精品解析：2026年甘肃省武威第二十七中学中考数学考前预测评估试卷2

2026年甘肃省武威第二十七中学中考数学考前预测评估试卷2 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据立体图形的特点，其俯视图为， 故选：A ． 3. 如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，由圆周角定理得到，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 5. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，若，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ，，，，， 故A，B，C选项错误，D选项正确， 故选：D． 7. 如图，在中，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线． ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点． ③连接． 根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（ ）． A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：B． 8. 如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分、、三种情况进行讨论，得到关于的解析式，再判断即可． 【详解】解：过点作交于点，如图1． 菱形的边长为6，面积为， ． 设运动时间为秒，则． 当时，点在上运动，此时． 作交于点，如图1，则 ， ， ，即，解得， 此时， 该部分函数图象是开口向上的抛物线，故选项符合题意； 当时，如图2，此时点在上，点在上，则， 此部分的函数图象是一条线段且随的增大而增大； 当时，如图， ， ，即，解得， 此时， 该部分函数图象是开口向下的抛物线， 综上，A符合题意． 9. 如图，直线，直线分别与，相交于点，，是上一点，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A. 34米 B. 35米 C. 36米 D. 37米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，得到四边形是矩形，继而得到，米，得出，得到，即，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，四边形是矩形， ，米， ， ， ， ， 在中，， ， ， 米， 米， 故选：C． 二、填空题 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】解：由题意知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得： ， 解得：． 12. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 13. “骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马来源于中国不同时期马的经典形象，身穿流云纹、山云纹等千年纹样，充盈着生生不息的历史美感和万象更新的时代气象．正面分别印有吉祥物的卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回并洗匀，再随机抽取一张，则这两张卡片上的图案是“驰驰”和“骋骋”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到这两张卡片上的图案是“驰驰”和“骋骋”的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”这四匹骏马，列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中这两张卡片上的图案是“驰驰”和“骋骋”的结果数有2种， ∴这两张卡片上的图案是“驰驰”和“骋骋”的概率为． 14. 如图，内切于正六边形，已知对角线，则正六边形与的周长差为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形与其内切圆、外接圆的性质．熟悉正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，对角线是外接圆的直径，正六边形的内切圆半径（边心距）与边长的关系为，正六边形与内切圆、外接圆的位置关系：正六边形的中心与内切圆、外接圆的圆心重合，是解题的关键． 首先根据对角线是外接圆的直径，得到外接圆半径的长，再根据正六边形的边长等于其外接圆半径，得到正六边形的周长，根据正六边形的内切圆半径（边心距）与边长的关系得到内切圆半径，进而得到内切圆的周长，再计算周长差即可． 【详解】解：正六边形的对角线经过圆心， ∴是正六边形外接圆的直径， ∵， ∴外接圆半径， ∵正六边形的边长等于外接圆半径，即， ∴正六边形周长， ∵正六边形的内切圆半径等于边心距，对正六边形有， ∴内切圆周长， ∴周长差为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，在上截取，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，．若，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，过点D作，垂足为点，连接，设，交于点，由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，则，，再证明，得到，则可证明，进而证明四边形是菱形，则，，利用勾股定理可得．利用等面积法可得，由勾股定理可得，则，即可得到． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点，连接，设，交于点． 由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ， 由平行四边形的性质可得， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ． ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】证明得出，进而根据三角形的外角的性质可得，即可判断②，证明，得出不一定成立，故①不正确，证明求得，进而判断③，过点作于，过点于，求得，证明得出，，则四边形的面积是，即可判断④，以为边向下作等边三角形，得出四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小，进而得出点与点距离的最小值为，进而判断⑤ ． 【详解】四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴， 在和中， ， ， ∴ ∴，故②正确 ∵， ∴ 又 ∴ ∴不一定成立，故①不正确 如图 ∵， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∵ ∴，故③正确； 过点作于，过点于， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积是，故④不正确 如图，以为边向下作等边三角形， ∵，， ∴四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小， 过点作，则， ∴， ∴ ∴点与点距离的最小值为，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 18. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的度数，最后根据南北回归线关于赤道对称的性质，得出的度数． 【详解】解：是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵分别表示北回归线和南回归线，表示赤道， ∴． ∴． 故答案为． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数及分式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握实数相关运算的运算法则及分式混合运算的运算顺序及方法． （1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可； （2）先通分后进行分式的加减运算，然后进行除法运算即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 = = 20. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） __________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； （4）学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】（1），图见解析 （2） （3）喜欢“篮球”运动的学生约有人 （4） 【解析】 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： 【小问2详解】 解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 21. 在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到． （1）如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：； （2）如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值； （3）如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）能，或或或 【解析】 【分析】（1）记与的交点为点，根据折叠的性质进而得出点，在的垂直平分线上，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）过点F作交于点M，根据题意设，则，勾股定理求得，证明，进而得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）①当，点在上方时，延长交于点，过点作于点，②当，点在下方时，交于点，过点作延长线于点，③当，点在上方时，延长交的延长线于点，过点作于点，④当，点在下方时，交的延长线于点，过点作直线于点，解，即可求解；⑤不存在的情况． 【小问1详解】 证明：记与的交点为点， 翻折得到， ，，， ∴点，在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点F作交于点M， 在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ∴设，则， 由勾股定理得：， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当，点在上方时， 如图，延长交于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 由翻折，得， ， ， ，， 设， 则，，， ， 解得， ； ②当，点在下方时， 如图，交于点，过点作延长线于点， ， ， ，， ，， ， 由翻折，得， ， ， ，， 设， 则，，， ， 解得， ； ③当，点在上方时， 如图，延长交的延长线于点，过点作于点， ， ， ，，， ，， 由翻折，得， ， ， ，，， 设， 则，，， ， 解得， ； ④当，点在下方时， 如图，交的延长线于点，过点作直线于点， ， ， ，，， ，， 由翻折，得， ， ， ，， 设， 则，，， ， 解得， ； ⑤不存在的情况； 综上所述，或或或． 22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 （2）当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． 【小问2详解】 解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 23. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________；并补全频数直方图． （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 【答案】（1），136，20，见解析 （2）128 （3）女生组更优秀，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得m的值； （2）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于140个的人数所占比例，再求和即可得出答案． （3）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数； 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即； 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数． 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128． 【小问3详解】 解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 24. 综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求该抛物线的表达式． （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ （3）如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设顶点式，再代入原点即可得解； （2）先求出距离地面高度不低于的x的范围，进而得解； （3）由（1）所得抛物线向上平移5个单位长度可得新的抛物线，再令求出落地点与表演台中心水平距离，再求出安全距离，比较大小即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． 【小问3详解】 解：与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ， 与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 25. 如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； （2）如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到相关边与角，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，然后结合旋转性质得到，最后由等腰三角形的性质即可得到答案； （2）①由平角定义、旋转性质得到点在线段的垂直平分线上，再由两个直角三角形全等的判定定理得到，结合垂直平分线的判定即可得证；②由垂直平分线性质，结合互余得到，从而由相似三角形的判定确定，由相似性质得到，根据条件，设，则有，由旋转性质，解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 四边形是矩形． ，， ， ， 是边的中点， ． ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 将绕点顺时针旋转得到 ， ； 【小问2详解】 解：①如图所示： ， ， 将绕点顺时针旋转得到． ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上 垂直平分． ②． 理由如下： 垂直平分， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 设， ， ， ， ， 旋转得到 ， ． 在中，． 设，则， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查四边形综合，综合性强，难度较大，涉及矩形性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转性质、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角函数定义、勾股定理等知识．灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 26. 如图，为直径， ，弦交于点E，连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，过点B作交于点G，交于点F，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，过点B作 于M，延长分别交于P，交于N，连接，若 求线段 的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，根据为的直径，得出， 结合 ，得出，证明，即可证出； （2）如图2，连接，根据 ，得出，再证明，得出，根据，得出，再结合，即可证明； （3）如图3，延长交于点T，连接，证明四边形为矩形，得出，再根据，得出，即可得，过点 F 作 于U，证明，得出，再证出，根据，得出，即可得，得出，证出，再证明，即可得，结合，得出，根据，，，算出，根据勾股定理即可求解； 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为 的直径， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图3，延长交于点T，连接， ∵为 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ 四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， 过点 F 作 于U， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 为 的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∵ 经过圆心O， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴中， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 27. 已知抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在上方的抛物线上有一点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标和的最大值； （3）如图2，抛物线的顶点为，若在抛物线上有一点，使得，求点的坐标； （4）点是抛物线上任意一点，设点到直线的距离记为，根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】（1） （2）的最大值是，此时P； （3）或 ． （4）当时，点有2个．当时，点有4个，当时，点有3个，当时，点有2个． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）如图1，过点作轴交直线于点，则，进而可得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，从而得出，再利用二次函数性质即可得出答案； （3）由，，，可得，从而证明是直角三角形，作，交轴于点N，交抛物线于G点，由，求出直线解析式，进而求出交点G坐标； （4）设点设，过点作轴，垂足为N，交与K，过点作轴，垂足为H，容易证明是等腰直角三角形，从而可得，进而用函数解析式表示h，由函数图象得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线经过，，， 设，将代入，得， 解得：， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交直线于点， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，取得最大值，此时，，； 【小问3详解】 如图2，作，交轴于点N， ， 抛物线顶点坐标为， 又，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在正半轴时，，直线解析式为：， 联立抛物线与直线解析式得：， 解得：，，即点的坐标为 同理可求：当在负半轴时，，直线解析式为：， 联立抛物线与直线解析式得：， 解得：，，即点的坐标为 综上所述：点的坐标为或 ． 【小问4详解】 设点设，过点作轴，垂足为N，交与K，过点作，垂足为H， ，， ，， ，点， ，即是等腰直角三角形，为斜边； ∴， 当时，点M在直线上方， ， ∴，此时当时，， 当或时，点M在直线下方， ， ∴， 当或时，点M在直线上，， 综上所述：当时，， 当或时，， 当或时，， 画出函数图象如图： ∴当时，点有2个， 当时，点有4个， 当时，点有3个， 当时，点有2个． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，三角函数，等腰直角三角形性质及判定，轴对称性质，二次函数图象和性质，解一元二次方程等知识，综合性强，难度大，属于中考数学压轴题，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理和三角函数定义解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省武威第二十七中学中考数学考前预测评估试卷2 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 6 6. 如图，若，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线． ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点． ③连接． 根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（ ）． A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，直线分别与，相交于点，，是上一点，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A. 34米 B. 35米 C. 36米 D. 37米 二、填空题 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 12. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 13. “骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马来源于中国不同时期马的经典形象，身穿流云纹、山云纹等千年纹样，充盈着生生不息的历史美感和万象更新的时代气象．正面分别印有吉祥物的卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回并洗匀，再随机抽取一张，则这两张卡片上的图案是“驰驰”和“骋骋”的概率是__________． 14. 如图，内切于正六边形，已知对角线，则正六边形与的周长差为_____．（结果保留） 15. 如图，在平行四边形中，在上截取，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，．若，，，则_____． 16. 如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 17. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 18. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）． 20. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） __________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； （4）学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 21. 在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到． （1）如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：； （2）如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值； （3）如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由． 22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 23. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________；并补全频数直方图． （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 24. 综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求该抛物线的表达式． （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ （3）如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 25. 如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； （2）如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 26. 如图，为直径， ，弦交于点E，连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，过点B作交于点G，交于点F，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，过点B作 于M，延长分别交于P，交于N，连接，若 求线段 的长． 27. 已知抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在上方的抛物线上有一点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标和的最大值； （3）如图2，抛物线的顶点为，若在抛物线上有一点，使得，求点的坐标； （4）点是抛物线上任意一点，设点到直线的距离记为，根据的不同取值，试探索点的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $