第6节　空间向量的概念及运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念及运算”专题，依据新课标要求梳理了线性运算、共线共面向量定理、数量积应用三大核心考点，通过课标变化（了解→理解/掌握）明确考查深度，结合高考真题分析归纳出坐标运算、共线共面判定、夹角与距离计算等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“概念辨析+真题演练+规律总结”的备考模式，如通过正方体中向量线性表示例题训练学生用数学思维分析空间关系，借助数量积求异面直线夹角的“三步法”（建系、求向量、算余弦）培养空间观念与运算能力，课时跟踪训练分基础达标与综合应用，教师可据此精准定位学生薄弱点，助力高效冲刺。

第6节　空间向量的概念及运算 课标要求 1.理解[课标变化：了解→理解]空间向量的概念，掌握[课标变化：了解→掌握]空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式. 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 目录/ CONTENTS 考点一 空间向量的线性运算 01 考点二 共线、共面向量定理的应用 02 考点三 空间向量数量积及其应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 空间向量的线性运算 目 录 1. 几类特殊的向量 名称 语言描述 单位向量 模为 ⁠的向量 零向量 模为 的向量，记作 ，零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 且模 ⁠的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量（平行向量） 对于空间任意两个向量a，b（a≠0），若 ，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作 .零向量与任意向量 ⁠. 1　 0　 0　 相同　 相等　 b＝λa　 b∥a　 共线　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 空间向量的线性运算 项目 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. 已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若 ＝ ， 则C的坐标是（　　） A. （－ ，－ ，－ ） B. （ ，－ ，－ ） C. （－ ，－ ， ） D. （ ， ， ） 解析：设点C坐标为（x，y，z），则 ＝（x，y，z）.又 ＝（－3，－2，－4）， ＝ ，所以x＝－ ，y＝－ ，z＝－ .故 选A. √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且 ＝ ＋x ＋y ，则实数x＋y＝ 　​ 　. 解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋x ＋y ， 故x＝ ，y＝1，所以x＋y＝ . ​ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简 － － ＝ 　​ 　；用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 ＋ ⁠. ​ ＋ ＋ 解析： － － ＝ － （ ＋ ）＝ － ＝ ＋ ＝ ；因为 ＝ ＝ （ ＋ ），所以 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 用已知向量表示某一向量的三个关键点 （1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解 题的关键； （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的 若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量； （3）在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 共线、共面向量定理的应用 目 录 名称 语言描述 共线向量（平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔ 存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb 高中总复习·数学（创新版） 目 录 名称 语言描述 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 ＝x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝1 高中总复习·数学（创新版） 目 录 提醒：（1）在平面中A，B，C三点共线的充要条件是： ＝x ＋ y 且x＋y＝1，O为平面内任意一点； （2）在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是： ＝x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝1，O为空间任意一点. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所 示），并且 ＝k ， ＝k ， ＝k ， ＝ ＋m ， ＝ ＋m .求证： （1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； 证明：由 ＝ ＋m ， ＝ ＋m ，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2） ∥ ； 证明：由 ＝k ， ＝k ， ＝k ，得EF∥AB，且EF＝ kAB，EH∥AD，且EH＝kAD， ＝ ＋m ＝k ＋km ＝k （ ＋m ）＝k ，所以 ∥ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）O，G，C三点共线. 证明：由（2）知 ＝k ， 所以 ＝ － ＝k －k ＝k（ － ）＝k ， 所以 ＝k . 即 ∥ ，又 与 有一个公共点，所以O，G，C三点共线. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1.证明空间三点P，A，B共线的方法 （1） ＝λ （λ∈R）； （2）对空间任一点O， ＝ ＋t （t∈R）； （3）对空间任一点O， ＝x ＋y （x＋y＝1）. 2.证明空间四点P，M，A，B共面的方法 （1） ＝x ＋y ； （2）对空间任一点O， ＝ ＋x ＋y ； （3）对空间任一点O， ＝x ＋y ＋z （x＋y＋z＝1）； （4） ∥ （或 ∥ 或 ∥ ）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）（2025·河北邢台期末）设向量e1，e2，e3不共面，已知 ＝ －3e1－e2＋2e3， ＝e1＋λe2－6e3， ＝4e1＋2e2＋8e3，若A，C， D三点共线，则λ＝（　D　） A. 2 B. 1 C. －1 D. 0 D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为 ＝－3e1－e2＋2e3， ＝e1＋λe2－6e3， ＝4e1＋2e2＋ 8e3，所以 ＝ ＋ ＝－2e1＋（λ－1）e2－4e3.因为A，C，D三点 共线，所以存在唯一的实数y，使得 ＝y ，即4e1＋2e2＋8e3＝y[－ 2e1＋（λ－1）e2－4e3]，即 解得 故选D. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·江苏南京期中）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， E为AD的中点，AF＝2FA1，AC1交平面BEF于点G，则 的值为 ⁠. ​ 解析：设 ＝m ，其中 ＝ ＋ ＋ ，E 为AD的中点，AF＝2FA1，故 ＝2 ， ＝ ， 所以 ＝ ＋2 ＋ ， ＝m ＋2m ＋ m ，因为G，B，E，F四点共面，所以m＋2m＋ m＝1，解得m＝ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 考点三 空间向量数量积及其应用 目 录 1. 两个非零空间向量的数量积 （1）a·b＝ ⁠； （2）a⊥b⇔ ⁠； （3）设a＝（x，y，z），则a2＝｜a｜2，｜a｜＝ . ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 a·b＝0　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 空间向量的坐标运算 项目 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3） 向量和 a＋b＝ ⁠ 向量差 a－b＝ ⁠ 数量积 a·b＝ ⁠ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0） 垂直 a⊥b⇔ （a≠0，b≠0） 夹角公式 cos ＜a，b＞＝ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 （a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 a1b1＋a2b2＋a3b3　 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 提醒：（1）当＜a，b＞＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b； （2） cos ＜a，b＞＜0是两向量夹角为钝角的必要不充分条件； cos ＜ a，b＞＞0是两向量夹角为锐角的必要不充分条件. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的 正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. （1）求线段AC1的长； 解：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1× cos 120°＝－1. 因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c， 所以｜ ｜＝｜a＋b＋c｜＝ ＝ ＝ ＝ ，所以线段AC1的长为 . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； 解：因为 ＝a＋b＋c， ＝b－c， 所以 · ＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0 ＋1＋1－4＝－2，｜ ｜＝｜b－c｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）求证：AA1⊥BD. 解：证明：因为 ＝c， ＝b－a， 所以 · ＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即 ⊥ ， 所以AA1⊥BD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a与b的夹角为θ，则 cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度（距离） 利用公式＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （2026·江苏扬州期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上 一点，且满足DC＝3BD，E为线段AD的中点，设 ＝a， ＝b， ＝c. （1）试用向量a，b，c表示向量 ； 解：因为DC＝3BD，由向量的线性运算法则， 可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ － ）＋ （ － ） ＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，求 · 的值. 解：由 ＝ － ＝－b＋c， 所以 · ＝（ a＋ b＋ c）·（－b＋c）＝－ a·b＋ a·c－ b2＋ b·c－ b·c＋ c2＝－ ×（4×4× ）＋ ×（4×3× ）－ ×16＋ ×（4×3× ）－ ×（4×3× ）＋ ×9＝－ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是（　　） A. 共面向量 B. 共线向量 C. 不共面向量 D. 既不共线也不共面的向量 解析：　∵2a－b＝2·a＋（－1）·b，∴根据向量共面定理知，2a －b与a，b共面.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. （2025·辽宁鞍山模拟）已知向量a＝（3，5，1），b＝（2，1， 4），则（a＋b）·b＝（　　） A. 36 B. 32 C. 56 D. 52 解析：向量a＝（3，5，1），b＝（2，1，4），则a＋b＝（5，6，5），所以（a＋b）·b＝2×5＋6×1＋4×5＝36.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若 a，b，c共面，则λ＝（　　） A. 9 B. －9 C. －3 D. 3 解析：　由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y （－1，2，3），∴ 解得λ＝－9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在 BC'上，且BM＝2MC'，则下列向量中与 相等的向量是（　　） A. － ＋ ＋ B. － ＋ ＋ C. ＋ ＋ D. － ＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　因为BM＝2MC'，所以 ＝ ，在平行六面体ABCD- A'B'C'D'中， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ （ － ）＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 〔多选〕将正方形ABCD沿AC折叠如图所示，其中点E，F分别为 AD，DC的中点，点R，T将线段AC三等分，则（　　） A. ＝ B. ＋ ＝3 C. ＝ D. ＝ － 解析：对于A，由点E，F分别为AD，DC的中点，得EF∥AC，EF＝ AC，而 ＝ ， ＝ ，因此 ＝ ，A正确；对于B， ＋ ≠ ，3 ＝ ，B错误；对于C， ， 长度相等，方向不同，C错误；对于D， ＝ ＋ ＝ － ，D正确.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕（2026·山东淄博期末）已知空间向量m＝（2，－1，3）， n＝ ，则下列选项中正确的是（　　） A. 当m⊥n时，x＝2 B. 当m∥n时，x＝－6 C. 当x＝－4时，｜m＋n｜＝ D. 当x＝1时， cos ＜m，n＞＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：对于A，由m⊥n，得2×（－4）＋（－1）×2＋3x＝0，解得x＝ ，A错误；对于B，由m∥n，得存在实数λ，使得n＝λm，则（－4，2，x）＝（2λ，－λ，3λ），即 解得λ＝－2，x＝－6，B 正确；对于C，当x＝－4时，n＝（－4，2，－4），m＋n＝（－2，1， －1）， ＝ ＝ ，C正确；对于D，当x ＝1时，n＝（－4，2，1），m＝（2，－1，3）， cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝－ ，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. （2026·浙江金华期中）若a＝（2x，1，3），b＝（1，－2y，9）， 且a与b为共线向量，则x＝ 　​ 　，y＝ 　－ 　. 解析：由题意得y≠0且 ＝ ＝ ，∴x＝ ，y＝－ . ​ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且 ＝ ＋ ＋ t ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝ ⁠. 解析：易知 ＋ ＋t＝1，所以t＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 已知A（1，－2，3），B（0，－2，0），C（1，0，3）为平面α内三 点，点D在α内，且D异于A，B，C三点，写出点D的一个坐 标： ⁠. 解析：因为点D在α内，记坐标原点为O，所以 ＝（1－λ－μ） ＋ λ ＋μ ＝（1－λ－μ）·（1，－2，3）＋λ（0，－2，0）＋μ（1， 0，3）＝（1－λ，－2＋2μ，3－3λ），取μ＝1，λ＝－1，可得 ＝（2， 0，6），所以点D的一个坐标为（2，0，6）（答案不唯一）. （2，0，6）（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正 四面体ABCD中其所在棱的中点，设 ＝a， ＝b， ＝c，试采用 向量法解决下列问题： （1）求 的模长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G， H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点， ＝a， ＝b， ＝c， 所以 ＝ ＝ （ － ）＝ （b－a）， ＝ ＝ c， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝－ （b－a）－a＋ c＝ （c－a－b）， 所以｜ ｜2＝ （c－a－b）2＝ （c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－ 2b·c）＝ ×（1＋1＋1－2×1×1× cos 60°＋2×1×1× cos 60°－ 2×1×1× cos 60°）＝ ，故｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求 与 的夹角. 解：在正四面体ABCD中， ＝ （c－a－b），｜ ｜＝ . 同理， ＝ （b＋c－a），｜ ｜＝ . 所以 cos ＜ ， ＞＝＝ ＝ [（c－a）2－b2]＝ （c2＋a2－2c·a－b2）＝ ×（1＋1－2×1× 1× cos 60°－1）＝0，所以 与 的夹角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. （2026·北京朝阳模拟）在正四棱锥P-ABCD中， ＝ ， ＝ 2 ，设平面AEF与直线PC交于点G， ＝λ ，则λ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ ＋ － ＋ － ＝ ＋ － ，因为 ＝ ， ＝2 ，所以 ＝2 ， ＝ ，所以 ＝ ＋2 － ，又 ＝λ ，所以 ＝ ，所以 ＝ ＋ － ，因为A，E， F，G共面，所以 ＋ － ＝1，解得λ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1 上运动，则 · 的取值范围为 ⁠. 解析：由题意，设 ＝λ ，其中λ∈[0，1]， · ＝ ·（ ＋ ）＝ ·（ ＋λ ）＝ ＋λ · ＝ ＋λ · （ － ）＝（1－λ） ＝1－λ∈[0，1].因此 · 的取值范围是[0，1]. [0，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 已知空间直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（1，－2，－ 1），B（1，4，2），C（－1，3，1），AD是△ABC边BC上的高，则 AD的长为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为A（1，－2，－1），B（1，4，2），C（－1，3，1），所以 ＝（－2，－1，－1）， ＝（0，6，3）.因为点D在边BC上，所以 设 ＝λ ＝λ（－2，－1，－1）＝（－2λ，－λ，－λ），则 ＝ ＋ ＝（0，6，3）＋（－2λ，－λ，－λ）＝（－2λ，6－λ，3－λ）.由 AD是△ABC边BC上的高可得， · ＝0⇒4λ－6＋λ－3＋λ＝0，解得 λ＝ ，所以 ＝ ，所以 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）（2026·海南海口阶段测试）如图，在棱长为2的正方体AC1 中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G在AB上，AB＝3BG. （1）已知上底面A1C1内一点H满足GH∥EF，求A1H的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：建立如图空间直角坐标系，则A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），D1 （0，0，2），A1（2，0，2），因为AB＝3BG，点E， F分别是BC，C1D1的中点，所以G（2， ，0）， E（1，2，0），F（0，1，2），设H（λ，μ，2）（λ，μ∈[0，2]），则 ＝（－1，－1，2）， ＝（λ－2，μ－ ，2），因为GH∥EF，所 以 ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解得λ＝1，μ＝ ， 所以H（1， ，2），所以 ＝（－1， ，0），所以 ＝ ＝ ，即A1H的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求A1K的 长；若不存在，说明理由. 解：假设存在满足条件的点K，设K（λ，0，2）（0≤λ≤2）， 则 ＝（λ－2，－ ，2）， ＝（－1， ，0）. 因为GK，EF共面，所以存在实数x，y满足 ＝x ＋y ， 即（λ－2，－ ，2）＝x（－1， ，0）＋y（－1，－1，2），得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解得λ＝ ， 所以K（ ，0，2）， 所以 ＝（－ ，0，0），｜ ｜＝ ，所以存在点K，使得GK， EF共面，且A1K的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $