广东省东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题

东华高级中学 东华松山湖高级中学 2024届高三年级第三次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（    ） A．39 B．40 C．45 D．32 2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知数列满足：，且数列为等差数列，则（    ） A．10 B．40 C．100 D．103 4．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 5. 已知复数，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．设是两个平面，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9．已知函数的最小正周期为，则（     ） A． B．是图象的一个对称中心 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 10．某设备生产的10件产品中有6件一等品，4件二等品，现从中任取4件，记随机变量为取出一等品的件数，随机变量为取出二等品的件数，若取出一件一等品得2分，取出一件二等品得分，随机变量为取出4件产品的总得分，则下列结论中正确的是（    ） A．服从超几何分布 B． C． D． 11．已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的极小值点为 . 13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 14．如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线， 将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分） 在中，角所对的边分别为且． (1)求； (2)若的面积为的平分线交于点且，求的值． 16．（本题15分） 已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个论断：①；②；③平面． (1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明； (2)在（1）的条件下，若，求四棱锥体积的最大值． 17．（本题15分） 某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终学校和学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由学校和学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次． (1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差； (2)环节二，学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后学校代表再从乙箱中抽取题目，已知学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率． 18．（本题17分） 已知常数，设， (1)若，求函数在处的切线方程； (2)是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． (3)求证：当时，对任意，，都有． 19．（本题17分） 已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. (1)求的标准方程. (2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B. ①证明：. ②过分别作的切线， 与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 东华三模试卷 第 4 页