精品解析：广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年第二学期高三年级总复习质量调查（三）数学试题

东莞市第十三高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 7. 已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 13. 已知数列的前项和为，若，且，则__________. 14. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 16. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； （2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 18. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线的方程； （2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 19. 已知函数，曲线在点处的切线记为． （1）求函数的最小值； （2）当时，证明：除切点外，直线 曲线的下方； （3）设过点的直线与直线垂直，与轴交点的横坐标分别是，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 东莞市第十三高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质 量调查（三） 一、单选题 1.设集合A={r-x-2≤0，xeZ,B={1,0,15,则4nB=() A←l,0,} B.0, c {1B D.01,2} 【答案】A 【解析】 【分析】按照集合的交并补定义运算即可 【详解】解不等式x2-x-2≤0，得-1≤x≤2，·4={1,0,12}， AnB={-1,0, 故选：A 2已知复数2满足22-)=1-31 a 1-i D 1+i 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可。 1-31-302+0_5-5i=1-i 【详解1：z2-0=1-31,2=2-i2-02+05 故选：C 3.已知{a,}是无穷等比数列，则“对任意正整数n,都有42<a”是“数列a,}是严格减数列”的《 ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 第1页/共28页 6学科网6组卷网 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数”，都有0+2<a,”与“数列a,}是严格减数 列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论. 【详解】若a,}是严格递减数列，显然能推出02<a, 所以“对于任意的正整数n,都有42<a”是“{a,}是严格递减数列”必要条件： 若0,2=a,4<0,对任意的正整数”都成立. 则{a}中不可能同时含正项和负项，故9>0， 所以4，>0，q<1,即0>0,0<g<1 或4，<0,9>1，即0.<0,9>1 当4，>0,0<g<1时，有4,9<a,即41<a,{a,}是严格递减数列： 当a。<0,9>1时，有a9<a,即a<a,a}是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数n,都有42<0，”是“{a}是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数n,都有0<a”是“数列a,}是严格减数列”的充要条件 故选：C 4已知函数f(y)=e+ae(aeR)的图象关于原点对称，则f(a)() 1-e A.e B.1 a e-1 D et 【答案】A 【解析】 第2页/共28页 6学科网命组卷网 【分析】因为函数f()=C+e(a∈R)的图象关于原点对称，可得图数f(为定义域为R奇函数， 根据奇函数性频八)=-（因，可得(0）=0，求得a值，进而求得(@ 【详解】？函数f(d=e+ae(a∈R)的图象关于原点对称 可得：（四为定义域为R奇函数 根据奇函数性质f()=-f(x) 令x=0,可得/(0)=0 又f(0)=e+ae=0 ∴.a=-1 ..f(x)=e"-e* 故f(a)=f(-H)=e-e-1-e 故选：A 【点睛】本腿解题关键是李握奇西数在定义域包合x=0时，0)=0，考查了分析能力和计算能力，属 于基础题 OABC OA=5,0C=4 5.如图，平行四边形 中， ,作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形， 若0A.0C=-l0,则CD-PD_() 第3页/共28页 6学科网 命组卷网 15 9 7 7 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】选用a,b 基底向量，即可根据向量的线性运算以及数量积的运算律求解 【详解1设与O10C方向相同的单位向量分别为a.6,则O.OC-50,45=-10:放a.6=号，由于 CD=a-2b,Pg=2a+36,故 D.0-(6-2ja+3列=2i-a6-6=2-（2-6=3 6.己知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球 数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为() A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8 【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为m>0,女生人数为n>0,根据平均数可得m=n,再结合方差公式运算求解. 【详解】设男生人数为m>0,女生人数为n>0, 且进球数的平均值和方差分别是x=4和=4，其中男生进球数的平均值和方差分别是=5和=18 女生进球数的平均值和方差分别是戈=3和， 由平均数可得m+n 解得m=n, 防整到m8+-可][+民-] 即36=8+6-4到]门+引+6-4]解得号=34 第4页/共28页 6学科网列组卷网 故选：B. 7.已知平面直角坐标系中两个定点 (3,2).F(-3,2),如果对于常数元，在函数'=k+2+K-24, x[4,4的图像上有且只有6个不同的点P,使得PE·PF=九成立，那么孔的取值范围是 （川 D.（-5,11) 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数y=|x+2+x-2-4在[-4,4]的图象，讨论若P在AB上，设P(x,-2x-4);若P 在BC上，设P(x,O);若P在CD上，设P(x,2x-4)·求得向量PE,P℉的坐标，求得数量积，由二 次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围. 【详解】函数y=|x+2+x-2-4 「4-2x,-4≤x≤-2 0,-2<x≤2 2x-4,2<x≤4 (1)若P在AB上，设P(x,-2x-4),-4≤x≤-2. :pf=8-x,6t2x),PE-PFF(-3-x,6*2x）. 9 5x2-9+(6+2x)2=5x2+24x+27= x∈[-4，-2]，.-1<1≤11λ≤11. 99 .当x5或5时有一解，当-1≤入≤11入≤-1时有两解： (2)若P在BC上，设P(x,0),-2<x≤2. :PF=(8-x,2),PE.PF=（-3-X,2》. 第5页/共28页 6学科网命组卷网 -2<x≤2，.-5≤λ≤-1. ∴.当入=-5或-1时有一解，当-5<入<-1时有两解： (3)若P在CD上，设P（x,2x-4),2<x≤4. P℉=3-x,6-2N),PEPF=(-3-x,6-2x), .,1229 5 x2-9+(6-2x)2=5x2-24x+27, 2<x≤4，∴.-1<入≤11λ≤11. 9 ∴.当入5或S0=AB时有一解，当-1≤入≤11入<-1时有两解： 综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是-1≤入≤11x<-1 故选C. B-10 1 C 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方 法，属于中档题 8.己知一几何体上半部分为圆台PO,下半部分为圆锥S0,其中圆锥S0底面的半径为r,高为h.圆 V21 台PO的两底面的半径分别为r和7，高为2h,该几何体内接于表面积为100π的球，则圆台P0的 体积为( ) A.(10+V2T元 B.210+2可πc410+2)π D.610+2元 【答案】D 【解析】 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积， 【详解】外接球半径R,则4红R2=100m,R=5 第6页/共28页 学科网命组卷网 MR=M0==R=5,00=片PR=2, 7 r,PO=2h,SO=h, M 0- 设外接球球心M,在Rt.PMR.,PR+PM=MR,即产+(PS-M=MR, 在RtaM00,00+OM2=M0,即RtaM00,r2+MS-0Sy=Mg, [(5-h)2+r2=25 h=3 则h-分+32-25.-ai V=号(21r+9m+321xx6=60+2可)r 故选：D 二、多选题 9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的 频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为x，高 二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为'，z.从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件 M=“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件 N= “高一年级学生得分 不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则() 第7页/共28页 学科网命组卷网 率 4频率 T组距 个组距 0.030 0.030- 0.020… 0.020 0.015 0.010 0.010 0.005 0.005 30405060708090100分数 30405060708090100分数 高一年级学生得分 高二年级学生得分 A.x<Z B.y>z C.事件M,N互斥 D.P(M)=P(N) 【答案】AB 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出对应x,少，2的值，即可判断AB选项：由互斥事件的定义求M∩N来判 断C选顶：求出P(M),P(W)来判断D选顶 【i详解】x=(35×0.01+45×0.02+55x0.03+65x0.02+75x0.01+85x0.005+95×0.05)×10=58.5 z=(35×0.005+45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.005)×10=67.5 0.05+0.1+0.15+0.2=0.5y=70 ∴X<乙，A选项正确：y>2,B选项正确： :MN-高年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分⑦， ,C选项错误； 由频率估计概率得：P(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05)x(0.15+0.05)=0.08 P(N)=(0.05+0.05)×(0.2+0.3+0.15+0.05)=0.07 D选项错误 故选：AB 10.如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草， 故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A,B,C,D,已知这四条抛 物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为广=4x,过点F(,0)作直线1与曲线B在第一、四象限内 第8页/共28页 6学科网命组卷网 共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P,Q,且F=3F ,则() A.开口向下的抛物线的焦点坐标为 B.曲线B上两点间距离的最大值为8V2 (3,3) C.点 不在曲线E的内部 D。直线1的斜率为V5 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A,结合抛物线性质求焦点坐标即可判断， A,B,C,D 对于选项B,求点 的坐标，由此判断结论，对于选项C,确定阴影部分内的点在第一象限内的 (3,3) l:x=my+1 点所需满足的条件，再检验点 是否满足要求即可，对于选项D,设直线 P(x,),Q(,),联立方程结合根与系数关系求结论即可. 【详解】已知开口向右的抛物线为广=4红，焦点为，0) 根据对称性可设开口向左的抛物线方程为y2=-2px,其焦点坐标为 第9页/共28页 6学科网6组卷网 开口向上的抛物线方程为x2=2y,其焦点坐标为 开口向下的抛物线方程为x2=-2g心，其焦点坐标为 由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得 p=9=2 因此四条抛物线分别为：广=4xx2=4y 对于选项A,开日向下的抛物线为=-4y,焦点坐标为(0，)，不是0，之 ,A错误， [y2=-4x〔x=-4 对于选项B,联立x2=4y，可得y=4,故点4的坐标为(4,4)： 同理可得B(4,4),C(4,-4),D(-4,-4) 距离最大的两个点为1(-4，刊和C4,④（或B(4,4和D(-4,4), 和 最大距离为：|4C√(4-(4》+(4-4=8V5,选项B正确， 对于选项C,曲线B的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系广≤4x且t≤4y 日 代入(8,3)，厂=9<12=4×3，=9<12=4x3,因此3,3)在曲线E内部，选项c错误， 对于选项D,设直线：x=m+1,P(,),(,乃），在最上方，P在最下方故>0>片， 由F=3FF得：0-，-y)=3x-山)，即h=-3y, [y2=4x 联立x=my+1,可得y-4my-4=0:由韦达定理：片+为=4m,yy=4, 代入⅓=-32%=m,3听=4，据约-. 第10页/共28页 6学科网命组卷网 1 1m= 了由y2=6m>0得3，斜率k=2=V3 ,选项D正确。 11.正四棱柱 BCD-4BCD中.AB=2,4=1.点P为面4BBA内-点，则() 元 A.若直线DP与直线BC所成角为4，则点P的轨迹为双曲线的一部分 π B.若直线DP与直线BD所成角为6，则点P的轨迹为椭圆的一部分 C若点P到直线AD的距离等于到直线4B的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分 2V3π D.若PD=2PA,则点P的轨迹长度为9 【答案】BCD 【解析】 分折】A选，直线DP与直线BC所成角等于直线DP与直线D成角，从阿得到D1 4,进 而有4P=2,所以点P的轨迹为圆的一部分：B选项，直线DP与直线BD所成角等于直线DP与直线 BD所成角，所以DP形成的轨迹是绕BD旋转形成的圆锥面，于是点P的轨迹就是圆锥面与侧面 ABB4竹文线，适过比较半顶拍和鞋线与侧后4BA的夹角可如点P的轨迹是稀的的一图分：C造夙 点P到直线4D的距离等于点P到A的距离，所以点P到点A的距离等于到直线4B的距离，所以点P 的轨迹为抛物线的一部分：D选项，根据勾股定理，由PD=2P4解得PA=3 3，所以点P的轨迹为圆 的一部分，求出该圆与侧 面ABB,4的边的交点，即可得到对应的圆心角从而得到长度 第11页/共28页 命学科网命组卷网 【详解】A选项，由正四棱柱性质可知BCI/AD,所以直线DP与直线BC所成角等于直线DP与直线 AD所成角也即 ∠PDA=π 4, 由DA⊥平面AABB可得AD⊥AP,所以 AP=AD-tan LPDA=2xtan"=2 即点P到定点A的距离为定值，故点P的轨迹为圆的一部分，A错误： BD //BD B选项，类似地，因为 所以直线DP与直线BD所成角等于直线DP与直线BD所成角， 2 已知该角为定值6，因为BD是定直线，所以DP形成的轨迹是一个以BD为轴，D为顶点，半顶角为 Bsπ 6的圆锥面， 点P的轨迹就是圆链面与铡面ABB4的交线，因为DA上平面4BB 所以圆锥面轴线BD与侧面ABB,4的夹角α即为 DBA-=年>B= 26, 故点P的轨迹是椭圆的一部分，B正确： C选项，因为AD⊥AP,所以点P到直线AD的距离就是点P到点A的距离， 所以在侧面 ABBA内，点P到定点A的距离等于到定直线4B的距离 (点A不在直线AB上)，故点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确， D选项，在 IAPAD中，根据勾股定理有PD=PM+AD,若PD=2PA, 则2P=PA+AD,解粉PA=25 3,故点P的轨迹是在侧面ABB,A内， 第12页/供28页 6学科网 命组卷网 2V3 R= 以A为圆心，半径为 3的圆弧， 2v 因为A4< 3 <AB,所以圆与AB和AB有交点，分别设为E,F,过F作FG⊥AB,在R△AGF 中，FG=AA=1 A你=R=23,可得 in∠FAG=1=V3 3 232,放∠F4G=T, 3 23π2W3π 于是点P的轨迹长度为3×3=9，D正确， [Failed to load image:https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/5/19/ c1d6d64b-5ba6-4d2f-ad40-09fbcbe66988.svg] 三、填空题 12.已知 的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含x项的系数为 (用数字作答) 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为 ax31 的展开式各项系数的和为(a-l),二项式系数的和为25， 所以(a-)°=25 ,解得4=3 因为 的展开式的通项为7=(~yC3产x, 第13页/共28页 命学科网命组卷网 15、7 =1 2,得r=4, 所以()C354=15 即含x项的系数为15. 故答案为：15 13.已知数列{a,}的前n项和为S.,若mS1-(n+)S,=2(n+n,且4=2，则S,= 2n2 【答案】 【解析】 【详解】0因为 sn-(n+)js。=2(n2+n)→S-=2 n+1n, 所以数列m是以子=名=2为首瑰，2为公老的等差数 =2+2(n-l）=2n→S,=2m 所以n 14.托马斯贝叶斯(Th0 mas Bayes）在研究”逆向概车"的问慰中得到了一个公式： P(B,4)= P(B)P(A B) P(B)P风4)，这个公式滋称为贝叶斯公式（贝叶斯定星）共中户P(B,)P4B) 称为A的全概率，现有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2,3台加工的次品 率均为3%，加工出来的零件混放在一起，己知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的30%， 30%40% ,任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 第14页/共28页 6学科网 命组卷网 5 【答案】12 【解析】 【分析】设率件A为任取一个零件为次品”，事件B为零件是第1台车床加工=山，2,3)，则 D=BUB,UB,且B,B,B两两互斥.求出P(B),P(B,),PB,),以及P(AB,) P(4B),P(④B,）,由全概幸公式得P(4),“求次品为第1合车床所加工的概率，由贝叶斯公式计 算P(BA)即可 【详解】设事件A为任取一个零件为次品”，事件B为零件是第1台车床加工(=1,23列 则Q=BUB,UB,且B,B,B两两互斥. 根据题意得： P(B)=0.3P(B2)=0.3P(B)=0.4P(B)=0.05 P(4B,)=0.03.P(AB,)=0.03由全概率公式得： P(A)=>P(B.)P(AIB)=P(B)P(AI B)+P(B)P(A B)+P(B)P(A B) =0.3×0.05+0.3×0.03+0.4×0.03=0.036 “如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：P(BlA)= P(B)P(AB)_0.3×0.055 P(A) 0.03612 5 故答案为：12 四、解答题 第15页/供28页 学科网命组卷网 15.记△MBC的内角4，B,C的对边分别为ab,C,已知b+c=Va+bc (1)求角A; 3 (2)若aABC的面积为2，且sinB=2sinC: ①求△ABC的周长： ②求sin(2B+A) 2π 【答案】(1)3 35 (2)①3+√7②14 【解析】 【分析】(1)将b+c=Va+bc两边平方，得+c2-d=-bc,由余弦定理可得cosA,进而求得A, （2)①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得c,代入办+c-。=-bc b,c 可得“，从而得到 △ABC 的周长 ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到sinB,C0sB的值，利用二倍角公式和两 角和的正弦公式计算得到答案， 【小问1详解】 由b+c=Va+bc两边平方，得b2+c2-d=-bc, 由余弦定理得C0SA= 2+c2-ad2-bc-_1 2bc 2e,又4e(0.所以4- 3 【小问2详解】 第16页/供28页 6学科网命组卷网 ①由S.m=bcsin4=bcin3 1 -bc= 2 2 34 2,得bc=2: 6 由sinB=2sinC及正弦定理sinB sinC,得b=2c,所以bc=2c2=2, 所以C=l,b=2,又d=b+c2+bc=7,所以a=V7 所以△ABC的周长为a+b+c=3+V7 ②限据上述分折可知，A=牙。sm= 3, 2,c0sA=-1 2, 由正弦定理sinB=bsinA 2x3 2-V21 Q —一习红—·行以是克有· B 所以cosB=V1-sin'B= 27 7 7,可得 h2a=-2mas-2,2y7-45ow28-w81-2y29-17 -X- 学用如p8+A小-s2ados2a4-45片5.3得 16.如图，在矩 CDEF中，CD=l,DE=2AB分 DE,CF 分别是 p.O 的中点，点分别是对角线 AC,BE上的动点（不包括端点），且CP=B吧=a0<a<V2),将四边形ABCD沿AB翻折，使平 面ABCD⊥平面ABFE. 第17页/供28页 6学科网命组卷网 D B E (1)求证：BD⊥平面AEC: PO (2)求线段 的长（用“表示）： PO POA (3)当线段之的长最小时，求平面 面AEC夹角的余弦值. “与平 【答案】(1)证明见解析 (2)Va2-2a+1(0<a<√2) √6 (3)3· 【解析】 【分析】(1)要证明BD⊥平面AEC,需根据线面垂直判定定理，证明BD垂直于平面AEC内的 两条相交直线由正方形性质可得BD⊥AC,再结合面面垂直的性质证明AE⊥平面ABCD,得到 AE⊥BD,即可满足判定条件 (②)以B为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 CP=BO=a 将点P 的坐标用参 数a表示，通过向量模长公式即可求出 PO 的长度表达式 P≌ P≌ (3)先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的值，确定此时P、 的坐标，再分别 POA AEC 求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值 即为两平面夹角的余弦值： 第18页/供28页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 CDEF CD=1,DE=2 A,B DE,CF 证明：在矩形 中， ,点 分别是 的中点， ABCD和EFBA是全等的正方形，所以 D⊥AC,AE⊥AB 所以四边 和 因为平面ABCD⊥平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,AEc平面ABFE, 所以AE⊥平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以AE⊥BD, ,BD⊥AC AEAC=AAE,ACC AEC 又因为 平面 所以BD⊥平面AEC: 【小问2详解】 以B为原点， BA,BF,BC 所在直线分别为轴、'轴、2轴，建立如图所示的空间直角坐标系， D B F N 则B(0,0,0A,00,E(1,10,F(0,10),C(0,01),D1,0,1) 则CA=(10,-0,CB=(0,0-1）,BE=(11,0). CP=BO=a 因为 第19页/供28页 6学科网6组卷网 顶-++0-受 所P四=2+(2-=-2a+10a同). 所以线段P0的长为Vd-V2a+1(0<a<V2): 【小问3详解】 为P网--2a+1-+. √2 所以当a 2时，线段PQ最短， 此时P,Q分别为线段AC,BE的中点， 220.0-(05 则0-(2）. 设i=(x,,2)是平面P4的一个法向量， n-P0=y-2 z=0 21 2 则 n0=-1x+1 2x+2y=0 令=1 y=z=1 ,则 所以平面P21的一个法向量为i=(,1), 由(1)知，BD=(L,01)为平面AEC的一个法向量， 第20页/共28页 6学科网 命组卷网 n.BD 2 √6 cos<n,BD BD 3x23, √6 所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为3， 17.下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到模型 有棕色内饰求 P(B A (2)该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型. 为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和 内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖出现某种结果的概率越小，奖金金额越高 请判断以上三种结果分别对应几等奖设中奖的奖金数是X,写出X的分布列，并求X的数学期望， 1 【答案】(1)5 (2)抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内 饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额X的分布列： 600 300 150 第21页/共28页 6学科网 命组卷网 4 49 77 25 150 150 E(X)=271 【解析】 【分析】(1)由古典概率计算公式及条件概率公式即可求解： (2)分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算 即可 【小问1详解】 由数表知， P云P-2-号Pa0-8 P()5 【小问2详解】 设事件C:外观和内饰均为同色，事件D:外观内饰都异色，事件E:仅外观或仅内饰同色，依题意， P9)-S+C3tC+C-49:PD)-C-C+CC-24+24484 C 150 C25 30030025: P(E)=CCg+C·C+CgC$+C·C_77 C's 150'则P(E)>P(C)>P(D) 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰 不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额 600,300,150 的可能值为： 奖金额X的分布列： 600 300 150 4 49 77 25 150 150 E(x)=600×4+300×49+150x7=271 奖金额X的期 25 150 150 （元)· 第22页/供28页 命学科网组卷网 18已知角Q(0<a<四的顶点为4，在a的两边上截取MB=1C,连接BC,在线段BC上取一点0， 使得B0-2C0,记B0的中点为D,以0为中心，C,D为顶点作离心率为2的双画线M,以A为圆 ∠BAE=∠BAC 心，AB为半径作圆，与双曲线M左支交于点E(射线AE在∠BAC内部)，则 在 上述作法中，以0为原点，直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，若B(-2,0）,点A在x轴的 上方 (1)求双曲线M的方程； (2)若过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G,点E到直线AG的距离为d。 BE 证明：①d为定值： e∠BE={∠BMC 3 【答案)(1)2 =1 3 (2)①证明见解析；②证明见解析 【解析】 a,b 【分析】(1)根据题设直接求出，即可求出结果； 第23页/共28页 6学科网6组卷网 摇条件得到直线4G的方程为2，设E,≤)则1.2 的距离公式及 3 =|,即可证明结果：②根据条件得到in)∠B1E=sin∠B4G,从而得到 2 ∠BAE=∠EAG 2 再利用几何关系，即可证明结果， 【小问1详解】 x2 y2 设双曲线M的方程为户=1(a>0,b>0)】 由|B0=2C0及B-2,0),可得CL0）,所以a=1, a2+b21+b2 因为双曲线M的离心率为2、所以？==4， ,解得b2=3, 所以双曲线M的方程为x一3-) 【小问2详解】 ①由恩可得B(-2,0),C(1,0) 国为-aC,所以线4G的f为=. 设(6≤-1).则号-答=16-3G-3 所分动=%及. BE=V(x+2)}2+片=V(x+22+3x6-3=V20+1)2=-2x-1, 第24页/共28页 6学科网命组卷网 B2 所以d ,为定值 ②因为A=|A由0得sin2∠BME= AE ,sin∠EAG= d AE IBE=2 因为7=2.所以n<RAh=s加CE4G 2 1 又∠BAE,∠EAG都是锐角，所以21 ∠BAE=∠EAG 所以∠BAC=2∠BAG=2(∠BAE+∠EAG)=3∠BAE,所以2 ∠BAE=∠BAC B DO C3 19已知函数f(-2n(0+曲线y=()在点4a)处的切袋记为. (1)求函数f()的最小值， (2)当1<a<0时，证明：除切点A外，直线4在曲线y=f儿)的下方： (3)设过点A的直线2与直线垂直，上与*轴交点的横坐标分别是方，若0>0，求 2a-x2-x X2一X1的取值范围. 第25页/供28页 6学科网列组卷网 【答案】(1)0(2) 证明：因为fa)=h+a) .版45fa-2-. yk-oo.a4e[e02-o 1+a (()-(a) 1+x1+a F--99et.-9 (1+x)2, 所以当x(,e-)时，F'()>0,故F()在(，e-)上单调递增。 故F()在(，0)上单调递增，即f'(x)在1,0)上单调递增， 而l<a<0,则当-1<x<a时.f'()<f'(a) 则h()<0,故h()在(-l,a)上单调递减： 当a<x<0时，f()>(a,则h()>0,h(y在(a,0)上单调递增， 而当x≥0时，f()≥0>f(a）,此时也有H()>0, 故当x>a时，h()>0即h(在(a,+切)上单调递增， 故（在(，+o)上的最小值为(）m=ha)=0, 他0R-g45 当且仅当x=时等号成立，故除切点A外直线在曲线y=f()的下方 第26页/共28页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】（山）求导，利用导数求()的单调性，进而求最小值即可： a4.片-o小o 求导证明h(x)之h(a)即 可 (3)利用导数的几何意义和点斜式直线方程求出，，进而得到，占，代入化简结合导函数正负得出 单调性即可得解。 【小问1详解】 -0院4四.因-0 因为1+x>0,所以当x(,0)时，（四<0，则(）在-L,0)上单调遥减， 当xe(0,o)时，f()>0,则f(在0，+切)上单调递增， 故当x=0时，f)取最小位，袋小植为0)-1=0 【小问2详解】 略 【小问3详解】 er4-roe-q小+/间，6=7a-fo 所以8+a,x=/a/a+a 第27页/供28页 6学科网 命组卷网 当x≥0时，倒-+x n+>0.f(x)在(0，+o)上单调递增， 所以f(a)>f(o)=,f(a)>0 f(d)ra 2a-x2-五 2a-[Uorora f'(a) [fa+-1+3 所以x2-x j(a)f(a)+a--f(a)" f(a) a [f'(a]+1 [(a)T+i 由(2)可知∫'（女）在(0，e-)上单调递增，在(e-l+o）上单调递减， 所以当a>0时， o] aro'ol网[ 如[剖 第28页/供28页