精品解析：山东省日照市经济开发区献唐中学2025-2026学年九年级下学期二模数学试卷

2025-2026学年九年级下学期数学学科学情检测（二） 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．的溶度积约为0.00000000014，将数据0.00000000014用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由几个边长为的小正方体搭成的，将正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图，左视图都不变 B. 主视图，左视图都变 C. 主视图改变，左视图不变 D. 主视图不变，左视图改变 5. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、（且），过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ） ①点、在反比例函数的图象上；②成等腰直角三角形；③；④的值随的增大而增大． A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是______．（写出一个即可） 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为______． 13. 将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 14. 如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 三、解答题（共8道大题，共75分） 16. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从、、、、中选择一个合适的值代入求值． 17. 操作与探究：如图，在中，． （1）动手操作： 用直尺和圆规按要求作图：①作的垂直平分线交于点O；②以点O为圆心长为半径作；③连接并延长交于点D，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母）． （2）猜想证明： 在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与的位置关系，并说明理由； ②判断四边形的形状，并说明理由． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 19. 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 （1）任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． （2）任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 20. 如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向．（参考数据：，，，） （1）求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； （2）购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 21. 如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且，连接交于点． （1）如图1，若，则　 　； （2）如图2，是延长线上一点，连接，且． ①求证：与相切； ②若的半径为，，求的长． 22. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：的亲和同轴二次函数为：． （1）函数的亲和同轴二次函数为 ． （2）若函数（且）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点，分别在二次函数（且）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 23. 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期数学学科学情检测（二） 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．的溶度积约为0.00000000014，将数据0.00000000014用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，解题的关键是熟练掌握“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．” 【详解】解：， 故选：A 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用完全平方公式、平方差公式、同底数幂乘法法则、合并同类项法则逐一判断选项即可. 【详解】解：逐一判断各选项： 对于A选项，根据完全平方公式可得： ∴ A错误. 对于B选项，根据平方差公式可得：，等式左右相等 ∴ B正确. 对于C选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得： ∴ C错误. 对于D选项，与所含相同字母的次数不同，不是同类项，不能合并， ∴ D错误. 4. 如图所示的几何体是由几个边长为的小正方体搭成的，将正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图，左视图都不变 B. 主视图，左视图都变 C. 主视图改变，左视图不变 D. 主视图不变，左视图改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键． 结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化． 【详解】解：将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图都没有发生改变，俯视图的第二层由原来的三个正方形变为两个正方形， 故主视图和左视图都没有发生改变，俯视图改变了， 故选． 5. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵， 根据题意，可列方程：， 故选：B． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程． 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 7. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，从而得到，，利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理构建方程求出，最后在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图过程可知：直线是线段的垂直平分线， 点，在直线上， ，． ，， ，， ． ， ． 在中，． 设， 则． ， 在中，， 解得， ． 在中，． 8. 如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作于点F，证明是等边三角形，得到，进而得到O、D、E共线，求出，然后利用扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于点F， 由题意，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，则O、D、E共线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 9. 如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、（且），过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ） ①点、在反比例函数的图象上；②成等腰直角三角形；③；④的值随的增大而增大． A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ的解析式，得到A，B的坐标可判断②，由P，Q的位置可判断③，画出符合题意的图形，利用数形结合的思想可判断④，从而可得答案． 【详解】解： 点、的横纵坐标的积为 点、在反比例函数的图象上；故①符合题意； 设过点、的直线为： 解得： 直线PQ为： 当时， 当时， 所以： 所以是等腰直角三角形，故②符合题意； 点、（且）， 点、在第一象限，且P，Q不重合， 故③符合题意； ，而PQ在直线上， 如图， 显然是随的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出的取值范围，进而得到符合条件的整数． 【详解】解：长度为，，的三条线段能组成一个三角形， ， 即， 整数的值可以是4（答案不唯一）． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义．把代入，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．再根据根与系数关系即可求出方程的另一个根． 【详解】解：把代入得， 解得：， 而． 所以． 令方程的另一个根为，则， ∴， 故答案为：． 13. 将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 【答案】##155度 【解析】 【分析】过作，先求，再由两直线平行，同位角相等得到，结合求解． 【详解】如图，过作， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 14. 如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得出的度数，，从而得到是等边三角形，根据等边三角形的性质结合正方形的性质即可求得正方形的面积；证明，由等边对等角结合三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：正六边形内接于半径为的， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是正方形， 正方形的面积为，，， ， ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于C，过点作轴于A，由直线求出，在中结合，求出，得出每次平移横、纵坐标增量为和3，推导出，代入得结果． 【详解】解：当时，， ∴设该点即为点B， 过点B作轴于C，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， 过点作轴于A，如图， 在中，，且， ∴， ∴， ∴， 由题意得，第一次平移：平移得到，对应点平移到了， 点平移到，横坐标增加了，纵坐标增加了， ∴每一次平移，图形上所有点的横坐标都增加，纵坐标都增加， ∵初始点的坐标：， 又∵是经过1次平移得到， ∴横坐标：；纵坐标：，即， ∵是经过2次平移得到， ∴横坐标：，纵坐标：，即， 以此类推，是经过次平移得到， ∴，即， 将代入得：横坐标：，纵坐标：， ∴点的坐标为． 【点睛】解题关键是通过直线斜率确定倾斜角，结合直角三角形性质求出平移距离，再通过归纳法推导点的坐标通项公式，是一次函数与平移规律结合的典型题型． 三、解答题（共8道大题，共75分） 16. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从、、、、中选择一个合适的值代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式（或当时，原式）． 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先对括号内通分相减，再将除法化为乘法约分化简，根据分式有意义的条件，选择合适的值代入计算求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 由题意可知，分式有意义的条件是所有分母不为零且除式不为零，故且， 解得且， 当时，原式，当时，原式． 17. 操作与探究：如图，在中，． （1）动手操作： 用直尺和圆规按要求作图：①作的垂直平分线交于点O；②以点O为圆心长为半径作；③连接并延长交于点D，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母）． （2）猜想证明： 在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与的位置关系，并说明理由； ②判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①点A，B在上，理由见解析；②四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目的操作步骤画图即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质可得出，即可得证； ②根据，，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【小问1详解】 解：如图即为所求． 【小问2详解】 解：①点A，B在上． 理由如下：∵垂直平分于点O， ∴点O是的中点， ∴． 在中，，是斜边上的中线， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴点A，B在上． ②四边形是矩形． 理由如下：由作图可知，点D在上， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5， （2）图见解析， （3）甲 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； 【小问2详解】 解：补全频数直方图如图， ； 【小问3详解】 解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； 【小问4详解】 解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 19. 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 （1）任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． （2）任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】（1）快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； （2）当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； 【小问2详解】 解：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 20. 如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向．（参考数据：，，，） （1）求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； （2）购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线之后结合题目所给的参考数据用三角函数求出对应线段长度即可， （2）算出线段长，用路程除以速度算出时间，将总时间与比较大小即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， ， ， 由题意可得：， ， ， ， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． 【小问2详解】 根据题意可得， ， ， 派送员能在内到达驿站Q． 21. 如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且，连接交于点． （1）如图1，若，则　 　； （2）如图2，是延长线上一点，连接，且． ①求证：与相切； ②若的半径为，，求的长． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角，得到，再利用等弧所对的圆周角相等，得到，然后利用三角形外角的性质，即可求出的度数； （2）①连接，根据等边对等角的性质，得出，再利用，得到，即可证明结论； ②根据等边对等角的性质，得出，再利用三角形内角和定理，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到，，即可求出的长． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ， 点在上， 是的切线； ②， ， ， ， ， ，， ， 由①知，， ， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理等知识，灵活掌握相关知识点解决问题是解题关键． 22. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：的亲和同轴二次函数为：． （1）函数的亲和同轴二次函数为 ． （2）若函数（且）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点，分别在二次函数（且）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时，；见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解； （2）求出函数（且）的亲和同轴二次函数，利用配方或者顶点坐标公式得到顶点的纵坐标值等于5，解方程； （3）先求出的函数解析式，再将，分别代入、的函数解析式得到、，进而可得，再根据与零的关系分类讨论，分别解不等式． 【小问1详解】 解：∵中，对称轴为直线，， ∴的亲和同轴二次函数中，对称轴为直线，， ∴的亲和同轴二次函数为； 【小问2详解】 解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为； 利用配方或者顶点坐标公式得，， 解得， 函数有最大值， ； 【小问3详解】 解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为， 把，分别代入，可得，，， 则， ， ， ①当时，，即，， 解得：或； ②当时，，即，， 解得：； ③当时，，即，， 解得：或； 又∵， 所以综上所述，当时，；当时，；当时，． 23. 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）5 （2）的周长为（3）可以，的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，，设，则，根据勾股定理得到，解方程即可． （2）设，则，得到，解得，则，证明，求得，，解答即可； （3）设，，则，，，设，则，则，解得，则，仿照第二问的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为； （3）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $