空间向量的概念及运算课件——2027届高三数学复习一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念及运算”专题，依据高考评价体系梳理了空间向量的线性运算、共线共面定理、数量积及坐标表示三大核心考点，通过真题与模拟题分析明确线性运算（30%）、数量积应用（45%）的高频考查权重，归纳出平行六面体向量表示、共面证明等常考题型。 课件亮点在于“考点清单+命题点突破+真题跟踪”的备考体系，如以正四面体数量积求夹角为例，详解“基底法表示向量—数量积公式应用—夹角计算”三步法，培养学生的空间观念和推理能力。设“学霸笔记”提炼共线共面证明技巧，通过自主诊断与分层训练，帮助学生掌握答题逻辑，教师可借此实现考点精准突破，提升复习效率。

第五节　空间向量的概念及运算 1 知识清单 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有________和________的量 相等向量 方向________且模________的向量 相反向量 长度________而方向________的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或________的向量 共面向量 平行于___________的向量 大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 返回导航 2 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x，y)，使p＝________． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．{a，b，c}叫做空间的一个基底． a＝λb 唯一 xa＋yb xa＋yb＋zc 返回导航 3 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝______________． |a||b|cos 〈a，b〉 返回导航 4 (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．   向量表示 坐标表示 数量积 a·b ________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ________________ 模 |a| ________________ 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 返回导航 5 【常用结论】 1．空间向量基本定理 (1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 返回导航 6 2．证明空间任意三点共线的方法 对空间任意三点，P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)＝λ (λ∈R)． (2)对空间任一点O，＝ +t (t∈R)． (3)对空间任一点O，＝x+y (x＋y＝1)． 返回导航 7 3．证明空间任意四点共面的方法 对空间任意四点P，M，A，B除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)＝x+y (x，y∈R)． (2)对空间任一点O，＝+x+y (x，y∈R)． 返回导航 8 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　) (2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.(　　) (3)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　) (4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有 + + +＝0. (　　) √ × × √ 返回导航 9 2．(人教A版选修一P10T5)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A.－a+b＋c B．－a-b＋c C.a-b＋c D．a+b＋c 答案：A 返回导航 10 解析：平行六面体ABCD­A1B1C1D1中， ＝＝c＋(－a＋b)＝－＋c.故选A. 返回导航 11 3．(人教A版选修一P15习题T2)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(　　) A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c 答案：C 返回导航 12 解析：因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面．对于A，因为b＝(b＋c)＋(b－c)，所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B，同理可得，向量a，a＋b，a－b共面；对于C，若a＋b，a－b，c共面，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，则a，b，c共面，与向量a，b，c不共面矛盾，所以a＋b，a－b，c不共面；对于D，因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面．故选C. 返回导航 13 4．(人教A版选修一P22练习T2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝________． 答案： 解析：由题意a⊥b，得a·b＝2×(－4)＋2×(－1)＋3x＝－8－2＋3x＝3x－10＝0，解得x＝. 返回导航 14 命题点一　空间向量的线性运算 例1 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a-b＋c B．a+b＋c C．－a-b＋c D．－a+b＋c 答案：D 返回导航 15 解析：因为M为A1C1与B1D1的交点， 所以 ＝－＋c.故选D. 返回导航 16 学霸笔记：用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来． 返回导航 17 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P15T4)如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用基底{a，b，c}表示向量， . 返回导航 18 答案：如图， ＝b＋ ＝b＋＋] ＝b＋， ＝b＋a＋＝b＋a＋(c－b)＝b＋a＋． 返回导航 19 命题点二　共线、共面向量定理的应用 例2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝ + + (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 返回导航 20 答案：(1)共面，理由如下：∵， ∴3，∴＝＋， ∴，∴共面． (2)由(1)可知共面，且共过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，∴点M在平面ABC内． 返回导航 21 学霸笔记： 返回导航 22 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P6T5)如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心．求下列各式中x，y的值． (1)＝x(+ +)； (2)＝ +x+y； (3)＝ +x+y 返回导航 23 答案：(1)∵，∴x＝1. (2) ∴x＝y＝. (3)，∴x＝y＝. 返回导航 24 命题点三　空间向量的数量积及其应用 例1 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中所在棱的中点，设 a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 返回导航 25 答案：(1)因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且 ＝c，可得 ＝－ ＝－，因为正四面体ABCD的棱长为1， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝a·c＝b·c＝，可得2＝2 ＝·c ＝，即＝，所以EF的长为. 返回导航 26 (2)由题意得 ＝－ ＝－， 因此(a＋b－c)·(a－b－c) ＝(a2－b2＋c2－2a·c)＝＝0， 即⊥，即与的夹角为90°. 返回导航 27 学霸笔记：(1)求夹角：设向量，夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)：利用公式2＝，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (3)解决垂直问题：利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 返回导航 28 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P10习题T7)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a. (1)求A′B和B′C的夹角； (2)求证：A′B⊥AC′. 返回导航 29 答案：(1)， ∴＝· ＝＝a2. 又＝a，＝a， ∴cos 〈〉＝， ∴A′B和B′C的夹角为60°. 返回导航 30 (2)证明：， ∴＝· ＝ ＝a2－a2＝0， ∴⊥，∴A′B⊥AC′. 返回导航 31 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．(2026·青岛模拟)已知空间两点A(1，－1，－2)，B(3，0，－4)，向量c＝(－2，2m－1，2)满足c∥，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 解析：已知A(1，－1，－2)，B(3，0，－4)，则＝(2，1，－2)，因为c＝(－2，2m－1，2)，满足c∥，所以，解得m＝0.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 2．已知向量a＝(1，2，2)，b＝(－2，1，1)，则a在b上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：向量a在向量b上的投影向量为(－2，1，1)＝. 故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 3．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2，1，－1)，Q(3，－2，0)，若点M与点P关于平面Oxz对称，则＝(　　) A．(－3，2，1) B．(3，－2，－1) C．(－1，1，1) D．(－1，1，－1) 答案：D 解析：因为点M与点P关于平面Oxz对称且P(2，1，－1)，所以点M(2，－1，－1)，又Q(3，－2，0)，所以＝(2，－1，－1)－(3，－2，0)＝(－1，1，－1)．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 4．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别为AB，A1C1的中点，若＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A.＋c B．－＋c C．＋c D．－＋c 答案：B 解析：＋c.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 5．(2026·成都模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝c.若点P满足 ＋kc，且点P在平面A1BC内，则k＝(　　) A．　　　B． C．　　　D．1 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 解析：因为＋kc，且点P在平面A1BC内，根据共面向量定理的推论，若空间四点P，M，N，Q共面，点O为空间任意一点，则，且x＋y＋z＝1，＋k＝1，解得k＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 6．已知向量a＝(2，λ，1)，b＝(1，－1，－2)，且向量a与b夹角的余弦值为，则λ的值为(　　) A．－5 B．－ C． D．－或 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：因为a＝(2，λ，1)，b＝(1，－1，－2)， 所以|a|＝＝，a·b＝－λ，又向量a与b夹角的余弦值为， 所以cos 〈a，b〉＝，解得λ＝－.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 7．(2026·亳州模拟)已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足，则(　　) A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：因为，所以，即＝4－3，故 所以P，B，C，D四点共面．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 8．如图所示，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，点E满足 ，若，则x－2y－z＝(　　) A．－ B．2 C．0 D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：如题图，由 ＝，而，且不共面，所以x＝1，y＝－，所以x－2y－z＝1－2×－＝2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 9．已知空间向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，则下列选项中正确的是(　　) A．当a⊥b时，x＝3 B．当a∥b时，x＝－4 C．当x＝－1时，|a＋b|＝ D．当x＝4时，cos 〈a，b〉＝ 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：对于A，当a⊥b时，2×(－4)＋(－1)×2＋2x＝0，解得x＝5，A错误；对于B，当a∥b时，a＝λb，即解得B正确；对于C，当x＝－1时，则有a＋b＝(－2，1，1)，|a＋b|＝，C正确；对于D，当x＝4时，cos 〈a，b〉＝，D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 10． (2026·新乡模拟)如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A． B． C．＝ D． 答案：ABC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：对于A，因为，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，因为＝，故C正确；对于D，因为≠，故D错误．故选ABC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 三、填空题(每小题5分，共10分) 11．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(1，0，2)，若ka＋b与ka－2b互相垂直，则k＝________． 答案：－2或 解析：因为a＝(1，1，0)，b＝(1，0，2)，故ka＋b＝(k＋1，k，2)，ka－2b＝(k－2，k，－4)，若ka＋b与ka－2b互相垂直，则(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 12．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为2，E，F分别是BC，A1C1的中点，则EF的长为________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析： 2 ＝2＝ ×4＋0＝5，所以EF＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 四、解答题(共28分) 13．(13分)已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(2，－1，4)，c＝(x，5，2)． (1)若a⊥c，求x； (2)设|d|＝3，d∥a，求d； (3)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 答案：(1)由a⊥c，所以a·c＝2x－2×5＋1×2＝0，解得x＝4. (2)由d∥a，所以存在实数λ，使得d＝λa，即d＝λ(2，－2，1)＝(2λ，－2λ，λ)，又因为|d|＝3，所以|d|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，当λ＝1时，d＝(2，－2，1)，当λ＝－1时，d＝(－2，2，－1)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 (3)由向量c与向量a，b共面，存在有序实数对(λ，μ)，使得c＝λa＋μb， 所以c＝λa＋μb＝λ(2，－2，1)＋μ(2，－1，4)＝(2λ＋2μ，－2λ－μ，λ＋4μ)＝(x，5，2)，所以解得所以x＝－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 14．(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，A1A＝2，＝c，M为CC1的中点． (1)用空间的一个基底{a，b，c}表示； (2)求，异面直线DM与A1C所成角的余弦值； (3)求证：A1C⊥BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 答案：(1)； ＝－c＋a＋b＝a＋b－c. (2)2＝2＝a2＋a·c＋2＝1＋1×2×cos 60°＋×4＝3，故＝. 2＝(a＋b－c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝1＋1＋4＋0－2×1－2×1＝2，故＝. ＝·(a＋b－c)＝1＋0－1＋×4＝－1，所以异面直线DM与A1C所成角的余弦值为＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 (3)证明：因为＝(a＋b－c)·(b－a) ＝a·b－a2＋b2－a·b－b·c＋a·c＝b2－a2－b·c＋a·c ＝1－1－1＋1＝0， 所以A1C⊥BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 优生选做题 15． (5分)如图，在正四面体A-BCD中，E为BD的中点， ，当时，E，F，G，H四点共面，则λ＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 答案：因为E，F，G，H四点共面，所以存在唯一的x，y∈R，使得.因为，所以，因为E为BD的中点，， 所以＝， 所以－，＝－＝－＝－，代入，得－＝－，所以解得故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 16.(5分)(2026·聊城模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则的最小值为 ________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 解析：如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 可得E(2，3，3)，F，G，D1(0，3，3)，B1(4，0，3)，M(x，y，0)，＝＝＝(x，y－3，－3)，设平面EFG的法向量n＝(x1，y1，z1)，则得令x1＝－，y1＝1，z1＝－1，即n＝.由于直线D1M与平面EFG平行，则·n＝0，得－x＋y－3＋3＝0，即y＝＝(4－x，－y，3)，＝(－x，3－y，3)．＝(4－x)·(－x)＋(－y)·(3－y)＋9＝x2－4x＋y2－3y＋9＝x2－4x＋2－(x－2)2＋，可知，由于x∈(0，4)，当x＝2时，取得最小值，最小值为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 $