精品解析：辽宁省大连市第七十六中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学

2025-2026学年度第二学期初二数学期中阶段性学情评估 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3 分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 勾股数是能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1， ，2 D. 8，15，17 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（ ） A. 8 B. 64 C. 7 D. 49 7. 如图，菱形，和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 我们将宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 14. 如图，在中，于点D，，E是斜边的中点，则_____． 15. 如图，在菱形中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为________ 三．解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2） 17. 解下列一元二次方程 （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． （1）求实数的取值范围； （2）当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 21. 如图1，，平分，且交于点C，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，交于点M，，则的长． 22. 旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换、能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，是等边内一点，且 若将绕点顺时针旋转得到． （1）则点与之间的距离为 ， （直接写出答案）． （2）如图2，在（1）的条件下，过作交延长线于，则 （直接写出答案）． 【类比探究】 （3）如图3，点是正方形内一点，．求的度数和正方形面积． 23. 综合探究 （1）如图，四边形是正方形，点E、F分别在边，上，与交于点O，． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，G、H分别是，的中点，若，求的长． （2）如图，矩形中，点E在边上，，点F在延长线上，交于H，且，连接． ①如图3，若，求证：； ②如图4，若时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期初二数学期中阶段性学情评估 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3 分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、=，故不是最简二次根式； B、=，故不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题意，回想二次根式的性质；对于式子，有，其中；根据以上信息，结合题目中的式子，可令，进而即可求出结果. 【详解】解：由于， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的求解，属于基础题. 3. 勾股数是能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1， ，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数的定义：能成为直角三角形三边长的三个正整数，只需验证三个数均为正整数，且较小两数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：根据勾股数要求三个数均为正整数，选项C中不是正整数，直接排除C； ∵ ，，，∴ 选项A不是勾股数，不符合题意； ∵ ，，，∴ 选项B不是勾股数，不符合题意； ∵ ，，∴ ，且，，均为正整数，∴ 选项D是勾股数，符合题意． 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 5. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 6. 如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（ ） A. 8 B. 64 C. 7 D. 49 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 7. 如图，菱形，和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形面积对角线法： 设菱形的高为， 则， 代入得：， 解得． 8. 如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 10. 我们将宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用黄金矩形的定义求出线段的长，再利用矩形和正方形的性质得到的长度，从而解出答案． 【详解】解：∵矩形是黄金矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 则 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 14. 如图，在中，于点D，，E是斜边的中点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意先求出，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等，连接，作于点H，由菱形的性质得，则，由，求得，再证明四边形是矩形，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 解得， ∵于点F，于点G， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先化简所有二次根式，再去括号合并同类二次根式即可； （）利用分配律和平方差公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列一元二次方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 18. 如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理逆定理求出是直角三角形，则，从而得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，、， ， ， ， ． 19. 如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，结合已知得出，即可得证． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． （1）求实数的取值范围； （2）当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式满足， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵​、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：​， ∴， 解得， 验证：​，符合（）中的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故． 21. 如图1，，平分，且交于点C，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，交于点M，，则的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论； （2）由直角三角形的性质以及菱形的性质得到，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 证明：平分， ， 又， ， ， ∵平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ． ∴． 22. 旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换、能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，是等边内一点，且 若将绕点顺时针旋转得到． （1）则点与之间的距离为 ， （直接写出答案）． （2）如图2，在（1）的条件下，过作交延长线于，则 （直接写出答案）． 【类比探究】 （3）如图3，点是正方形内一点，．求的度数和正方形面积． 【答案】（1）； （2） （3）的度数为，正方形面积 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和全等三角形的性质可得，为等边三角形，，，再根据全等三角形的性质和勾股定理逆定理可得为直角三角形，进而求解即可． （2）根据所对的直角边为斜边的一半，可得，利用勾股定理可得，从而求得，进而利用勾股定理可得． （3）将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，过点作，交的延长线于点，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得；然后可推出为等腰直角三角形，求得，最后同（2）可得，即可求出正方形面积． 【小问1详解】 解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，得到，过点作，交的延长线于点，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，， 即， ∴， 综上，的度数为，正方形面积． 23. 综合探究 （1）如图，四边形是正方形，点E、F分别在边，上，与交于点O，． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，G、H分别是，的中点，若，求的长． （2）如图，矩形中，点E在边上，，点F在延长线上，交于H，且，连接． ①如图3，若，求证：； ②如图4，若时，求的值． 【答案】（1）①见解析；② （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，易证明，则，进而求出，利用三角形内角和定理求出，从而得出结论； ②连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质易证明，进而得到点为的中点，利用三角形中位线的性质求出，在中，利用勾股定理求出长，据此解答即可； （2）①设，，，则、，过点作于点，证明四边形是矩形，进而求出长，利用角与角之间的关系求出是等腰三角形，在中，利用勾股定理列出方程，求出与之间的关系，从而得出结论； ②根据，易证明，进而得到，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质得到，证明四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出，进而求出的长，据此求解即可． 【小问1详解】 ①证明：四边形是正方形， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②解：如图，连接并延长交与点，连接， 点是的中点， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， 、， 由（1）知，， ， ， ， 点、分别为、的中点， ， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：设，，，则、， 过点作于点， ， 四边形是矩形， 、、， 四边形是矩形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 即； ②解：， ， 、， 由①知，、， ， ， ， 点是的中点， 取的中点，连接，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $