第5节　空间向量的概念与运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念与运算”专题，依据新课标“理解概念、掌握定理及运算”的要求，覆盖线性运算、共线共面定理、数量积应用等核心考点。通过分析近五年高考真题，明确数量积求夹角、长度、垂直等高频考点占比，归纳坐标运算、向量分解等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“知识体系构建+真题变式训练+素养导向”，如以2026年山东济南模拟题为例，通过一题多解培养数学思维，总结共线共面判定“系数和为1”、数量积应用“三步法”等规律，帮助学生掌握坐标法解题技巧，提升空间观念与运算能力。教师可依托此课件精准定位学生薄弱点，助力高效复习冲刺。

第5节　空间向量的概念与运算 课标要求 1. 理解（课标变化：了解→理解）空间向量的概念，掌握（课标变化：了解→掌握）空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或 重合 共面向量 平行于 ⁠的向量 共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 同一个平面　 高中总复习·数学 目 录 概念 语言描述 共面向量定理 如果两个向量a，b ，那么向量p与向量a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 p＝xa＋yb 空间向量基本 定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个 空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 得p＝ ⁠. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 ＝x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝ ⁠ 不共线　 xa＋yb＋zc　 1　 高中总复习·数学 目 录 2. 空间向量的数量积及坐标运算 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝ ⁠； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝ . ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 高中总复习·数学 目 录 （2）空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） 数量积 a·b＝ ⁠ a1b1＋a2b2＋a3b3　 高中总复习·数学 目 录 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0） 垂直 a⊥b⇔ ＝0（a≠0，b≠0） 夹角 公式 cos ＜a，b＞＝ a1b1＋a2b2＋a3b3　 高中总复习·数学 目 录 空间中三点共线、四点共面的充要条件 （1）在平面中A，B，C三点共线⇔ ＝x ＋y （其中x＋y＝ 1），O为平面内任意一点； （2）在空间中P，A，B，C四点共面⇔ ＝x ＋y ＋z （其中 x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间中任意两个非零向量a，b共面. （　√　） （2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向 量. （　×　） （3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0. （　×　） （4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）， b，c∈R. （　√　） √ × × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），则 a·（b＋c）＝（　　） A. 6 B. 7 C. 9 D. 13 √ 解析： 　因为a＝（2，－3，1），b＋c＝（2，0，5），所以a·（b＋ c）＝2×2＋（－3）×0＋1×5＝9. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），则｜a＋b｜＝ （　　） A. 15 B. C. 17 D. √ 解析： 　a＋b＝（1，1，0）＋（0，－1，4）＝（1，0，4），所以｜ a＋b｜＝ ＝ .故选D. 高中总复习·数学 目 录 4. 如图，在三棱锥O-ABC中， ＝ ， ＝ ，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ ⁠. 解析： ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ （ － ）－ ＋ ＝ － － ＝ a－ b－ c. a－ b－ c　 高中总复习·数学 目 录 5. 在△ABC中，已知 ＝（2，4，0）， ＝（－1，3，0），则 ∠ABC＝ ⁠. 解析： cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ＝ ，因为＜ ， ＞∈（0，π），所以＜ ， ＞＝ ， 所以∠ABC＝π－ ＝ . 　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 空间向量的线性运算（基础自学过关） 1. 在空间四边形ABCD中， ＝（－3，5，2）， ＝（－7，－1，－ 4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则 的坐标为（　　） A. （2，3，3） B. （－2，－3，－3） C. （5，－2，1） D. （－5，2，－1） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点， 所以 ＝ － ， ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）.所以 ＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ ×[（3，－ 5，－2）＋（－7，－1，－4）]＝ ×（－4，－6，－6）＝（－2，－3， －3）.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 〔多选〕（2026·山东济南模拟）如图所示，在四面体OABC中，点M 是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN， ＝ ，设 ＝a， ＝b， ＝c，则下列等式成立的是（　　） A. ＝ b－ c B. ＝ b＋ c－a C. ＝ b－ c－ a D. ＝ a＋ b＋ c √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 对于A，利用向量的平行四边形法则， ＝ ＋ ＝ b＋ c，故A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得 ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ － ＝ b＋ c－a，故B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝ 3PN，所以 ＝ ＝ ×（ b＋ c－a）＝ b＋ c－ a，故C错 误；对于D， ＝ ＋ ＝a＋ b＋ c－ a＝ a＋ b＋ c，故D正 确.故选B、D. 高中总复习·数学 目 录 3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简 － － ＝ 　 　；用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 ＋ ⁠. 　 ＋ ＋ 　 高中总复习·数学 目 录 解析： － － ＝ － （ ＋ ）＝ － ＝ ＋ ＝ .因为 ＝ ＝ （ ＋ ），所以 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ . 高中总复习·数学 目 录 空间向量线性运算中的三个关键点 高中总复习·数学 目 录 共线、共面向量定理的应用（师生共研过关） 〔一题多解〕已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点 O，若点M满足 ＝ （ ＋ ＋ ）. （1）判断 ， ， 三个向量是否共面； 解： 由题知 ＋ ＋ ＝3 ， 所以 － ＝（ － ）＋（ － ）， 即 ＝ ＋ ＝－ － ，所以 ， ， 共面. 高中总复习·数学 目 录 （2）判断点M是否在平面ABC内. 解： 法一　由（1）知， ， ， 共面且过同一点M，所以M， A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 法二　因为 ＝ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，且 ＋ ＋ ＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 高中总复习·数学 目 录 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）下列命题正确的是（　C　） A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B. 向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C. 若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0 D. 若a，b，c共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得a＝xb＋yc C 高中总复习·数学 目 录 解析： 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线， 故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所 在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向 量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线， 则存在无数个实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不 存在实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 （2）若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线， 则m＋n＝（　A　） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 A 高中总复习·数学 目 录 解析：∵ ＝（3，－1，1）， ＝（m＋1，n－2，－2），且A， B，C三点共线，∴存在实数λ，使得 ＝λ ，即（m＋1，n－2，－ 2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴ 解得 ∴m＋n＝－3. 高中总复习·数学 目 录 （3）已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设 P为空间中任意一点，若 ＝6 －4 ＋λ ，则λ＝ ⁠. 解析： ＝6 －4 ＋λ ，即 － ＝6 －4 ＋λ ，整理 得 ＝6 －3 ＋λ ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点 均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. －2　 高中总复习·数学 目 录 空间向量数量积的应用（师生共研过关） 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的 正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. 高中总复习·数学 目 录 （1）求线段AC1的长； 解： 设 ＝a， ＝b， ＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1× cos 120° ＝－1. 因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c， 所以｜ ｜＝｜a＋b＋c｜＝ ＝ ＝ ＝ ，所以线段AC1的长为 . 高中总复习·数学 目 录 （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； 解：因为 ＝a＋b＋c， ＝b－c， 所以 · ＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1 －4＝－2， ｜ ｜＝｜b－c｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 （3）求证：AA1⊥BD. 解：证明：因为 ＝c， ＝b－a， 所以 · ＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即 ⊥ ， 所以AA1⊥BD. 高中总复习·数学 目 录 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求两 异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问 题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问 题转化为向量数量积的计算问题. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）已知A（－1，2，1），B（－1，5，4），C（1，3，4）， 则 在 上的投影向量为（　A　） A. （0，2，2） B. （2，0，2） C. （2，2，0） D. （0，0，2） 解析： 因为 ＝（2，1，3）， ＝（0，3，3），所以 · ＝0＋ 1×3＋3×3＝12.因为｜ ｜＝3 ，｜ ｜＝ ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以 在 上的投影向量为｜ ｜ cos ＜ ， ＞· ＝ × × ＝ ＝（0，2，2）. A 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·南京六校第一次联考）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝ 1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.则ax＋by＋cz的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析： 构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），则由题设知｜α｜ 2＝1，｜β｜2＝1.令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴ cos θ＝ ＝α·β＝ax＋by＋cz.∵－1≤ cos θ≤1，∴－1≤ax＋by＋cz≤1. [－ 1，1]　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·湖北武汉二调）在三棱柱ABC-A1B1C1中，设 ＝a， ＝ b， ＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则 ＝（　　） A. a＋ b＋c B. a－ b＋c C. a－ b＋ c D. a＋ b＋c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　在三棱柱ABC-A1B1C1中， ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝ a－ b＋c.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 2. 已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若 a，b，c共面，则λ＝（　　） A. 9 B. －9 C. －3 D. 3 √ 解析： 　由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y （－1，2，3），∴ 解得λ＝－9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ， 若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° √ 解析： 由于a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－ a·c＝7，即a·c＝－7.又因为｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜ a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面 的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且 EC＝2PE，若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝（　　） A. 1 B. 2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵EC＝2PE，∴ ＝ ，∴ ＝ － ＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ ＋ （ － ）－ ＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ ＋ －（ － ）＝ － ＋ ， ∴x＝1，y＝－ ，z＝ ，∴x＋y＋z＝1，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则 · ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面 ABC，∴PO⊥AO，∴ · ＝0，｜AO｜＝ ·｜AB｜· sin 60°＝ ，故 · ＝ ·（ ＋ ）＝｜ ｜2＝｜ ｜2－｜ ｜2＝4 － ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 若p与a，b共面，则p＝xa＋yb B. 若 ＝x ＋y ，则P，M，A，B共面 C. 若P，M，A，B共面，则 ＝x ＋y D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 ＝λ ＋μ （ ， 不共 线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　A项，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立； B正确；C项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则 ＝x ＋ y 不成立；D项，若P，A，B，C为空间四点，且有 ＝λ ＋μ （ ， 不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得 － ＝λ（ － ），即 ＝λ ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线， 则xy＝ ⁠. 解析：由题意知 ＝（3，4，－8）， ＝（x－1，y＋2，4），由三 点共线得向量 与 共线，即 ＝ ＝ ，解得x＝－ ，y＝－4， ∴xy＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A（1，0，2），B（0，2，1）， 点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么｜ ｜的最小值 是 ⁠. 　 解析：设C（x，0，0），D（0，y，0），因为A（1，0，2），B（0， 2，1），所以 ＝（－1，y，－2）， ＝（x，－2，－1）.因为 AD⊥BC，所以 · ＝－x－2y＋2＝0，即x＋2y＝2.因为 ＝（－ x，y，0），所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ≥ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3， 0，4），设a＝ ，b＝ . （1）若｜c｜＝3，且c∥ ，求c； 解： ∵c∥ ，∴c＝m ＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m， 2m）， ∴｜c｜＝ ＝3｜m｜＝3， ∴m＝±1， ∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求a与b夹角的余弦值； 解： ∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）， ∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1， 又｜a｜＝ ＝ ， ｜b｜＝ ＝ ， ∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ， ∴a与b夹角的余弦值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 解： ∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4）， ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－ ， 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·浙江宁波模拟）如图，在一个120°的二面角的棱上有两点 A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂 直，若AB＝ ，AC＝1，BD＝2，则CD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 √ 解析： ∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝ ＋ ＋ ＋ 2 · ＋2 · ＋2 · ，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ · ＝ 0， · ＝0，又 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （180°－120°）＝ ×1×2＝1.∴ ＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴｜ ｜＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1 上运动，则 · 的取值范围为　（　　） A. ［0， ］ B. [0，1] C. ［ ，1］ D. ［ ，1］ √ 解析： 　由题意，设 ＝λ ，其中λ∈[0，1]， · ＝ ·（ ＋ ）＝ ·（ ＋λ ）＝ ＋λ · ＝ ＋λ ·（ － ）＝（1－λ） ＝1－λ∈[0，1].因此 · 的取值范围是[0，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是 （　　） A. （ ＋ ＋ ）2＝3 B. ·（ － ）＝0 C. 向量 与向量 的夹角是60° D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜ · · ｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由向量的加法运算得到 ＋ ＋ ＝ ，∵A1C2＝ 3A1 ，∴ ＝3 ，故A正确；∵ － ＝ ， AB1⊥A1C，∴ · ＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形， ∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为 60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1， ∴ · ＝0，故｜ · · ｜＝0，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足 ＝x ＋y ＋ （1－x－y） ，则｜ ｜的最小值是 　 　. 解析：因为 ＝x ＋y ＋（1－x－y） ，由共面向量定理可 知，E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以｜ ｜的最 小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是 边长为 的等边三角形，则 ＝ ×（ ）2× sin ＝ ，S△ACD ＝ ×1×1＝ ，由等积法可得 ＝ ，所以 × d ＝ × ×1，解得d＝ ，所以｜ ｜的最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正 四面体ABCD中其所在棱的中点，设 ＝a， ＝b， ＝c，试用向 量法解决下列问题： （1）求 的模； 解： 因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G， H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点， ＝a， ＝b， ＝c， 所以 ＝ ＝ （ － ）＝ （b－a）， ＝ ＝ c， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝－ （b－a）－a＋ c＝ （c－a－b）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 所以｜ ｜2＝ （c－a－b）2＝ （c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c） ＝ （1＋1＋1－2×1×1× cos 60°＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos 60°）＝ ，故｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求 与 的夹角. 解： 在正四面体ABCD中， ＝ （c－a－ b），｜ ｜＝ . 同理， ＝ （b＋c－a），｜ ｜＝ . 所以 cos ＜ ， ＞＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ＝ ＝ [（c－a）2－b2]＝ （c2＋a2－2c·a－ b2）＝ （1＋1－2×1×1× cos 60°－1）＝0， 所以 与 的夹角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1）， 其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　） A. 向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关） B. u·v的最大值为 C. u与v的夹角的最大值为 D. ad＋bc的最大值为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）（t ＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则 cos α＝ ＝ ＝ ， ∴α＝ ，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值 （与c，d无关），故A正 确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤ ＋ ＝ ＝1， 当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴ cos ＜u，v＞＝ ＝ ≥－ ＝－ ，∴u与v的夹角的最大值为 ，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤ ＋ ＝ ＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大值为1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $