精品解析：辽宁省大连市沙河口区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性随堂练习 八年级数学（B） 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直角边在数轴上，点A表示，且，若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 1.2 D. 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是，点D是的中点，过点D作交于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 13. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 14. 如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程______． 15. 如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接、相交于点；分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为______． 三．解答题（本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解一元二次方程． （1）； （2）． 18. 一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 19. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ 21. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． （1）求滑道的长度； （2）若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到米，参考数据：） 22. 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 23. 如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、． （1）求长； （2）请补全图形并求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期阶段性随堂练习 八年级数学（B） 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程．根据一元二次方程的定义（整式方程，只含一个未知数且最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A、 是二次多项式，但无等号，不是方程，故本选项不符合题意． B、是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合定义，故本选项符合题意． C、 展开后为，最高次数为4，不符合，故本选项不符合题意． D、 含分式，非整式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、的被开方数含有开的尽的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、=，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式，熟知最简二次根式满足的条件是解答的关键． 4. 如图，的直角边在数轴上，点A表示，且，若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 1.2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果．本题考查勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由勾股定理，得：， ， ∵点表示的数为， ∴点P表示的数为；, 故选D． 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 6. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，，证出，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：在矩形中，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 故选C． 8. 的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可． 【详解】解：A、∵∠A=∠B-∠C， ∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， 解得∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； B、∵a：b：c=5：12：13， 设a=5x，b=12x，c=13x， ∴a2+b2=169x2=c2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=75°， ∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意； D、∵a2=（b+c）（b-c）， ∴a2=b2-c2， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 9. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有意义可得，再结合，化简． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是，点D是的中点，过点D作交于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点距离计算公式，菱形的性质，坐标与图形，由两点距离计算公式可得，由菱形的菱形可推出，，再利用两点中点坐标计算公式求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标是， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，即， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 12. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 13. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 14. 如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x），由此即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程． 15. 如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接、相交于点；分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式，解题的关键是由作图过程得出垂直平分． 由作图可知，垂直平分，根据正方形的性质和勾股定理，可得正方形的边长，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算乘法即可； （2）先计算除法和按照完全平方公式计算括号，再化简二次根式，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 移项得，， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 ， ， ∴， ∴， 解得：，． 18. 一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到， 利用割补法即可求出该田地的面积． 【详解】解：连接， 在中，根据勾股定理，可得， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积＝的面积-的面积 = 答：该田地的面积是． 19. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】（1） （2）；严禁高空抛物 【解析】 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ∵，, ∴． 【小问2详解】 ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】（1）两次下降的百分率为10% （2）每件商品应降价2.5元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可． （2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x． ， 即：， x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）， 答：两次下降的百分率为10%； 小问2详解】 解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元， 由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510， 化简得：， 解得：，， ∵有利于减少库存， ∴y＝2.5． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 21. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． （1）求滑道的长度； （2）若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到米，参考数据：） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可得：是直角三角形，，且，设滑道的长度为米，则米，米，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）设米，则米，由勾股定理得（米），则，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意可得：是直角三角形，，且， ，， ，， 设滑道的长度为米，则米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：滑道的长度为米； 【小问2详解】 ， ， ， 设米，则米， （米）， ， 解得：， （米）， 由（1）可知，（米）， （米）． 答：的长约为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22. 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 【迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）是等边三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得出，再根据垂直的意义得出，然后根据中点的意义得出，再根据等边对等角得出，，进而得出，从而可得为等腰直角三角形； （2）先根据正方形的性质，得出，，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，得出，再利用等边对等角，可得，，从而可得出，再利用等腰直角三角形的性质得出； （3）先猜想：是等边三角形，再说理，先根据矩形性质，得出，，,从而可根据证明，再利用全等三角形的性质得出．再证明，结合全等三角形的性质可得出是的中位线，从而可得，再根据平行线的性质得出，从而可得，于是可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）∵四边形是正方形，， ∴，． ∵G为的中点，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）猜想：是等边三角形． 延长、交于点M，延长、交于点N， ∵四边形是矩形，G为的中点， ∴，，． ∴． ∵， ∴（）． ∴． ∴在中，． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 23. 如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、． （1）求的长； （2）请补全图形并求折痕的长． 【答案】（1）；（2）补全图形见解析；折痕的长为5或． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ADE中，，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）分点O在AB和AD两类讨论，当点在上时，可得是等边三角形.求得；点点O在AD上时，过点、分别作， ， 垂足分别为、， 连接，.求出，，，根据折叠性质，结合勾股定理，求出，进而求出，利用面积法即可求得． 【详解】(1)∵，， ， ∴. ∴. ∴. （2）如图1所示，当点在上时， ∵， ， ∴. ∵四边形是平行四边形， ∴，， . ∴. ∵将平行四边形折叠，使点与点重合， ∴折痕垂直平分，即， . ∵折痕与平行四边形的边交于点， ∴点与点重合. ∵， ∴. ∴. ∴. ∵， ∴是等边三角形. ∴. 如图2所示，当点在上时， 过点、分别作， ， 垂足分别为、， 连接，. ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴. ∵在中， ， ∴. ∴， . ∴在中，， 由折叠可知，，. ∴在中，， 即. ∴. ∴，， ∴. ∴四边形为矩形. ∴， ∵， ∴ ∴ 综上所述，折痕的长为5或. 【点睛】（1）见60°角一般转化为直角三角形或等边三角形解决问题； （2）点在平行四边形的边上，要根据题意进行分类讨论求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$