精品解析：山东省德州市平原县2026年九年级第二次练兵考试九年级数学试题

2025—2026学年第二次中考模拟检测 九年级数学试题 本试题分选择题、40分；非选择题、110分；全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选均计零分．） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 3. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法，根据可得，再写成的形式即可，其中． 【详解】解：， 故选B． 4. 将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：由图可知，分成三段的长分别为3，4，5，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得A选项能围成三角形； B选项：由图可知，分成三段的长分别为2，6，4，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得B选项无法围成三角形； C选项：由图可知，分成四段的长分别为3，3，3，3，可以围成菱形； D选项：由图可知，分成四段的长分别为2，4，2，4，可以围成平行四边形． 5. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是非金属元素（硅、磷是非金属元素）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 钠 镁 铝 硅 磷 钠 钠，镁 钠，铝 钠，硅 钠，磷 镁 镁，钠 镁，铝 镁，硅 镁，磷 铝 铝，钠 铝，镁 铝，硅 铝，磷 硅 硅，钠 硅，镁 硅，铝 硅，磷 磷 磷，钠 磷，镁 磷，铝 磷，硅 由表格可得，共有20种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是非金属元素的情况有2种， ∴这两种元素恰好都是非金属元素的概率为． 6. 我国某颗遥感卫星在太空中执行数据传输任务，其信号传输速率恒定，地面测控站记录了几组传输时间与传输数据量的数据如下表．已知传输时间（单位：）与传输数据量（单位：）满足某种函数关系，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 传输时间 传输数据量 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的实际问题．由传输速率恒定可知，传输数据量与传输时间成正比例关系，设出正比例函数解析式，代入表中数据计算比例系数即可得到函数关系式． 【详解】解：∵信号传输速率恒定， ∴与成正比例函数关系， 设， 将，代入解析式得，解得， 验证其余数据：当时， ，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴与的函数关系式为． 7. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交边于点D，交边于点E，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意中尺规作图可知是的垂直平分线，从而，再由，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得出，从而利用补角的定义得出结果． 【详解】由作图痕迹可知，为的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. 点离地面最高为 D. 点离地面时，摩天轮运动了 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小，按此规律循环变化，故选项A错误； ，，摩天轮的直径为，故选项B错误； 点离地面的高度最高为，故选项C正确； 点离地面时，摩天轮运动了的时间点有很多个，故选项D错误． 10. 如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每题填对得4分． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 14. 如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 化简求值：，其中，是不等式组的正整数解． 【答案】化简结果，求值结果 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算法则化简分式，然后解不等式组并确定合适的a的值，代入求值即可． 【详解】解： ； 解不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为；； ∴该不等式组的正整数解为， ∴当时，原式． 17. 某市计划举办“大美山河，健康满格”——2026环湖公里健康跑，赛道沿途设有个补给站，分别位于公里、公里、公里、公里、公里、公里处．本届比赛预计有名选手参赛，为合理估算饮用水的需求量，随机调查了名上届比赛选手，统计每名选手全程取用饮用水的总瓶数（每站最多取1瓶），结果如统计表所示；同时统计了他们在个补给站的取水量占取水总量的比例，结果如统计图所示． 选手全程取用饮用水统计表 用水量 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 人数（人） 各补给站取水量占比统计图 请回答下列问题： （1）每位选手在比赛中平均取用多少瓶水； （2）组委会决定在估算数量的基础上多准备作为安全余量，请计算本次活动一共需要准备多少瓶水？公里补给站应准备多少瓶水？ （3）观察取水人数的变化规律，结合10公里健康跑的比赛过程，写一条合理建议，帮助组委会科学安排补给． 【答案】（1）每位选手在比赛中平均取用瓶水 （2）本次活动一共需要准备瓶水；公里补给站应准备瓶水 （3）公里补给站取水人数最多，建议多安排志愿者组织取水，避免拥堵 【解析】 【分析】（1）用样本估计总体即可求解； （2）先算出总备水量，再根据取水占比求出结论即可； （3）言之有理即可. 【小问1详解】 解：（瓶）. 答：每位选手在比赛中平均取用瓶水. 【小问2详解】 解：， 总备水量： ， 公里补给站备水量：； 答：本次活动一共需要准备瓶水；公里补给站应准备瓶水. 【小问3详解】 建议：公里补给站取水人数最多，建议多安排志愿者组织取水，避免拥堵. 建议：公里、公里、公里补给站取水量占比较大，建议多准备一些水在这些补给站. （言之有理即可） 18. 如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为． 【解析】 【分析】过点B作于点F，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，利用三角形内角和定理求出，在中，解直角三角形求出，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点F． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． 答：的长约为． 19. 为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． （1）求两种图书的单价； （2）该校计划购买两种图书共本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1） 种图书单价为元，种图书单价为元 （2） 购买种图书本，种图书本 【解析】 【分析】（）设种图书单价为元，种图书单价为元，根据购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元，可列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （）设购买种图书本，则购买种图书本，根据种图书的数量不超过种图书数量的一半，可列出一元一次不等式，解不等式得到的取值范围，再根据总费用单价数量，结合的取值范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种图书单价为元，种图书单价为元， 根据题意，列方程组得：， 解得：， 答：种图书单价为元，种图书单价为元； 【小问2详解】 解：设购买种图书本，则购买种图书本，总费用为元， 根据题意，列不等式：， 解得， ∵是正整数， ∴， 总费用表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最小， 此时种图书数量为(本)， (元)， 答：购买种图书本，种图书本时所需费用最少． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． （1）求的值． （2）若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 【答案】（1）12 （2）；16 【解析】 【分析】（1）设点，点，根据题意，得，，求解即可； （2）根据反比例函数解析式，确定P、Q的坐标，利用待定系数法，分割法求解即可； 【小问1详解】 解：设点，点， 的面积为24，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：根据题意，得反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G， ∴， ， 根据反比例函数的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当点在的延长线上，过点作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点，且，若的半径为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，得到平分，求出，则，即可解答； （2）连接，过点作于，交于点，推导出四边形是矩形，，，得到，求出，得到，则，继而根据求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图 与相切于点， ， ∵， 平分， ∴． ， ． 在中，， ； 【小问2详解】 解：连接，过点作于，交于点，如图 ． 是的切线， ． ， 四边形是矩形，，， ，， ． ， ， 又， ， 在中，． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，已知点，作点关于点的对称点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设拋物线在两点之间的部分（含两点）为图象，当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而求得，根据点是点关于点的对称点，进而利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据解析式得出顶点坐标，根据，可得图象的最小值为，进而比较的大小，分情况讨论，结合题意列出关于的方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得 ， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两点关于该抛物线的对称轴对称，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为， ∴， 解得：， ∴点横坐标为， ∴，即． ∵点是点关于点的对称点， 设， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 即当时，最小值为，， ∵点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，， ∴，，图象的最小值为， ∴， 当时，即时，， ∴当时，最大值为， 同理可得，当时，最大值为， 依题意，当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得： 或（舍去）， 综上所述，或． 23. 综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： （1）线段AP与BE之间的数量关系是________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）四边形是菱形，，得到是等边三角形，平行线切分的小三角形也是等边三角形，等边减等边，得到结果； （2）连接，由菱形的对称性，易得，所以； 由，得，由（1）知是等边三角形，，可证，所以，再证，得，减去公共角，得到最终结果：； （3）连接，交于点O，分两种情况：①当点P在上时，②当点P在上时，分别求解即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 四边形是菱形，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，如下图： 四边形是菱形，，， 是等边三角形， 是对角线， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 也是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：连接，交于点O， 由（2）可知：是等边三角形，， 四边形是菱形， ， ， ， ， 分两种情况： ①点P在上，如下图： ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， ， ． ②点P在上，如下图： ， 由（1）可知：， ， 由（2）可知，， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二次中考模拟检测 九年级数学试题 本试题分选择题、40分；非选择题、110分；全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选均计零分．） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 4. 将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是非金属元素（硅、磷是非金属元素）的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 我国某颗遥感卫星在太空中执行数据传输任务，其信号传输速率恒定，地面测控站记录了几组传输时间与传输数据量的数据如下表．已知传输时间（单位：）与传输数据量（单位：）满足某种函数关系，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 传输时间 传输数据量 A. B. C. D. 7. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交边于点D，交边于点E，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. 点离地面最高为 D. 点离地面时，摩天轮运动了 10. 如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每题填对得4分． 11. 分解因式：_______． 12. 书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 14. 如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 化简求值：，其中，是不等式组的正整数解． 17. 某市计划举办“大美山河，健康满格”——2026环湖公里健康跑，赛道沿途设有个补给站，分别位于公里、公里、公里、公里、公里、公里处．本届比赛预计有名选手参赛，为合理估算饮用水的需求量，随机调查了名上届比赛选手，统计每名选手全程取用饮用水的总瓶数（每站最多取1瓶），结果如统计表所示；同时统计了他们在个补给站的取水量占取水总量的比例，结果如统计图所示． 选手全程取用饮用水统计表 用水量 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 人数（人） 各补给站取水量占比统计图 请回答下列问题： （1）每位选手在比赛中平均取用多少瓶水； （2）组委会决定在估算数量的基础上多准备作为安全余量，请计算本次活动一共需要准备多少瓶水？公里补给站应准备多少瓶水？ （3）观察取水人数的变化规律，结合10公里健康跑的比赛过程，写一条合理建议，帮助组委会科学安排补给． 18. 如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 19. 为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． （1）求两种图书的单价； （2）该校计划购买两种图书共本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． （1）求的值． （2）若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 21. 已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当点在的延长线上，过点作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点，且，若的半径为，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，已知点，作点关于点的对称点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设拋物线在两点之间的部分（含两点）为图象，当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 23. 综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： （1）线段AP与BE之间的数量关系是________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $