以函数为背景的新定义问题、以几何为背景的新定义问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦函数与几何新定义问题，构建“定义理解-转化建模-推理应用”三阶方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数背景新定义|3例+3变式|定义转化坐标关系（如y=2x），联立函数解析式，方程思想与分类讨论|从一次函数到二次函数，新定义从“完美点”到“和抛物线”，逐步深化函数性质应用| |几何背景新定义|3例+3变式|结合图形性质（如平行四边形、三角形内角和），构建等量关系，推理证明与性质迁移|从三角形到四边形，新定义从“差直角三角形”到“邻等对补四边形”，基于已有几何知识递进拓展|

以函数为背景的新定义问题、以几何为背景的新定义问题专项训练 以函数为背景的新定义问题、以几何为背景的新定义问题专项训练 考点目录 以函数为背景的新定义问题 以几何为背景的新定义问题 考点一 以函数为背景的新定义问题 例1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4）或或． 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程组或即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论： 第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点； 第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解． 【详解】（1）解点是一次函数第四象限图象的完美点， ， 解得：， 点的坐标为， 代入， 可得，； （2）解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点， 即完美点在直线或直线上， 或 解得：，或，， 二次函数图象的完美点分别是：，，，； （3）解：二次函数的图象上有且只有一个完美点， 在直线上， 有且只有一个完美点， ， 把点代入， 得， 解得：，， ； （4）或或； 解二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点， 即完美点在直线或直线上， 或 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， 或； 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， ， 综上所述，或或； 例2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 例3．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 变式1．（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 (3)该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 (4) 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【详解】（1）解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； （2）①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； （3）该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． （4）方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 变式2．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【答案】(1)①，的“特征三角形”的面积为；②或或或 (2)一，二；证明见解析 【分析】（1）①设抛物线的表达式为，得，得出抛物线的表达式为，再联立，解得：或，得，，求出，，，证明是等腰直角三角形，即得出称为抛物线的“特征三角形”，可得结论； ②由①知：轴，根据正方形的性质得，，然后分两种情况：当在下方时；当在上方时，分别求解即可； （2）先判断出命题一和命题二都成立，然后分别举例证明命题一和命题二即可． 【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， 即抛物线的表达式为， 如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧）， ∴轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， 此时， ∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为； ②由①知：轴， ∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧）， ∴，， 如图， 当在下方时，则，， 当在上方时， ∵为的“特征三角形”（在的左侧）， ∴， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在上方时，则，， 当在上方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 综上所述，抛物线的表达式为或或或； （2）解：命题一和命题二都成立， 故答案为：一，二； 证明： 命题一：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，且 即两抛物线二次项系数绝对值相同， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴这两个抛物线的“特征值”相等， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 命题二：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，比值为， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 和，命题一的证明可以基于第（1）②小题） ∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 变式3．（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴ ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴， 即当时，有最小值，且 ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为 ∴ 即． 考点二 以几何为背景的新定义问题 例1．（2026·山西太原·模拟预测）读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形． 由定义可知，差直角三角形一定是______三角形． 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形ABC中，，则的度数为______°． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F． 若，则图中是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据： ▲ ） ∴，． ∵， ∴……． 任务： (1)“定义对象”部分“▲”处为 ▲ （填“锐角”“直角”或“钝角”）； “定义运用”部分问题1的“▲”处为 ▲ ； 问题2的“▲”处为 ▲ ； (2)补全上述报告中问题2的推理过程； (3)如图3，已知中，，，，点E在BC边上，若是差直角三角形，则的长为______． 【答案】(1)钝角；30；平行四边形的定义 (2)见解析 (3)5或 【分析】（1）根据 ，得，判定是一个钝角，求解即可； 根据得，利用三角形内角和列式解答即可； 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，解答即可； （2）根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等量代换，差直角三角形的定义解答即可； （3）分和两种情况，利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 是一个钝角， 故是一个钝角三角形； ， ， ， ， ， ， 解得； ∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的定义）； （2）证明：是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的定义） ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 是差直角三角形． （3）解：，，， ， 点E在边上，且， 是一个钝角， 是差直角三角形， 或， 当时，此时， ， ， 过点E作于点F，根据题意，得， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的长为5或3.5． 例2．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)或 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【详解】（1）解：是； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：或．             ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 例3．（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 【答案】(1)AC (2)补全一般研究中的探究过程见解析 (3) 【分析】（1）由勾股四边形定义逐项验证即可得到答案； （2）由等边三角形性质，在中，由勾股定理可得，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到，从而由勾股四边形定义得证； （3）以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示，由旋转性质得到，，由等腰三角形性质得到，由勾股定理可得，从而在中，由勾股定理可得，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到，从而确定线段的关系． 【详解】（1）解：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． A、如图所示： ， 矩形是勾股四边形，符合题意； B、如图所示： 等腰梯形的任意两条邻边都不垂直， 等腰梯形不是勾股四边形，不符合题意； C、如图所示： ， 直角梯形是勾股四边形，符合题意； D、如图所示： 平行四边形的任意两条邻边都不垂直， 平行四边形不是勾股四边形，不符合题意； 故选：AC； （2）解：补全一般研究中的探究过程如下： 证明：以为边作等边三角形，连接，如图所示： ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， 在和中， ， ， ， 由勾股四边形定义可知，邻边平方和等于对角线的平方，故四边形为勾股四边形； （3）解：以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示： ，， ，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，， ，则， ， 在和中， ， ， , ，即， 故线段的关系是． 变式1．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，利用勾股定理即可得到结论； （2）利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （3）连接，，，，和相交于点，证明，推出四边形是垂美四边形，利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （4）利用圆的切线的性质和垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可． 【详解】（1）解：，理由如下: 由题得， ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， （负值舍去）； （3）解：如图，连接，，，，和相交于点， 矩形与矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是垂美四边形， ， ，、、三点共线， ， ， ，， ， ； （4）解：将矩形绕点逆时针旋转， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 为圆外一个定点， 当与相切时最大， ， ， 由（3）得， ， ． 变式2．（2026·宁夏银川·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．     操作判断： (1)用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_________（填序号）； 性质探究： (2)根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）； 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， （2）解：， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 变式3．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)如图②，若，以为直径作． ①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； ②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①是的切线，理由见解析；② 【分析】（）连接，由切线长定理可得，，，再证明，可得，即得，进而可得，得到，即可求证； （）①证明四边形是矩形，可得，即得，即可求证；②连接，由切线的性质得，由可得，即得，进而得到，可得，再根据得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内切圆，切点分别记为，，， ∴，，，，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①是的切线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②连接， ∵是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以函数为背景的新定义问题、以几何为背景的新定义问题专项训练 以函数为背景的新定义问题、以几何为背景的新定义问题专项训练 考点目录 以函数为背景的新定义问题 以几何为背景的新定义问题 考点一 以函数为背景的新定义问题 例1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 例2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 例3．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 变式1．（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 变式2．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 变式3．（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 考点二 以几何为背景的新定义问题 例1．（2026·山西太原·模拟预测）读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形． 由定义可知，差直角三角形一定是______三角形． 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形ABC中，，则的度数为______°． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F． 若，则图中是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据： ▲ ） ∴，． ∵， ∴……． 任务： (1)“定义对象”部分“▲”处为 ▲ （填“锐角”“直角”或“钝角”）； “定义运用”部分问题1的“▲”处为 ▲ ； 问题2的“▲”处为 ▲ ； (2)补全上述报告中问题2的推理过程； (3)如图3，已知中，，，，点E在BC边上，若是差直角三角形，则的长为______． 例2．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 例3．（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 变式1．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 变式2．（2026·宁夏银川·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．     操作判断： (1)用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_________（填序号）； 性质探究： (2)根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）； 变式3．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)如图②，若，以为直径作． ①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； ②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $