期末提优特训7《分式及其运算》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，融合江苏期末真题，提炼“四步解题法”与易错规避策略，系统突破分式核心考点，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特训目标|4项|类比分数学分式、转化思想|从定义到运算再到综合应用递进| |考点分析|4大考点+4策略|概念类圈画分母、运算类“先分解再约分”|按考频（运算35%、求值23%）重点突破| |经典例题|5道真题|化简求值“分母不为0”检验法|覆盖选择、填空、解答全题型| |强化+提优|选择20+填空20+解答12|参数问题“整体代入”、整数取值“因式分解法”|基础巩固到压轴突破梯度设计|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训7 《分式及其运算》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.精准区分分式与整式，牢记分式有意义、无意义、分式值为0的限定条件；掌握分式基本性质，熟练完成约分、通分，会确定最简公分母；熟记分式乘除、乘方、加减、混合运算法则，运算结果化为最简分式或整式。 2.能依托因式分解简化分式约分、通分，规范完成分式四则混合运算；掌握分式化简求值（含限定字母取值、整体代入求值两类必考题型）；解决分式参数问题、分式取值为整数类压轴小题。 3.渗透类比（类比分数学习分式）、转化（分式运算转化整式运算）数学思想，强化符号运算严谨性。 4.规避符号、分母漏限制、约分不彻底等高频易错点，养成分步演算、及时检验的解题习惯。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）四大必考考点 考点序号 考点内容 考查题型 分值占比 考点1 分式概念、分式有意义/值为0条件 选择、填空 12%左右 考点2 分式基本性质（字母扩倍、符号变形、约分通分） 选择、填空 10%左右 考点3 分式四则运算、混合化简 计算解答 35%左右 考点4 分式化简求值、整体代换、分式取整数参数问题 填空+解答 23%左右 （二）易错点汇总 1.分式值为0忽略分母 ≠ 0双重条件； 2.分式加减漏括号，多项式分子加减未加括号致符号出错； 3.化简求值随意选取使分母为0的数字代入； 4.乘除运算未先因式分解直接硬算、约分不彻底。 （三）针对性应对策略 1.概念类：做题先圈画分母，但凡求取值范围优先写分母 ≠ 0；分式值=0分两步：分子=0、分母 ≠ 0，两步缺一不可； 2.性质类：字母扩大倍数题型统一代入新字母，对比原式分式数值变化；约分通分优先因式分解（平方差、完全平方）； 3.运算类：混合运算口诀：先乘方 → 再乘除 → 后加减，有括号优先括号内；多项式先分解，能约分先约分；异分母加减先找最简公分母再通分； 4.求值类： ① 自选数值型：所选字母必须保证原式所有分母 ≠ 0； ② 整体代入型：优先对所求分式变形，凑已知整式整体，不单独解未知数。 ) 三．经典例题 例1（2023春·泰州姜堰期末）下列代数式：、、、，属于分式的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】：B 【解析】：分式定义：（A、B整式，B含字母）；、分母含字母是分式；分母常数、л为常数，不是分式，共2个。 例2（2024春·常州武进期末·4分）若分式的值为0，则x=____。 【答案】：x=2 【解析】：分式值为0：x2-4=0且x+2≠0\，x=±2且x≠-2，得x=2。 例3（2025春·南京玄武期末）化简： 【答案】：原式=1 【解析】：先因式分解：a2-4=(a+2)(a-2)，a2+2a=a(a+2)；除法变乘法： ·=1。 例4（2024春·盐城大丰期末）先化简，再从-1、0、1中选合适数代入求值。 【答案】：化简结果=x+1；x=0代入，原式=1 【解析】：x2-1=(x+1)(x-1) 原式==x+1； ∵x≠±1，∴只能取x=0，原式=0+1=1。 例5（2023春·苏州姑苏期末）若的值为整数，x为整数，求整数x的值。 【答案】：-2、-4、4、-10 【解析】：分离常数：=2-，x+3是7的约数±1、±7，解得x=-2、-4、4、-10。 四．强化基础 （一）选择题 1.(2025·常州武进区·期末)下列代数式：、、、，其中分式共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】：B 【解析】：分式定义：分母含字母；、是分式，剩余两项分母为常数，不是分式，共2个。 2.（2025·盐城射阳县·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A.x≠2 B.x≠-3 C.x=2 D.x=-3 【答案】：B 【解析】：分式有意义⇒分母≠0，x+3≠0⇒x≠-3。 3. （2025·苏州昆山市·期末）若分式的值等于0，则x的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 【答案】：B 【解析】：分式值为0：分子=0且分母≠0；|x|-1=0 ⇒x=±1，x-1≠0⇒x≠1，故x=-1。 4.（2025·扬州宝应县·期末）根据分式基本性质，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】：C 【解析】：==。 5.（2025·泰州姜堰区·期末）计算-结果是（ ） A.3 B. C.0 D.3x+3 【答案】：A 【解析】：同分母分式相减，分母不变分子相减：==3(x≠1)。 6.（2025·镇江丹阳市·期末）化简结果为（ ） A.x B. C.x-2 D. 【答案】：A 【解析】：分式乘法约分，=x。 7. （2026·预测）若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】当和都扩大到原来的2倍时，，缩小为原来的，故选：C． 8. （2026·预测）定义新运算：对任意非零实数，有，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】∶原 故选：D． 9．（2026·预测）已知分式，，其中，则与的关系是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，， ∴ ， 故答案为：B. 10．（2026·预测）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】：∵，∴，∴被撕下部分的式子可能是．故选：A． （二）填空题 11.（2025·淮安涟水县·期末）约分：=______. 【答案】： 【解析】：分子分母公因式2xy，同除以2xy得。 12.（2025·南通通州区·期末）计算=______. 【答案】： 【解析】：除变乘取倒数：。 13.（2025·徐州铜山区·期末）已知-=2，则=______. 【答案】：2 【解析】：-==2，直接整体代换。 14.（2025·连云港东海县·期末）把与通分，最简公分母是______. 【答案】：x(x-2)(x+2) 【解析】：因式分解：x2-2x=x(x-2)，x2-4=(x-2)(x+2)，最简公分母取所有因式乘积。 15. 当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； 【答案】 减小 【解析】∵，当时，随着的增大而减小，∴随着的增大，的值减小，即的值减小； 16.（2026·预测）如图，某玻璃瓶内装有高的墨水（图1），将瓶盖盖好后倒立放置（图2），此时有墨水的部分高为，没有墨水的部分高为，则瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的_________ 【答案】： 【解析】：设玻璃瓶的底面积为，倒立放置时，没有墨水的部分的体积为，正立放置时，有墨水的部分的体积是，所以墨水的体积约占玻璃瓶容积的. 17．已知a2+7ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式的值等于　 　． 【答案】-7 【解析】：∵a2+7ab+b2=0∴a2+b2=-7ab∴故答案为：． 18.（2026·预测）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下： 整个游戏过程，　     　负责的那一步出现了错误． 【答案】乙、丁 【解析】， 游戏过程中，乙、丁负责的那步出现了错误． 19.化简结果为　       　． 【答案】4b 【解析】原式=••a(x﹣y)=4b. 20.计算()3·()3，结果等于　     　． 【答案】 【解析】原式==. （三）解答题 21. 计算 （1） (2)　． （3）． （4）． 解：（1）原式＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝＝ （2）原式=3x+3． （3）原式＝＝＝﹣1； （4）原式＝＝a+1． 22．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 解：（1）由题意，得且，，∴且，，解得，，则． （2）当时，分式无意义，，解得．当时，分式的值为0，，解得，． 23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③； ④.其中是“和谐分式”的是________(填写序号即可). (2)若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值． 解：(1)②分式＝，不可约分，∴分式是“和谐分式”． 答案：② (2)∵分式为“和谐分式”，且a为正整数，∴a＝4或a＝5. 24.先阅读材料，再解决问题． 已知＝＝≠0，求的值． 解：设＝＝＝k(k≠0)，则x＝3k，y＝4k，z＝6k.(第一步) 所以＝＝＝.(第二步) (1)①第一步运用了__________的基本性质． ②第二步的解题过程运用了__________的方法，由得利用了______________． (2)已知x∶y∶z＝2∶3∶4，求的值． 解： (1)等式，代入消元，分式的基本性质 （2）∵x∶y∶z＝2∶3∶4，∴设x＝2m，y＝3m，z＝4m(m≠0)．∴＝＝＝. 25. 已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 解：（1）∵x=6且分式M的值等于4，∴4=+，整理得：2=解得：y=6； （2）∵y=4，∴M=+4，当x=0时，M=0，当x=2时，M=-2，当x=4时，M=4， 当x=6时，M=2； （3）∵x、y均为正整数，使M的值等于2，∴2=+， ∴所有x、y的值为：x=2，y=4；x=4，y=2． 26．结合图，观察下列式子： 于是有：． (1)填空：因式分解（ ）（ ）； (2)化简：； (3)化简：． 解：（1），故答案为：2，3； （2）原式 ； （3））原式 ． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·苏州张家港市·期末）若把分式中x、y同时扩大到原来3倍，则分式的值（ ） A.扩大3倍 B.缩小 C.不变 D.扩大9倍 【答案】：C 【解析】：替换3x、3y：==，分式值不变。 2.（2025·常州金坛区·期末）下列分式属于最简分式的是（ ） 【答案】：B 【解析】：A可约分为x-1；C约分为；D约分为；B分子分母无公因式，最简。 3.（2025·泰州兴化市·期末）计算结果正确的是（ ） 【答案】：A 【解析】：分式乘方分子分母分别乘方：。 4.（2025·扬州高邮市·期末）已知的值是（ ） A.3 B. C.-3 D.1 【答案】：A 【解析】：==3。 5.（2025·无锡江阴市·期末）化简结果是（ ） A.m B.1 C.2 D.m+2 【答案】：B 【解析】：原式= 6．已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A. B． C． D． 【答案】D 【解析】：当时，分式无意义，则，∴，故B正确，不符合题意；当时，分式值为0，则，∴，故A正确，不符合题意；所以该分式为，当时，，故C正确，不符合题意；当时，，故D错误，符合题意故选：D． 7．小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（　　） 原式 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式=-2所以错在.故答案为：D. 8．如图，在数轴上表示 的值的点可以是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】C 【解析】 观察数轴可得，M点表示1，故答案为： C . 9．对于任意的x值都有，则M，N值为（　　） A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4 【答案】B 【解析】： ， ∴M+N=2，2N-M=7，解得M=-1，N=3.故答案为：B. 10．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2025次显示结果记为M，2026次显示结果记为N，则的值为（    ） A. B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，因为最初输入，所以第1次显示结果为；第2次显示结果为；第3次显示结果为；第4次显示结果为；，由此可见，从第1次显示的结果开始按循环．又因为2025÷3=675， 2026÷3=6751所以M=2-x，N=，则M·N=(2-x)·= （二）填空题 11.（2025·淮安盱眙县·期末）若整数x使分式的值为整数，则整数x=__________（写出全部） 【答案】：3、1、5、-1 【解析】：x-2为3的约数：±1、±3，x-2=1 ⇒x=3；x-2=-1⇒x=1；x-2=3⇒x=5；x-2=-3⇒x=-1。 12.（2025·南通如皋市·期末）已知a2-3a+1=0，则a+=________。 【答案】：3 【解析】：a≠0，等式两边同除a：a-3+=0⇒a+=3。 13.（2025·徐州睢宁县·期末）的最简公分母：________。 【答案】：x(x+1)(x-1) 【解析】：x2+x=x(x+1)，x2-x=x(x-1)。∴最简公分母为x(x+1)(x-1)。 14.（2025·盐城滨海县·期末）化简：=________。 【答案】： 【解析】 15.（2025·镇江句容市·期末）已知+=5，则=________。 【答案】：1 【解析】：+=5⇒=5⇒a+b=5ab，代入原式===1。 16.己知a=2b，c=5a，代数式的值为___________． 【答案】 【解析】由a=2b，c=5a，可得c=10b，∴==． 17.若的值为，则的值是_____________. 【答案】： 【解析】：由题知，，则，有，两边同乘以2得到，将代入，有，故答案为：. 18. 不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 【答案】． 【解析】根据分式的基本性质进行计算即可；．故答案为：． 19.计算　   　． 【答案】 【解析】原式. 20. 观察下列各式：，…．请利用你观察所得的结论，化简代数式（且n为整数），其结果是 ． 【答案】 【解析】∵，，，∴ ∴ ．故答案为：． （三）解答题 21．计算： （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式= = （2）原式== （3）原式= == （4）原式= == 22. 若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式． （1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N． 解：（1）是一对整合分式，理由如下：∵， 满足一对整合分式的定义，与是一对整合分式． （2）答案不唯一，如． 23．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 解：（1）原式．，，原式． （2）， ． 24．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 解：（1）由题意可得，分式是真分式；故答案为：真． （2）∵，故答案为：． （3），∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，，∴的值为：，，，．故答案为：，，，． 25．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 解：（1）分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为， ，，． （2）①．解析：∵分式的“巧整式”为， ．②．是整式，是“巧分式”． 26.【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 　 　元 乙 　 　 　千克 30元 第一次 第二次： 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 （1）完成上表； （2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由． 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由． 解：【生活观察】（1）第二次甲买水果费用为：4×5＝20（元），乙买水果质量为：30÷4＝7.5（千克），故答案为：20；1.5； （2）甲两次买水果的均价为：（30+20）÷（5+5）＝5（元/千克）， 乙两次买水果的均价为：（30+30）÷（5+7.5）＝4.8（元/千克）， ∴甲两次买菜的均价为5（元/千克），乙两次买菜的均价为4.8（元/千克）； 【数学思考】＝＝，＝＝，∴﹣＝﹣＝≥0，∴≥；【知识迁移】t1＝，t2＝＝， ∴t1﹣t2＝﹣＝，∵0＜p＜v，∴t1﹣t2＜0，∴t1＜t2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训7 《分式及其运算》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.精准区分分式与整式，牢记分式有意义、无意义、分式值为0的限定条件；掌握分式基本性质，熟练完成约分、通分，会确定最简公分母；熟记分式乘除、乘方、加减、混合运算法则，运算结果化为最简分式或整式。 2.能依托因式分解简化分式约分、通分，规范完成分式四则混合运算；掌握分式化简求值（含限定字母取值、整体代入求值两类必考题型）；解决分式参数问题、分式取值为整数类压轴小题。 3.渗透类比（类比分数学习分式）、转化（分式运算转化整式运算）数学思想，强化符号运算严谨性。 4.规避符号、分母漏限制、约分不彻底等高频易错点，养成分步演算、及时检验的解题习惯。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）四大必考考点 考点序号 考点内容 考查题型 分值占比 考点1 分式概念、分式有意义/值为0条件 选择、填空 12%左右 考点2 分式基本性质（字母扩倍、符号变形、约分通分） 选择、填空 10%左右 考点3 分式四则运算、混合化简 计算解答 35%左右 考点4 分式化简求值、整体代换、分式取整数参数问题 填空+解答 23%左右 （二）易错点汇总 1.分式值为0忽略分母 ≠ 0双重条件； 2.分式加减漏括号，多项式分子加减未加括号致符号出错； 3.化简求值随意选取使分母为0的数字代入； 4.乘除运算未先因式分解直接硬算、约分不彻底。 （三）针对性应对策略 1.概念类：做题先圈画分母，但凡求取值范围优先写分母 ≠ 0；分式值=0分两步：分子=0、分母 ≠ 0，两步缺一不可； 2.性质类：字母扩大倍数题型统一代入新字母，对比原式分式数值变化；约分通分优先因式分解（平方差、完全平方）； 3.运算类：混合运算口诀：先乘方 → 再乘除 → 后加减，有括号优先括号内；多项式先分解，能约分先约分；异分母加减先找最简公分母再通分； 4.求值类： ① 自选数值型：所选字母必须保证原式所有分母 ≠ 0； ② 整体代入型：优先对所求分式变形，凑已知整式整体，不单独解未知数。 ) 三．经典例题 例1（2023春·泰州姜堰期末）下列代数式：、、、，属于分式的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例2（2024春·常州武进期末·4分）若分式的值为0，则x=____。 例3（2025春·南京玄武期末）化简： 例4（2024春·盐城大丰期末）先化简，再从-1、0、1中选合适数代入求值。 例5（2023春·苏州姑苏期末）若的值为整数，x为整数，求整数x的值。 四．强化基础 （一）选择题 1.(2025·常州武进区·期末)下列代数式：、、、，其中分式共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.（2025·盐城射阳县·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A.x≠2 B.x≠-3 C.x=2 D.x=-3 3.（2025·苏州昆山市·期末）若分式的值等于0，则x的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 4.（2025·扬州宝应县·期末）根据分式基本性质，可变形为（ ） A. B. C. D. 5.（2025·泰州姜堰区·期末）计算-结果是（ ） A.3 B. C.0 D.3x+3 6.（2025·镇江丹阳市·期末）化简结果为（ ） A.x B. C.x-2 D. 7. （2026·预测）若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 8. （2026·预测）定义新运算：对任意非零实数，有，则（ ） A. B. 1 C. D. 9．（2026·预测）已知分式，，其中，则与的关系是 （　　） A． B． C． D． 10．（2026·预测）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A. B． C． D． （二）填空题 11.（2025·淮安涟水县·期末）约分：=______. 12.（2025·南通通州区·期末）计算=______. 13.（2025·徐州铜山区·期末）已知-=2，则=______. 14.（2025·连云港东海县·期末）把与通分，最简公分母是______. 15. 当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； 16.（2026·预测）如图，某玻璃瓶内装有高的墨水（图1），将瓶盖盖好后倒立放置（图2），此时有墨水的部分高为，没有墨水的部分高为，则瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的_________ 17．已知a2+7ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式的值等于　 　． 18.（2026·预测）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下： 整个游戏过程，　     　负责的那一步出现了错误． 19.化简结果为　       　． 20.计算()3·()3，结果等于　     　． （三）解答题 21. 计算 （1） (2)　． （3）． （4）． 22．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③； ④.其中是“和谐分式”的是________(填写序号即可). (2)若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值． 24.先阅读材料，再解决问题． 已知＝＝≠0，求的值． 解：设＝＝＝k(k≠0)，则x＝3k，y＝4k，z＝6k.(第一步) 所以＝＝＝.(第二步) (1)①第一步运用了__________的基本性质． ②第二步的解题过程运用了__________的方法，由得利用了______________． (2)已知x∶y∶z＝2∶3∶4，求的值． 25. 已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 26．结合图，观察下列式子： 于是有：． (1)填空：因式分解（ ）（ ）； (2)化简：； (3)化简：． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·苏州张家港市·期末）若把分式中x、y同时扩大到原来3倍，则分式的值（ ） A.扩大3倍 B.缩小 C.不变 D.扩大9倍 2.（2025·常州金坛区·期末）下列分式属于最简分式的是（ ） 3.（2025·泰州兴化市·期末）计算结果正确的是（ ） 4.（2025·扬州高邮市·期末）已知的值是（ ） A.3 B. C.-3 D.1 5.（2025·无锡江阴市·期末）化简结果是（ ） A.m B.1 C.2 D.m+2 6．已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A. B． C． D． 7．小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（　　） 原式 A． B． C． D． 8．如图，在数轴上表示 的值的点可以是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 9．对于任意的x值都有，则M，N值为（　　） A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4 10．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2025次显示结果记为M，2026次显示结果记为N，则的值为（    ） A. B． C． D． （二）填空题 11.（2025·淮安盱眙县·期末）若整数x使分式的值为整数，则整数x=__________（写出全部） 12.（2025·南通如皋市·期末）已知a2-3a+1=0，则a+=________。 13.（2025·徐州睢宁县·期末）的最简公分母：________。 14.（2025·盐城滨海县·期末）化简：=________。 15.（2025·镇江句容市·期末）已知+=5，则=________。 16.己知a=2b，c=5a，代数式的值为___________． 17.若的值为，则的值是_____________. 18. 不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 19.计算　   　． 20. 观察下列各式：，…．请利用你观察所得的结论，化简代数式（且n为整数），其结果是 ． （三）解答题 21．计算： （1） （2） （3） （4） 22. 若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式． （1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N． 23．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 24．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 25．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 26.【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 　 　元 乙 　 　 　千克 30元 第一次 第二次： 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 （1）完成上表； （2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由． 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $