精品解析：广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年第二学期高三年级总复习质量调查（三）数学试题

东莞市第十三高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照集合的交并补定义运算即可. 【详解】解不等式 ，得 ， ， ； 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可. 【详解】∵，∴， 故选：C 3. 已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数，都有”与“数列是严格减数列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论. 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 4. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为函数的图象关于原点对称，可得函数为定义域为奇函数，根据奇函数性质，可得,求得值，进而求得. 【详解】函数的图象关于原点对称 可得：为定义域为奇函数 根据奇函数性质 令，可得 又 故 故选：A. 【点睛】本题解题关键是掌握奇函数在定义域包含时，，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5. 如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选用为基底向量，即可根据向量的线性运算以及数量积的运算律求解. 【详解】设与方向相同的单位向量分别为，则，故，由于，故. 6. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，根据平均数可得，再结合方差公式运算求解. 【详解】设男生人数为，女生人数为， 且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和， 由平均数可得，即，解得， 由方差可得， 即，解得. 故选：B. 7. 已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围． 【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4 ， （1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2． ∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）． ∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=， ∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11． ∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解； （2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2． ∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）． ∴x2﹣9+4＝x2﹣5， ∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1． ∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解； （3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4． （3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x）， ∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27， ∵2＜x≤4，∴λ≤11． ∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解； 综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题． 8. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 二、多选题 9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出对应的值，即可判断AB选项；由互斥事件的定义求来判断C选项；求出来判断D选项. 【详解】， ， ∵，∴， ∴，A选项正确；，B选项正确； ∵“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”，C选项错误； 由频率估计概率得：， ，D选项错误. 故选：AB 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件，再检验点是否满足要求即可，对于选项D，设直线，，联立方程结合根与系数关系求结论即可. 【详解】已知开口向右的抛物线为，焦点为， 根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为 开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为， 开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为， 由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得， 因此四条抛物线分别为：，， 对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误， 对于选项B，联立，可得，故点的坐标为， 同理可得， 距离最大的两个点为和（或和）， 最大距离为： ，选项B正确， 对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且， 代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误， 对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故， 由得：，即， 联立，可得，由韦达定理：  ， 代入得：，，解得， 由得，斜率，选项D正确. 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直线与直线所成角等于直线与直线所成角，从而得到，进而有，所以点的轨迹为圆的一部分；B选项，直线与直线所成角等于直线与直线所成角，所以形成的轨迹是绕旋转形成的圆锥面，于是点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，通过比较半顶角和轴线与侧面的夹角可知点的轨迹是椭圆的一部分；C选项，点到直线的距离等于点到的距离，所以点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线的一部分；D选项，根据勾股定理，由解得，所以点的轨迹为圆的一部分，求出该圆与侧面的边的交点，即可得到对应的圆心角从而得到长度. 【详解】A选项，由正四棱柱性质可知，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角也即， 由平面可得，所以， 即点到定点的距离为定值，故点的轨迹为圆的一部分，A错误； B选项，类似地，因为，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 已知该角为定值，因为是定直线，所以形成的轨迹是一个以为轴，为顶点，半顶角为的圆锥面， 点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，因为平面， 所以圆锥面轴线与侧面的夹角即为， 故点的轨迹是椭圆的一部分，B正确； C选项，因为，所以点到直线的距离就是点到点的距离， 所以在侧面内，点到定点的距离等于到定直线的距离 （点不在直线上），故点的轨迹为抛物线的一部分，C正确； D选项，在中，根据勾股定理有，若， 则，解得，故点的轨迹是在侧面内， 以为圆心，半径为的圆弧， 因为，所以圆与和有交点，分别设为，过作，在中，， ，可得，故， 于是点的轨迹长度为，D正确. [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/5/19/c1d6d64b-5ba6-4d2f-ad40-09fbcbe66988.svg] 三、填空题 12. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 13. 已知数列的前项和为，若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】0因为， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以. 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）将两边平方，得，由余弦定理可得，进而求得； （2）①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得，代入，可得，从而得到的周长. ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到，的值，利用二倍角公式和两角和的正弦公式计算得到答案. 【小问1详解】 由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 ①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 16. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1) 要证明 平面 ，需根据线面垂直判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线.由正方形性质可得 ，再结合面面垂直的性质证明 平面 ，得到 ，即可满足判定条件. (2) 以 为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 将点 、 的坐标用参数 表示，通过向量模长公式即可求出 的长度表达式. (3) 先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的 值，确定此时 、 的坐标，再分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值即为两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在矩形中，，点分别是的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 ， ， ， 因为， 所以 ， ， 则 ， 所以 ， 所以线段的长为 ； 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时分别为线段的中点， ， ， 则 ， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知， 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； （2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 【答案】（1） （2）抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的分布列： 600 300 150 【解析】 【分析】（1）由古典概率计算公式及条件概率公式即可求解； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 由数表知，. 【小问2详解】 设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，依题意，；则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：，奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 18. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线的方程； （2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 19. 已知函数，曲线在点处的切线记为． （1）求函数的最小值； （2）当时，证明：除切点外，直线 曲线的下方； （3）设过点的直线与直线垂直，与轴交点的横坐标分别是，若，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性，进而求最小值即可； （2）利用导数求切线方程，构造，求导证明即可； （3）利用导数的几何意义和点斜式直线方程求出，进而得到，代入化简结合导函数正负得出单调性即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 因为，所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故当时，取最小值，最小值为. 【小问2详解】 因为，则直线的方程为，即，设， 则， 设，则， 所以当时，，故在上单调递增， 故在上单调递增，即在上单调递增， 而，则当时，， 则，故在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增， 而当时，，此时也有， 故当时，即在上单调递增， 故在上的最小值为， 故当且仅当时等号成立，即， 当且仅当时等号成立，故除切点外直线 曲线的下方. 【小问3详解】 由题意直线，直线， 所以， 当时，在上单调递增， 所以， 所以， 由（2）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市第十三高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 7. 已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 13. 已知数列的前项和为，若，且，则__________. 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 16. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； （2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 18. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线的方程； （2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 19. 已知函数，曲线在点处的切线记为． （1）求函数的最小值； （2）当时，证明：除切点外，直线 曲线的下方； （3）设过点的直线与直线垂直，与轴交点的横坐标分别是，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $