专题3 一元二次方程的新定义问题专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以新定义为载体，系统覆盖一元二次方程定义、解法及应用，通过28道典例构建从概念理解到迁移应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|3题|“颠倒方程”“同类方程”新定义辨析|从方程定义延伸至系数关系| |一般形式|2题|行列式、对称方程转化|概念生成到形式变换| |解|6题|“有爱/纠缠/联合方程”等根的判定|根的性质与方程结构关联| |解法|6题|新运算、复数等情境下解方程|解法迁移至新情境| |根的性质|7题|“倍根/牵手方程”等判别与关系|根的判别式、系数关系应用| |实际应用|4题|“加倍/减半矩形”抽象方程|数学建模解决实际问题|

专题3 一元二次方程的新定义问题 类型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•长寿区期中）定义：我们把关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0与N：cx2+bx+a＝0（a≠c，ac≠0）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如x2﹣4x+3＝0的“颠倒方程”是3x2﹣4x+1＝0，则下列结论不正确的是（　　） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若a+c＝b，则方程M与方程N都有实数根﹣1 【分析】A．根据两个方程的根的判别式相同，则得到该选项不符合题意； B．由6和若分别是两方程的根，都可得到相同的关系式36a+6b+c＝0，得到该选项不符合题意； C．由题意，两方程有一个根相同，得到ax2+bx+c＝cx2+bx+a，得到有两个根，故该选项符合题意； D．根据题意，选择两方程的一个根，代入条件a+c＝b，即可得到结果． 【解答】解：A．方程M：ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac， 方程N：cx2+bx+a＝0（a≠c，ac≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac， ∴方程M有实数根，则方程N也有实数根， 故该选项不符合题意； B．若6是方程M的一个根，则有：36a+6b+c＝0， 若是方程N的一个根，则有：，即：36a+6b+c＝0， 故该选项不符合题意； C．若方程M和N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a， ∴（a﹣c）x2＝a﹣c， ∴x2＝1， ∴x＝1或﹣1， 故该选项符合题意； D．方程M的根为：， 若a+c＝b，则1， 方程N的根为：， 若a+c＝b，则， 故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，涉及到一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根的应用，关键是要能根据题意，选择恰当的方法来判断． 2．（2025春•南岗区期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？ （1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　5　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 【分析】（1）根据“同类方程”的定义，可得出p的值； （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值． 【解答】解：（1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”， ∴p﹣2＝3， 解得p＝5； 故答案为：5； （2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1， ∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7， ∴， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 3．（2025春•瑶海区期中）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程x2﹣5＝0； （2）知识延伸：解一元二次方程4（1﹣2x）2﹣24＝0． 子涵同学把（1﹣2x）看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程81x4﹣256＝0． 【分析】（1）先移项，然后根据平方根的定义直接开平方即可； （2）先移项整理得（1﹣2x）2＝6，再根据平方根的定义开平方得，再解一元一次方程即可； （3）根据乘方的意义和平方根的定义开两次平方即可得解． 【解答】解：（1）x2＝5， ； （2）4（1﹣2x）2＝24， （1﹣2x）2＝6， ， ， 或； （3）81x4＝256， ， 或（舍去）， x＝±， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，平方根，高次方程，熟知以上知识是解题的关键． 类型二 一元二次方程的一般形式 4．（2024秋•鹤山市月考）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式．那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为 x2+2x+3＝0　 ． 【分析】根据题意直接可列出方程，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据新定义可知可化为2x（x+1）﹣（x﹣2）（x+2）＝1， 整理得：x2+2x+3＝0， ∴表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为x2+2x+3＝0， 故答案为：x2+2x+3＝0． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 5．（2024春•崇川区月考）阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　﹣x2﹣4x﹣3＝0　 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1， 移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 类型三 一元二次方程的解 6．（2026春•新昌县期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 【分析】（1）根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用公式法证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含a的代数式表示出来并代入原方程，并把x＝a代入，得到关于a的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0为“有爱方程”，理由如下： ∵a＝3，b＝4，c＝1， ∴b＝a+c． ∴一元二次方程3x2+4x+1＝0为是有爱方程． （2）方法一：证明：把x＝﹣1代入方程，得 左边＝a﹣b+c． ∵方程是有爱方程， ∴b＝a+c． 移项，得a﹣b+c＝0， ∴左边＝右边． ∴x＝﹣1是原方程的解． 方法二：∵方程是有爱方程， ∴b＝a+c． ∴原方程为ax2+（a+c）x+c＝0． b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac ＝（a﹣c）2≥0． ，x2＝﹣1． ∴x＝﹣1是原方程的解． （3）∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”， ∴﹣a＝b+3（1）， ∵a是该“有爱方程”的一个根． ∴3a2﹣a2+b＝0（2）． 由（1）得b＝﹣3﹣a（3）． 把（3）代入（2），得 3a2﹣a2﹣3﹣a＝0． 化简，得2a2﹣a﹣3＝0 解得，a2＝﹣1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． 7．（2026春•寿县月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． （1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【分析】（1）将一元二次方程（2x+3）2＝9化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把x＝m代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【解答】（1）解：一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”． 理由如下：由条件可知4x2+12x+9＝9，即x2+3x＝0． ∵a＝1，b＝3，c＝0， ∴3≠1+0，即b≠a+c． ∴一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”； （2）证明：由条件可知b＝a+c． ∴ax2+（a+c）x+c＝0，即ax2+ax+cx+c＝0． 因式分解，得（x+1）（ax+c）＝0， 解得x1＝﹣1，． ∴x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）解：∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”， ∴﹣m＝3+n，即n＝﹣（m+3）． ∴3x2﹣mx﹣（m+3）＝0． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴3m2﹣m2﹣（m+3）＝0． 整理方程，得2m2﹣m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，． ∴m的值为﹣1或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026春•姑苏区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 【分析】（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【解答】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7， ∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0， ∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”； （2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0， ∵﹣2是此“联合方程”的一个根， ∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0， 即， 解得， ∴m的值为﹣9，n的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． 9．（2026春•瑶海区期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+3x+c＝0是常数根一元二次方程，求c的值； （2）如果关于x的方程x2+5mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，求m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝m+1代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，得到ac+b+1＝0，因此y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，从而得证结论． 【解答】解：（1）由题意可得：方程的一个根为x＝c， 代入方程得，c2+3c+c＝0，即c2+4c＝0， 解得c＝0或﹣4； （2）由题意可得： ∴方程的一个根为x＝m+1， 代入方程得，（m+1）2+5m（m+1）+m+1＝0， 整理得，（m+1）（6m+2）＝0， 解得或﹣1； （3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根， ∴方程的一个根为x＝c，且c≠0， 将x＝c代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∵c≠0， ∴ac+b+1＝0， ∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边， ∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根， ∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 10．（2025秋•浦东新区期末）我们知道一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，若其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程ay2+by+c＝m（a≠0，m≠0）的两根为y1，y2，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：2x2﹣5x+2＝0是　4　 倍“梅石花”方程； （2）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）是n倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是　1　 ． （3）若方程﹣y2+3y﹣2＝m（m≠0）为“状元来”方程，求证：． 【分析】（1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为x1，nx1，则可得x1+nx1＝b，x1•nx1＝c，将代入x1•nx1＝c化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得y1+y2＝3，y1y2＝2+m，则可得m＝﹣（y1﹣1）（y1﹣2），代入化简即可得证． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得： （2x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得， ∵， ∴2x2﹣5x+2＝0是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4； （2）设这个方程的两个根为x1，nx1， ∴x1+nx1＝b，x1•nx1＝c， ∴， ∴，n为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1； （3）证明：∵原方程可化成y2﹣3y+2+m＝0， ∴y1+y2＝3，y1y2＝2+m， ∴y2＝3﹣y1，y1＝3﹣y2， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 11．（2025秋•新民市期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是x2+3x﹣4＝0　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　2025　 ． 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程x2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+1＝0，把x＝﹣1代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0； 故答案为：x2+3x﹣4＝0； （2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0， 把x＝﹣1代入方程， 得c+2+1＝0， ∴c＝﹣3； （3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0， ∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根， ∴m2+m﹣6＝0， ∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025． 故答案为：2025． 【点睛】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． 类型四 解一元二次方程-配方法 12．（2025秋•鹿城区期末）定义一种运算：a⊗b＝a2﹣ab，例如：1⊗2＝12﹣1×2＝﹣1．若m⊗3的值为5，则﹣2m2+6m的值为　﹣10　 ． 【分析】利用新运算的规定把m⊗3的值为5转化成方程为m2﹣3m＝5，代入﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）即可得出结论． 【解答】解：由题意得m2﹣3m＝5， ∴﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）＝﹣2×5＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点睛】本题是新运算，理解新运算的规定并熟练应用是解题的关键． 13．（2025秋•越秀区期末）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）2﹣2a，如2*3＝（2+3）2﹣2×2＝25﹣4＝21．若x*m＝0（m为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则m的值是　0或﹣4　 ． 【分析】先根据新运算“a*b＝（a+b）2﹣2a”的定义，把x*m转化为常规的代数表达式，得到方程（x+m）2﹣2x＝0．因为x＝2是方程的根，所以把x＝2代入这个方程，得到关于m的方程（2+m）2﹣2×2＝0．解这个关于m的方程，求出m的值． 【解答】解：因为a*b＝（a+b）2﹣2a， 所以x*m＝（x+m）2﹣2x， 因为x*m＝0， 所以方程为（x+m）2﹣2x＝0， 将x＝2代入方程（x+m）2﹣2x＝0， 得（2+m）2﹣2×2＝0， 4+4m+m2﹣4＝0， 化简为m2+4m＝0， 即m（m+4）＝0， 解得m＝0或m＝﹣4． 故答案为：0或﹣4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是按照定义的公式计算． 14．（2025秋•南山区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 如果只把i当成数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似） 例题1：i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i， i4＝i3•i＝﹣i•i＝﹣i2＝﹣（﹣1）＝1， 例题2：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i， （5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i， 同样我们也可以化简， 也可以解方程x2＝﹣1，解为x1＝i，x2＝﹣i． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：i6＝ 　﹣1　 ；i9＝ i ； （2）计算：（3+i）2； （3）在复数范围内解方程：x2+4x+13＝0． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，然后根据i2＝﹣1计算即可； （3）利用配方法求解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）i6＝（i2）3＝（﹣1）3＝﹣1， i9＝i8•i＝（i2）4•i＝（﹣1）4•i＝i， 故答案为：﹣1，i； （2）（3+i）2 ＝9+6i+i2 ＝9+6i﹣1 ＝8+6i； （3）原方程配方可得：（x+2）2＝9i2， ∴x+2＝±3i， 解得：x1＝﹣2+3i，x1＝﹣2﹣3i． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，配方法解一元二次方程等知识点，深刻理解题意，能够利用i2＝﹣1进行计算并熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 类型五 解一元二次方程-公式法 15．（2025•韶关模拟）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【分析】当x≥0时，x2≤x，求得0≤x≤2；分3种情况讨论：①0≤x＜1时，解得x＝0；②1≤x＜2时，解得x或x（舍）；③2≤x＜3时，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；当x＜0时，得到0≤x≤2与x＜0矛盾． 【解答】解：当x≥0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2； ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）； ③x＝2时，[x]＝2，2[x]＝x2； 当x＜0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2与x＜0矛盾； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 16．（2026•鼓楼区模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1，x2　 ． 【分析】根据题意列出代数式进行计算即可． 【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，2☆x＝0， ∴2x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12， ∴x， ∴x1，x2． 故答案为：x1，x2． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 17．（2026春•合肥期中）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是x＝4或x＝﹣4　 ． 【分析】根据max{a，b}的定义，分x≥0和x＜0两种情况分类讨论，分别列一元二次方程求解，舍去不符合取值范围的解即可． 【解答】解：①当x≥﹣x，即x≥0时，max{x，﹣x}＝x， ∴x＝x2﹣12， 解得x1＝4，x2＝﹣3（舍去）； ②当x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣12， 解得x3＝﹣4，x4＝3（舍去）； 故答案为：x＝4或x＝﹣4． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是读懂题意，能理解新定义． 类型六 解一元二次方程-因式分解法 18．（2025秋•绛县期末）新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣n）（x+3）＝0是“倍根方程”，则n的值为（　　） A．﹣1或﹣9 B．1 C．﹣9 D．1或9 【分析】通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（x﹣n）（x+3）＝0， ∴x1＝n，x2＝﹣3， 又∵该方程是“倍根方程”， 有两种情况： 情况一：n＝3×（﹣3）＝﹣9， 情况二：﹣3＝3×n，解得n＝﹣1， 综上所述，n的值为﹣1或﹣9， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键． 19．（2026春•莱西市期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　3或﹣1　 ． 【分析】先求出一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解x1＝1，x2＝﹣3，根据方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，分情况求解即可． 【解答】解：若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， 当相同的根是x＝1时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0可得（1﹣3）（1+m）＝0， 解得：m＝﹣1； 此时方程为（x﹣3）（x﹣1）＝0，可得：x1＝3，x2＝1，符合题意； 当相同的根是x＝﹣3时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0得（﹣3﹣3）（﹣3+m）＝0， 解得：m＝3， 此时方程为（x﹣3）（x+3）＝0，可得：x1＝3，x2＝﹣3，符合题意； 故答案为：3或﹣1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 20．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　﹣1或2　 ． 【分析】由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【解答】解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根； 当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件； 若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件， 若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意， 综上，n＝﹣1或n＝2． 故答案为：﹣1或2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 21．（2026春•湘乡市月考）定义一种新运算：a※，例：2※（﹣1）＝22﹣（﹣1）＝5．若x※（﹣2x+1）＝2，则x的值为　1或　 ． 【分析】解一元二次方程，分x≥﹣2x+1和x＜﹣2x+1两种情况，列出方程解答即可， 【解答】解：当x≥﹣2x+1，即时， 根据新运算得：x2﹣（﹣2x+1）＝2， 解得x1＝1，x2＝﹣3（不合，舍去）； 当x＜﹣2x+1，即时， 根据新运算得：4x+（﹣2x+1）2＝2， 解得，（不合，舍去）； 综上所述，x的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． 类型七 根的判别式 22．（2026•洛阳模拟）定义运算：a☆b＝ab2﹣ab﹣1．例如：2☆4＝2×42﹣2×4﹣1＝23，则方程﹣5☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】先根据新定义得到﹣5x2+5x﹣1＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得﹣5☆x＝﹣5x2+5x﹣1， ∴﹣5x2+5x﹣1＝0， 整理得5x2﹣5x+1＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×5×1＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算． 类型八 根与系数的关系 23．（2025秋•菏泽期末）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【解答】解：∵（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）， ∴x﹣2＝0或ax﹣b＝0， 解得：， ∵方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”， ∴分两种情况： 当时，即a＝b， 此时； 当时，即b＝4a， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 24．（2025秋•资阳期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程x2+9x+14＝0是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“特根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，则k的值为2或﹣1； ③若关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【分析】根据“特根方程”的定义，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由方程x2+9x+14＝0得， x1＝﹣7，x2＝﹣2， 因为， 所以， 所以方程x2+9x+14＝0是“特根方程”． 故①正确； 因为x1、x2是一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0的两个根， 则． 因为x1+x2+x1x2＝﹣1， 所以， 解得k＝﹣1或2． 当k＝﹣1时， 方程为2x2+6x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， 所以， 则方程2x2+6x+4＝0不是“特根方程”， 所以k＝﹣1不满足题意． 故②错误； 由x2+（2﹣m）x﹣2m＝0得， 方程的两个根为﹣2和m． 当m＜﹣2时， ， 解得﹣8＜m＜﹣6， 则整数m的值为﹣7． 当﹣2＜m＜0时， ， 解得， 不存在整数m的值， 所以m有且只有一个整数解． 故③正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，理解所给“特跟方程”的定义是解题的关键． 25．（2026•香坊区二模）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称作一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．那么一元二次方程﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”的两根之和为　﹣3　 ． 【分析】先天表示出﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”，再根据两根之和求出结果． 【解答】解：﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”是x2+3x﹣10＝0， ∴它的两根之和3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 26．（2026春•包河区期中）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差1方程”．例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“差1方程”．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣（m+1）＝0是“差1方程”，则m的值为 　﹣1或﹣3　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣mx﹣（m+1）＝0得x1＝﹣1，x2＝m+1，则利用新定义得到|m+1﹣（﹣1）|＝1，然后解绝对值方程即可． 【解答】解：x2﹣mx﹣（m+1）＝0， （x+1）[x﹣（m+1）]＝0， x+1＝0或x﹣（m+1）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝m+1， 根据题意得|m+1﹣（﹣1）|＝1， 解得m＝﹣1或m＝﹣3， 即m的值为﹣1或﹣3． 故答案为：﹣1或﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确理解新定义是解决问题的关键． 27．（2026•宿州二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，定义该方程两根的关联值M＝x1+x2+x1x2． （1）若x2﹣5x+6＝0，则关联值M为　11　 ． （2）已知关于x的方程x2﹣（n+2）x+2n＝0（n为整数，n≥1），若该方程关联值M满足1＜M≤2026．则符合条件的整数n的和为　227475　 ． 【分析】（1）利用根和系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝6，再代入计算即可求解； （2）利用根和系数的关系得x1+x2＝n+2，x1x2＝2n，即得M＝3n+2，进而可得，得到n取1，2，3⋯，674，再相加即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知x1+x2＝5，x1x2＝6， ∴M＝5+6＝11， 故答案为：11； （2）由条件可知x1+x2＝n+2，x1x2＝2n， ∴M＝x1+x2+x1x2＝n+2+2n＝3n+2， ∵1＜M≤2026， ∴1＜3n+2≤2026， 解得， ∵n为整数，且n≥1， ∴n取1，2，3⋯，674， ∴符合条件的整数n的和为1+2+3+⋯+674＝675×337＝227475， 故答案为：227475． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 类型九 由实际问题抽象出一元二次方程 28．（2024秋•太原期中）定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当已知矩形的长和宽分别为2cm和1cm时，设其“加倍矩形”的一边长为xcm，则根据题意列出的方程是（　　） A．x[2×（2+1）﹣x]＝2×2×1 B．x[（2+1）﹣x]＝2×2×1 C．x[2×（2+1）﹣x]＝2×1 D．x[（2+1）﹣x]＝2×1 【分析】根据两矩形周长间的关系，可得出其“加倍矩形”的相邻两边长，利用“加倍矩形”的面积是已知矩形面积的2倍，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵已知矩形的长和宽分别为2cm和1cm，其“加倍矩形”的一边长为xcm， ∴该边的邻边为[2×（2+1）﹣x]cm． 根据题意得：x[2×（2+1）﹣x]＝2×2×1． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．（2025秋•成都月考）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（k＞0），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 　　 ． 【分析】题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围，于是得到结论． 【解答】解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形， ∴它的周长＝（2+3）×2＝10，面积＝2×3＝6， ∴它的“k倍”矩形的面积＝6k，周长＝10k， 设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为5k﹣x， 由题意得：x•（5k﹣x）＝6k， 整理得：x2﹣5kx+6k＝0， ∴Δ＝25k2﹣24k， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴Δ≥0 即：25k2﹣24k≥0， ∵k＞0， ∴k， ∴k的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 30．（2024•惠州模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 【分析】（1）分别求出矩形EFGH的周长与面积，矩形ABCD的周长与面积，即可得出结论； （2）若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，n（m＞n），根据矩形的周长和面积得出，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵矩形EFGH的周长为：2×（4+3）＝14， 矩形ABCD的周长为：2×（12+2）＝28， ∴矩形EFGH的周长矩形ABCD的周长； ∵矩形EFGH的面积为：4×3＝12， 矩形ABCD的面积为：2×12＝24， ∴矩形EFGH的面积矩形ABCD的面积； ∴矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形． （2）解：该矩形不存在“减半”矩形，理由如下： 若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，n（m＞n）， ∵原矩形的长和宽分别为2，1， ∴，， 由①得：， 将 代入②得：， 即， ∵， ∴ 无实数根， ∴该矩形不存在“减半”矩形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（2026春•东阳市月考）阅读下列材料：我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac，如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝4时，该全整根方程的“关爱码”是　　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，求m的值． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，则m﹣n的值为　2　 ． 【分析】（1）①将m＝4代入“关爱码”公式，计算得；②将﹣1等于入“关爱码”公式，求得m即可； （2）先计算判别式b2一4ac＝4m+29，结合4＜m＜15确定其范围，再匹配范围内的完全平方数，解得m＝5或m＝13，最终求得“关爱码”为或； （3）分别算出两个方程的“关爱码”，根据题意列等式并因式分解，结合m、n为正整数的条件，排除m+n＝0，得出m﹣n＝2． 【解答】（1）解：①当 m＝4时，方程为x2﹣5x+4＝0， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是． 故答案为：； ②已知该方程的a＝﹣1，b＝﹣（1+m），c＝m， 则， 故﹣1， 解得：m＝﹣1或3； （2）解：∵x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29， ∵4＜m＜15， ∴45＜4m+29＜89， 其中完全平方数有49、64和81， 当 4m+29＝49 时，m＝5， 当4m+29＝64时，（不合题意）， 当 4m+29＝81 时，m＝13， 当 m＝5 时，原方程为x2﹣7x＝0， 则， 当 m＝13 时，原方程为x2﹣23x+112＝0， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）解： 方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0的“关爱码”， 方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码， 由题意得：， ∴（m+n）（m﹣n﹣2）＝0， ∴m+n＝0 或 m﹣n＝2， ∵m，n均为正整数， ∴m+n＝0 不合题意， ∴m﹣n＝2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 一元二次方程的新定义问题 类型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•长寿区期中）定义：我们把关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0与N：cx2+bx+a＝0（a≠c，ac≠0）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如x2﹣4x+3＝0的“颠倒方程”是3x2﹣4x+1＝0，则下列结论不正确的是（　　） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若a+c＝b，则方程M与方程N都有实数根﹣1 2．（2025春•南岗区期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？ （1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 3．（2025春•瑶海区期中）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程x2﹣5＝0； （2）知识延伸：解一元二次方程4（1﹣2x）2﹣24＝0． 子涵同学把（1﹣2x）看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程81x4﹣256＝0． 类型二 一元二次方程的一般形式 4．（2024秋•鹤山市月考）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式．那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为 　 ． 5．（2024春•崇川区月考）阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　 　 ． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 类型三 一元二次方程的解 6．（2026春•新昌县期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 7．（2026春•寿县月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． （1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 8．（2026春•姑苏区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 9．（2026春•瑶海区期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+3x+c＝0是常数根一元二次方程，求c的值； （2）如果关于x的方程x2+5mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，求m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 10．（2025秋•浦东新区期末）我们知道一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，若其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程ay2+by+c＝m（a≠0，m≠0）的两根为y1，y2，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：2x2﹣5x+2＝0是　 　 倍“梅石花”方程； （2）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）是n倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是　 　 ． （3）若方程﹣y2+3y﹣2＝m（m≠0）为“状元来”方程，求证：． 11．（2025秋•新民市期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　 　 ． 类型四 解一元二次方程-配方法 12．（2025秋•鹿城区期末）定义一种运算：a⊗b＝a2﹣ab，例如：1⊗2＝12﹣1×2＝﹣1．若m⊗3的值为5，则﹣2m2+6m的值为　 　 ． 13．（2025秋•越秀区期末）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）2﹣2a，如2*3＝（2+3）2﹣2×2＝25﹣4＝21．若x*m＝0（m为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则m的值是　 ． 14．（2025秋•南山区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 如果只把i当成数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似） 例题1：i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i， i4＝i3•i＝﹣i•i＝﹣i2＝﹣（﹣1）＝1， 例题2：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i， （5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i， 同样我们也可以化简， 也可以解方程x2＝﹣1，解为x1＝i，x2＝﹣i． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：i6＝ 　 ；i9＝ i ； （2）计算：（3+i）2； （3）在复数范围内解方程：x2+4x+13＝0． 类型五 解一元二次方程-公式法 15．（2025•韶关模拟）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 16．（2026•鼓楼区模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1 ． 17．（2026春•合肥期中）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是x＝4或x＝﹣4　 ． 类型六 解一元二次方程-因式分解法 18．（2025秋•绛县期末）新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣n）（x+3）＝0是“倍根方程”，则n的值为（　　） A．﹣1或﹣9 B．1 C．﹣9 D．1或9 19．（2026春•莱西市期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　 　 ． 20．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 21．（2026春•湘乡市月考）定义一种新运算：a※，例：2※（﹣1）＝22﹣（﹣1）＝5．若x※（﹣2x+1）＝2，则x的值为　 ． 类型七 根的判别式 22．（2026•洛阳模拟）定义运算：a☆b＝ab2﹣ab﹣1．例如：2☆4＝2×42﹣2×4﹣1＝23，则方程﹣5☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 类型八 根与系数的关系 23．（2025秋•菏泽期末）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 24．（2025秋•资阳期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程x2+9x+14＝0是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“特根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，则k的值为2或﹣1； ③若关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 25．（2026•香坊区二模）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称作一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．那么一元二次方程﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”的两根之和为　 ． 26．（2026春•包河区期中）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差1方程”．例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“差1方程”．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣（m+1）＝0是“差1方程”，则m的值为 　 　 ． 27．（2026•宿州二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，定义该方程两根的关联值M＝x1+x2+x1x2． （1）若x2﹣5x+6＝0，则关联值M为　 ． （2）已知关于x的方程x2﹣（n+2）x+2n＝0（n为整数，n≥1），若该方程关联值M满足1＜M≤2026．则符合条件的整数n的和为　 ． 类型九 由实际问题抽象出一元二次方程 28．（2024秋•太原期中）定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当已知矩形的长和宽分别为2cm和1cm时，设其“加倍矩形”的一边长为xcm，则根据题意列出的方程是（　　） A．x[2×（2+1）﹣x]＝2×2×1 B．x[（2+1）﹣x]＝2×2×1 C．x[2×（2+1）﹣x]＝2×1 D．x[（2+1）﹣x]＝2×1 29．（2025秋•成都月考）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（k＞0），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 　 ． 30．（2024•惠州模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 31．（2026春•东阳市月考）阅读下列材料：我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac，如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝4时，该全整根方程的“关爱码”是　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，求m的值． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，则m﹣n的值为　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $