期末提优特训8《分式方程及其应用》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 该专项以“定义-解法-特殊问题-应用”为逻辑主线，通过五步解题法、分类讨论策略和六步建模法构建系统方法体系，精选江苏期末真题实现分层突破，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|考点1+例1|五步解题（找公分母-去分母-解整式方程-验根-写解）|从分式方程定义到去分母转化整式方程，强调符号处理与验根| |增根与无解|考点2+例2|分类讨论（增根代入整式方程/无解分整式无解或全为增根）|基于分式方程定义，区分增根与无解的逻辑关系| |限定解参数|考点3|不等式综合（解用参数表示+列x>0且≠增根不等式）|结合方程与不等式，深化参数问题的数学思维| |实际应用|考点4+例3|六步建模（审设列解验答）+四大模型（工程/行程/销售/古文）|从实际问题抽象等量关系，培养模型意识与应用能力|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训8 《分式方程及其应用》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.理解分式方程定义，熟练掌握去分母法解分式方程，牢记验根步骤，区分增根与无解； 掌握已知增根、分式方程无解、解为正整数三类参数求值题型解法；会梳理行程、工程、销售、传统文化古文四类实际问题等量关系，规范列分式方程解应用题六步法（审、设、列、解、验、答）。 2.规避去分母漏乘常数、忽略检验、符号出错三大常见计算失误；建立实际问题数学建模思维，能从题干提取等量关系式；结合不等式综合题型，解决分式方程限定解的参数问题。 3.依托传统文化、乡村振兴、工程建设类真题素材，提升数学应用意识与严谨解题习惯。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( 考点1：分式方程基础解法 （1）考情：近三年期末必考，分单纯解方程、易错型（分母互为相反数：2-x与x-2），高频丢分点：漏乘不含分母项、忘记检验、符号错误。 （2）应对策略：固定解题五步： ① 找最简公分母 →② 全式同乘公分母（常数项务必相乘） →③ 解整式方程 →④ 代入最简公分母验根 →⑤ 写解/无解；遇a-x与x-a统一变形-(x-a)再去分母。 考点2：分式方程增根、无解求参数 （1）考情：期末拔高小题，区分： ① 增根：整式方程的根使分母=0； ② 无解：整式无解或整式解全是增根。 （2）应对策略： ① 去分母化为整式方程； ② 令最简公分母=0算出潜在增根； ③ 增根代入整式方程求参数；无解需分两种情况分类讨论。 考点3：限定解（正数/正整数）求参数（压轴小题） （1）考情：期末热门，常结合不等式组综合。 （2）应对策略：解方程用参数表示x，列不等式：x>0（或正整数）且x ≠ 增根，求参数取值。 考点4：分式方程实际应用题（必考解答题） （1）考情：四大模型：工程（效率变化、工期提前）、行程（快慢车、先后出发）、商品销售（单价差价、总价固定）、古文数学题（《九章算术》《孙子算经》素材）。 （2）应对策略：固定六步解题，应用题双重检验： ① 代入分母检验是方程解； ② 数值符合现实意义（人数、天数不为负、小数）。 ) 三．经典例题 例1（2023春·泰州姜堰期末）解方程：=2+ 例2（2024春·淮安淮阴期末）若分式方程-2=有增根，求m值 例3（2025春·扬州广陵期末）《孙子算经》记载：某书店购进古籍，《孙子算经》单价比《周髀算经》贵10元，用1200元买《孙子算经》的本数与用900元买《周髀算经》本数相同，求两本书单价。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025春·盐城滨海期末）下列方程属于分式方程的是（ ） A.+3=0　 B.=3　 C.2x=5　 D. 2.（2025春·宿迁宿城期末）分式方程=1的解是（ ） A.x=1　 B.x=3　 C.x=2　 D.无解 3.（2025春·泰州泰兴期末）解方程=，最简公分母是（ ） A.x　 B.x+2　 C.x(x+2)　 D.3x(x+2) 4.（2025春·镇江丹阳期末）分式方程=0的解为（ ） A.x=3　 B.x=-1　 C.x=3或-1　 D.无解 5.（2025春·连云港海州期末）解分式方程出现增根的本质原因是（） A.计算出错　 B.去分母扩大未知数取值范围 C.整式方程无解　 D.原式本身无实数解 6.（2025春·无锡江阴期末）=+3，若增根x=2，则a的值（ ） A.-1　 B.1　 C.2　 D.3 7．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D． m＞﹣3且m≠﹣2 8．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 10．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件．结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．请问原计划每小时加工多少个零件？（　　） A．40 B．50 C．30 D．24 （二）填空题 11．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有　　． 12.（2025春·常州武进期末）方程=，则x=________. 13.（2025春·南京江北新区期末·3分）分式方程=2+有增根，则m=________. 14．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　． 15．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是　　 ． 16.（2025春·苏州相城期末）工程队修1500m道路，原计划每天x米，实际提速25%，提前3天完工，列方程：________. 17.已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为______． 18.若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和等于______． 19．若关于的分式方程无解，则的值为______． 20.市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 　 　． （三）解答题 21.（8分）解方程： （1）． （2） ﹣1＝； 22．（6分）已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 23.为落实“美丽盐城”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 24.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2026年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 25.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 26．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025春·南京玄武期末）分式方程=1解为正数，则k取值（ ） A.k>13　 B.k>13且k≠1　 C.k<13　 D.k<13且k≠0 2.（2025春·泰州姜堰期末）无解，则a不可能为（ ） A.-7　 B.-5　 C.3　 D.2 3.（2025春·盐城大丰期末）甲乙两地40km，甲比乙时速快2km，甲早到半小时，乙速度xkm/h，方程（ ） A.-= B. -= C. -= D. -= 4.（2025春·徐州铜山期末）=+5解是正整数，整数k的和（ ） A.-5　 B.-4　 C.0　 D.2 5.（2025春·宿迁沭阳期末）关于x分式方程=1解非负，m范围（ ） A.m≥-3　 B.m≥-3且m≠-6　 C.m>-3　 D.m>-3且m≠-6 6．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程=0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+=1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个 7．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． = B．= C．= D． = 8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．8 C．12 D．15 9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　） A． B．2 C．或2 D．1或﹣2 10．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（    ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 （二）填空题 11．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　． 12.（2025春·镇江京口期末）=4+无解，则n=__________. 13.（2025春·苏州吴中期末）有增根，则t=__________. 14.（2025春·常州金坛期末）改进工艺后效率提升20%，生产660件少用2天，原日产x件，列式：__________. 15.（2025春·南通海门期末）=解大于0且x≠2，a取值__________. 16．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　． 17．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　 ． 18．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是　　 ． 19．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　 　． 20.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是﹣4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　． （三）解答题 21.解方程： （1）； （2）． 22．解方程： ①＝－1的解x＝__ __； ②＝－1的解x＝__ __； ③＝－1的解x＝__ __； ④＝－1的解x＝__ __． (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出求解过程． 23. 探索规律： （1）直接写出计算结果： +++…+= ； 猜想并写出= ； （2）探究并解方程： ++=. 24. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 25.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0，因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1，∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1），解得x=，检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面，∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1，此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 26．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　1　元； （2）乙商场将该商品提价后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是； 乙商场：两次提价的百分率都是，，． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训8 《分式方程及其应用》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.理解分式方程定义，熟练掌握去分母法解分式方程，牢记验根步骤，区分增根与无解； 掌握已知增根、分式方程无解、解为正整数三类参数求值题型解法；会梳理行程、工程、销售、传统文化古文四类实际问题等量关系，规范列分式方程解应用题六步法（审、设、列、解、验、答）。 2.规避去分母漏乘常数、忽略检验、符号出错三大常见计算失误；建立实际问题数学建模思维，能从题干提取等量关系式；结合不等式综合题型，解决分式方程限定解的参数问题。 3.依托传统文化、乡村振兴、工程建设类真题素材，提升数学应用意识与严谨解题习惯。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( 考点1：分式方程基础解法 （1）考情：近三年期末必考，分单纯解方程、易错型（分母互为相反数：2-x与x-2），高频丢分点：漏乘不含分母项、忘记检验、符号错误。 （2）应对策略：固定解题五步： ① 找最简公分母 →② 全式同乘公分母（常数项务必相乘） →③ 解整式方程 →④ 代入最简公分母验根 →⑤ 写解/无解；遇a-x与x-a统一变形-(x-a)再去分母。 考点2：分式方程增根、无解求参数 （1）考情：期末拔高小题，区分： ① 增根：整式方程的根使分母=0； ② 无解：整式无解或整式解全是增根。 （2）应对策略： ① 去分母化为整式方程； ② 令最简公分母=0算出潜在增根； ③ 增根代入整式方程求参数；无解需分两种情况分类讨论。 考点3：限定解（正数/正整数）求参数（压轴小题） （1）考情：期末热门，常结合不等式组综合。 （2）应对策略：解方程用参数表示x，列不等式：x>0（或正整数）且x ≠ 增根，求参数取值。 考点4：分式方程实际应用题（必考解答题） （1）考情：四大模型：工程（效率变化、工期提前）、行程（快慢车、先后出发）、商品销售（单价差价、总价固定）、古文数学题（《九章算术》《孙子算经》素材）。 （2）应对策略：固定六步解题，应用题双重检验： ① 代入分母检验是方程解； ② 数值符合现实意义（人数、天数不为负、小数）。 ) 三．经典例题 例1（2023春·泰州姜堰期末）解方程：=2+ 【答案】：x=4 【解析】：原式变形=2-，两边同乘x-2：3=2(x-2)-1，3=2x-4-1，2x=8，x=4 检验：x=4时，x-2=2≠0，∴原方程解x=4。（易错提醒：2-x=-(x-2)，移项变号，极易符号出错）。 例2（2024春·淮安淮阴期末）若分式方程-2=有增根，求m值 【答案】：m=3 【解析】：去分母：x-2(x-3)=m，化简：-x+6=m ，增根满足x-3=0⇒x=3，代入整式：-3+6=m，m=3。 例3（2025春·扬州广陵期末）《孙子算经》记载：某书店购进古籍，《孙子算经》单价比《周髀算经》贵10元，用1200元买《孙子算经》的本数与用900元买《周髀算经》本数相同，求两本书单价。 【答案】：周髀30元，孙子40元 【解析】：设周髀单价x元，孙子(x+10)元，=，去分母1200x=900(x+10) 300x=9000，x=30，检验x=30≠0符合题意，x+10=40。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025春·盐城滨海期末）下列方程属于分式方程的是（ ） A.+3=0　 B.=3　 C.2x=5　 D. 【答案】：B 【解析】：分母中含有未知数的方程是分式方程，只有B分母含x，其余为整式或代数式。 2.（2025春·宿迁宿城期末）分式方程=1的解是（ ） A.x=1　 B.x=3　 C.x=2　 D.无解 【答案】：C 【解析】：两边同乘x-1得2=x-1，x=2；检验x=2时分母≠0，解为x=2。 3.（2025春·泰州泰兴期末）解方程=，最简公分母是（ ） A.x　 B.x+2　 C.x(x+2)　 D.3x(x+2) 【答案】：C 【解析】：分母因式分别为x、x+2，最简公分母取各分母乘积x(x+2)。 4.（2025春·镇江丹阳期末）分式方程=0的解为（ ） A.x=3　 B.x=-1　 C.x=3或-1　 D.无解 【答案】：A 【解析】：分式值为0需分子=0、分母≠0，x-3=0⇒x=3，x+1≠0，故x=3。 5.（2025春·连云港海州期末）解分式方程出现增根的本质原因是（） A.计算出错　 B.去分母扩大未知数取值范围 C.整式方程无解　 D.原式本身无实数解 【答案】：B 【解析】：去分母同乘含未知数整式，未知数取值范围变大，产生使原分母为0的增根。 6.（2025春·无锡江阴期末）=+3，若增根x=2，则a的值（ ） A.-1　 B.1　 C.2　 D.3 【答案】：A 【解析】：变形=+3，去分母：1=-a+3(x-2)，代入x=2，1=-a⇒a=-1。 7．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D． m＞﹣3且m≠﹣2 【答案】D 【解析】去分母得，m+2=x﹣1，解得，x=m+3，∵方程的解是正数，∴m+3＞0，解这个不等式得，m＞﹣3，∵m+3﹣1≠0，∴m≠﹣2，则m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．故选D． 8．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，得．故选：C． 9．若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】根据分式方程无解来进行求解．将原分式方程去分母得， ∴，当时，∴．∵该分式方程无解，∴将−6代入中得，解得，当时，∴，此时分式方程无解，符合题意，综上所述，或时，关于x的方程﹣1＝无解．故选：D． 10．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件．结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．请问原计划每小时加工多少个零件？（　　） A．40 B．50 C．30 D．24 【答案】 A　 【解析】设原计划每小时加工x个零件，则现在每小时加工（x+10）个零件，根据题意，得：＝， 解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，即原计划每小时加工40个零件，故选：A． （二）填空题 11．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有　　． 【答案】3分式方程有：③④⑤，故答案为3． 12.（2025春·常州武进期末）方程=，则x=________. 【答案】-6 【解析】：4(x-3)=6x，4x-12=6x，2x=-12，x=-6，检验成立。 13.（2025春·南京江北新区期末·3分）分式方程=2+有增根，则m=________. 【答案】5 【解析】：增根x=5，去分母x=2(x-5)+m，代入x=5，5=m。 14．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　． 【答案】：m＞﹣1且m≠1 【解析】原方程整理得：m﹣1=2x﹣2，解得：x=，∵原方程有解，∴x﹣1≠0，即， 解得m≠1，∵方程的解是正数，∴＞0，解得m＞﹣1，∴m＞﹣1且m≠1，故应填：m＞﹣1且m≠1． 15．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是　　 ． 【答案】= 【解析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，由题意得，=．故答案为；=． 16.（2025春·苏州相城期末）工程队修1500m道路，原计划每天x米，实际提速25%，提前3天完工，列方程：________. 【答案】-=3 【解析】：原工期，实际效率1.25x、工期，原工期−实际工期=3。 17.已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为______． 【答案】13 【解析】分别用a表示出再根据列出方程，求出a的值并检验即可，∵，∴； ∵，∴ ∴ 解得，，经检验，是方程的解，故答案为：13． 18.若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和等于______． 【答案】7 【解析】求出分式方程的解，根据分式有意义的条件得出且，进而求出所有的值，然后求和即可．， 去分母得：，去括号得：，移项合并得：，系数化为1得：，∵且 ∴，∴方程的解为整数时，的值为，0，2，3，5，∴，故答案为：7． 19．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】 【解析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．∵关于x的分式方程有增根， ∴2x−1＝0，解得x＝，由得x−m＝3（2x−1），∴m＝−5x＋3，∴m＝−5×＋3＝．故答案为：． 20.市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 　 　． 【答案】80%． 【解析】设甲厂产品的合格率为x%，则乙厂产品的合格率为（x﹣5）%，根据题意得： ＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， 即甲厂产品的合格率为80%，故答案为：80%． （三）解答题 21.（8分）解方程： （1）． （2） ﹣1＝； 解：（1）＝，即＝，方程两边乘x（x+1）得：4x﹣3＝2x，解得：，检验：当时，x（x+1）≠0，∴原分式方程的解为． （2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝3，整理得：2x＝1， 解得：x＝，检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝﹣≠0，∴原方程的解为x＝； 22．（6分）已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 解：(1)由原方程，得2x＝mx－2x－6，①整理，得(4－m)x＝－6，当4－m＝0即m＝4时，原方程无解；②当分母x＋3＝0即x＝－3时，原方程无解，故2×(－3)＝－3m－2×(－3)－6，解得m＝2，综上所述，m＝2或4； (2)由(1)得到(4－m)x＝－6，当m≠4时．x＝＜0，解得m＜4综上所述，m＜4且m≠2. 23.为落实“美丽盐城”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意得：，解得x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，．答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米． （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得7m+5×=145 解得：m=10． 答：至少安排甲队工作10天． 24.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2026年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．根据题意，得： ＋10﹦．解得x﹦200．经检验：x﹦200是原方程的根．∴1.4x﹦1.4×200﹦280（元）．∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元． （2）设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进（100—m）盒．打折前A种茶叶的利润为×100﹦50m．B种茶叶的利润为×120﹦6 000—60m．打折后A种茶叶的利润为×10﹦5m． B种茶叶的利润为0．由题意得：50m＋6 000—60m＋5m﹦5800．解方程，得：m﹦40．∴100—m﹦100—40﹦60（盒）．∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒． 25.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 解：（1）解是x1=c，x2=，经检验，c和是原方程的解. （2）原方程可化为x-1+，根据题意得x-1=a-1或x﹣1=， ∴x1=a，x2=1+=． 26．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，∴﹣＝0.54， 解得a＝600，经检验，a＝600是原分式方程的解，∴＝0.6，＝0.06， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为xkm，由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，解得x＞5000， 答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025春·南京玄武期末）分式方程=1解为正数，则k取值（ ） A.k>13　 B.k>13且k≠1　 C.k<13　 D.k<13且k≠0 【答案】：B 【解析】：kx-2=x-3⇒x=，x>0、x≠3，解得k>13且k≠1。 2.（2025春·泰州姜堰期末）无解，则a不可能为（ ） A.-7　 B.-5　 C.3　 D.2 【答案】：D 【解析】：公分母(x+1)(x-1)，去分母4(x+1)+ax=3(x2-1)，增根x=1、x=-1分别代入求得a=-5、-7；整式方程无解时a=3。 3.（2025春·盐城大丰期末）甲乙两地40km，甲比乙时速快2km，甲早到半小时，乙速度xkm/h，方程（ ） A.-= B. -= C. -= D. -= 【答案】：A 【解析】：乙用时，甲用时，乙用时−甲用时=。 4.（2025春·徐州铜山期末）=+5解是正整数，整数k的和（ ） A.-5　 B.-4　 C.0　 D.2 【答案】：A 【解析】：3=-k+5(x-4)，x=，x正整数、x≠4，k=-3、-2，和-5。 5.（2025春·宿迁沭阳期末）关于x分式方程=1解非负，m范围（ ） A.m≥-3　 B.m≥-3且m≠-6　 C.m>-3　 D.m>-3且m≠-6 【答案】：B 【解析】：2x+m=x-3⇒x=-m-3≥0，x≠3，m≥-3，-m-3≠3⇒m≠-6。 6．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程=0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+=1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个 【答案】A 【解析】①解分式方程不一定会产生增根；②方程=0的根为2，分母为0，所以是增根；③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．故选：A． 7．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． = B．= C．= D． = 【答案】D 【解析】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元， 由题意得，=．故选：D． 8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】B 【解析】：，解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞， ∵不等式组的解集为x≥6，∴6，∴a＜7；分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），解得：y＝，∵方程的解是正整数，∴＞0，∴a＞﹣5；∵y﹣1≠0，∴1，∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，∴和为8，故选：B． 9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　） A． B．2 C．或2 D．1或﹣2 【答案】B 【解析】当＞，即x＞0时，方程变形得：＝﹣2，去分母得：2＝6﹣2x，即x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解；当＜，即x＜0时，方程变形得：＝﹣2，去分母得：5＝6﹣2x，解得：x＝0.5，不符合题意，综上，方程的解为x＝2．故选：B． 10．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（    ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【解析】设通过AB的速度是xm/s，则根据题意可列分式方程，解出x即可．设通过AB的速度是xm/s，根据题意可列方程： ，解得x=1，经检验：x=1是原方程的解且符合题意．所以通过AB时的速度是1m/s．故选B （二）填空题 11．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　． 【答案】﹣3 【解析】：根据题意得：＝，去分母得：4（2a+3）＝3（a﹣1），解得：a＝﹣3． 12.（2025春·镇江京口期末）=4+无解，则n=__________. 【答案】6 【解析】：增根x=6，x=4(x-6)+n，代入x=6得n=6。 13.（2025春·苏州吴中期末）有增根，则t=__________. 【答案】6或-6 【解析】：增根x=3、x=-3，去分母x-3-3(x+3)=t，分别代入得t=-6、t=6。 14.（2025春·常州金坛期末）改进工艺后效率提升20%，生产660件少用2天，原日产x件，列式：__________. 【答案】-=2 【解析】：原工期减实际工期=2天。 15.（2025春·南通海门期末）=解大于0且x≠2，a取值__________. 【答案】a<5且a≠0 【解析】：5(x-2)=ax，x=>0，5-a>0，≠2⇒a≠0，即a<5且a≠0。 16．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　． 【答案】2 【解析】：，解不等式①得：x＜5，解不等式②得：x， ∵该不等式组有且只有四个整数解，∴该不等式组的解集为：≤x＜5，且0≤1， 解得：﹣2＜a≤2，+＝2，方程两边同时乘以（y﹣1）得：y+a﹣2a＝2（y﹣1）， 去括号得：y﹣a＝2y﹣2，移项得：y＝2﹣a，∵该方程的解为非负数，∴2﹣a≥0且2﹣a≠1，解得：a≤2且a≠1，综上可知：符合条件的正整数a的值为2，故答案为：2． 17．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　 ． 【答案】﹣=． 【解析】设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时， 由题意得，﹣=．故答案为：﹣=． 18．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是　　 ． 【答案】﹣=3 【解析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，由题意得，﹣=3． 故答案为：﹣=3． 19．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　 　． 【答案】①③ 【解析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h， 依题意得：①；③；④＝．故其中正确的方程有①③． 故答案为：①③． 20.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是﹣4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　． 【答案】﹣1 【解析】根据题意得：＝2，去分母得：4x﹣4＝10x＋2，移项合并得：6x＝﹣6，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解. （三）解答题 21.解方程： （1）； （2）． 解：（1）去分母，得x﹣5=2x﹣5，解得x=0，经检验，x=0是分式方程的解. （2）去分母，得8+x2﹣1=x2+4x+3，移项、合并同类项，得4x=4，解得x=1，经检验，x=1是增根，分式方程无解． 22．解方程： ①＝－1的解x＝__ __； ②＝－1的解x＝__ __； ③＝－1的解x＝__ __； ④＝－1的解x＝__ __． (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出求解过程． 解：①0　②1　③2　④3 (1)第⑤个方程：＝－1，它的解为x＝4，第⑥个方程：＝－1，它的解为x＝5. (2)第n个方程：＝－1，它的解为x＝n－1.方程两边都乘x＋1，得n＝2n－(x＋1)．解得x＝n－1. 23. 探索规律： （1）直接写出计算结果： +++…+= ； 猜想并写出= ； （2）探究并解方程： ++=. 解：（1） （-） （2）（-+-+-）=，（-）=，2（x+9）-2x=9x，x=2，经检验：x=2是原方程的根，∴方程的解为x=2. 24. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 解：(1)设第一次购进这种衬衫x件，第二次购进这种衬衫x件，根据题意得：＝＋10，解得x＝30，经检验x＝30是原方程的解，且符合题意，∴x＝×30＝15. 答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件． (2)设第二批衬衫每件销售a元，根据题意得：30×(200－)＋15×(a－)≥1950， 解得a≥170.答：第二批衬衫每件至少要售170元. 25.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0，因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1，∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1），解得x=，检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面，∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1，此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 解：x2++x+=0，（x+）2+x+﹣2=0，设x+=a，则原方程化为a2+a﹣2=0， 解得a=﹣2或a=1，当a=﹣2时，x+=﹣2，x2+2x+1=0，解得x=﹣1，经检验x=﹣1是原方程的解；当a=1时，x+=1，x2﹣x+1=0，此方程无解；综上所述，原方程的解为x=﹣1． 26．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　1　元； （2）乙商场将该商品提价后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是； 乙商场：两次提价的百分率都是，，． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 解：（1）（元； （2）设该商品在乙商场的原价为元，则 ，解得．经检验：满足方程，符合实际．答：该商品在乙商场的原价为1元． （3）由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为：． 乙商场两次提价后的价格为：．． 乙商场两次提价后价格较多． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $