⊥EF；③AC＝EF．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程． （1）证明：∵AD∥BC， ∴AF∥EC，∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO， 在△OAF和△OCE中， ， ∴△OAF≌△OCE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：若①AE⊥BC，求证：③AC＝EF． 证明：由（1）知，四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴四边形AECF是矩形， ∴AC＝EF． 若③AC＝EF，求证：①AE⊥BC； 证明：由（1）知，四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形， ∴AE⊥BC． 故答案为：①③． 24．（本题满分10分）如图，每个小方格都是正方形，线段AB、CD、a、b的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． （1）在图1中，以AB为一边，画一个面积为12的四边形ABMN，使其为中心对称图形； （2）在图2中，以CD为一边，画一个面积为10的四边形CDPQ，使其为轴对称图形； （3）在图3中，线段a绕点O旋转得到线段b，画出旋转中心O． 解：（1）如图1，四边形ABMN即为所求． （2）如图2，四边形CDPQ即为所求． （3）如图3，点O即为所求． 25．（本题满分10分）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题： 动力源 纯油动 纯电动 行驶里程 a千米 a千米 总耗油（电）量 50升 70千瓦时 油（电）单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时 每千米费用 元 　 元 （1）纯电动力时每千米费用为　 　 元； （2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元． ①求出a的值； ②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？ 解：（1）纯电动力时每千米费用为（元）． 故答案为：． （2）①根据题意，得0.69， 解得a＝500， 经检验，a＝500是所列分式方程的解， ∴a＝500． ②纯电动每千米费用0.07（元），则纯油动每千米费用为0.07+0.69＝0.76（元）， 设汽车纯电动行驶了x千米，则纯油动行驶了（500﹣x）千米， 根据题意，得0.07x+0.76（500﹣x）＝242， 解得x＝200． 答：汽车纯电动行驶了200千米． 26．（本题满分12分）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：，则　 　； （2）化简： 　　 ；　 　； （3）计算：． 解：（1）由题意，∵（）（）＝18﹣x﹣（6﹣x）＝12，且， ∴ 2． 故答案为：2． （2）由题意得，，． 故答案为：，． （3）由题意， ＝（）×（） （） （2025﹣1） ＝1012． 27．（本题满分14分）市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形ABCD是边长为3的正方形，点E是射线BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． 【探究1】当点E是BC中点时，如图1，发现AE＝EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然不全等，考虑到点E是BC的中点，取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点E是BC的中点”改成“点E是边BC上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“AE＝EF”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】连接AF交直线CD于点I，连接EI，试探究线段BE，EI，ID之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】当CE＝1时，此时△EIF的面积为　 　． 解：【探究2】（1）成立，理由如下： 如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME， ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠BME＝∠BEM＝45°，∠BAE+∠AEB＝90°，∠DCG＝90°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠DCF＝∠FCG＝45°， ∴∠ECF＝180°﹣45°＝135°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， ∵∠AME＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AME＝∠ECF， ∵AB＝BC，BM＝BE， ∴AM＝EC， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）成立，证明如下： 如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE， ∴BN＝BE， ∴∠N＝∠NEC＝45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠N＝∠ECF＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE＝∠BEA， 即∠DAE+90°＝∠BEA+90°， ∴∠NAE＝∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； 【探究3】 分两种情况：①如图3，当点E在BC上时，延长CB到H，使BH＝DI， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AD＝AB， ∴∠ABH＝∠D＝90°＝∠BAD， ∴Rt△ABH≌Rt△ADI（HL）， ∴∠BAH＝∠DAI，AI＝AH， 又∵AE＝FE，∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°， ∴∠DAI+∠BAE＝45°， ∴∠HAB+∠BAE＝45°， ∴∠HAE＝∠EAF， 又∵AI＝AH，AE＝AE， ∴△AHE≌△AIE（SAS）， ∴HE＝IE， ∴BH+BE＝EI， ∴BE+ID＝EI； ②如图4，当点E在BC的延长线上时，在BC上截取BQ，使BQ＝ID， 同理可证Rt△ABQ≌Rt△ADI， ∴AI＝AQ，∠BAQ＝∠DAI， ∵∠BAQ+∠QAD＝90°， ∴∠DAI+∠QAD＝90°， 由①知∠EAF＝45°， ∴∠QAE＝45°， ∴∠QAE＝∠IAE， 又∵AE＝AE，AQ＝AI， ∴△AQE≌△AIE（SAS）， ∴QE＝IE， 又∵BE＝BQ+QE， ∴BE﹣ID＝EI； 综上，BE+ID＝EI或BE﹣ID＝EI； 【探究4】 分两种情况：①如图5，当点E在线段BC上时，延长CB到H，使BH＝DI， 在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝BC＝3，CE＝1， ∴BE＝CB﹣CE＝2， ∴AE＝EF， ∴∠AEF＝90°， ∴， 设DI＝x，则EI＝DI+BE＝x+2，CI＝3﹣x， ∵EI2＝CI2+CE2， ∴（x+2）2＝（3﹣x）2+12， 解得， ∴S△AEI＝S△AEH， ∴S△EIF＝S△AEF﹣S△AEI； ②当点E在线段BC的延长线上时，如图6，在BC上截取BQ＝DI，连接AQ， ∵CE＝1，BC＝3， ∴BE＝4， ∴AE＝5， 设BQ＝a， 由【探究3】可知：DI＝BQ＝a，EI＝EQ＝4﹣a， ∵CE2+CI2＝EI2， ∴12+（3+a）2＝（4﹣a）2， ∴a， ∴S△AEI＝S△AEQ（4）×3， ∴S△EIF＝S△AEF﹣S△AEI5×5； 综上所述，△EIF的面积为或． 故答案为：或． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $