6.3 利用导数解决实际问题课时作业七-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数在实际问题中的应用，通过最值求解、瞬时变化率分析等题型，构建“实际情境—函数建模—导数应用”的逻辑链条，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数的实际意义|3题（单选3、4，多选5、6）|结合运动、膨胀率、温度变化考查瞬时变化率|从实际问题抽象函数关系，通过导数几何意义理解变化率本质| |利用导数求最值|5题（单选1、2，填空7、8，解答9）|涉及利润、体积、成本等最值问题|建立目标函数→求导找极值点→判断最值，体现函数建模与逻辑推理| |综合应用|1题（解答10）|结合体温变化考查平均变化率与瞬时下降速度|整合导数的平均与瞬时变化率，强化数学语言表达实际规律|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第六章）6.3 利用导数解决实际问题课时作业（七） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，(    ) A. B. C. D. 2.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，    A. B. C. D. 3.某物体沿直线运动，位移单位：与时间单位：的关系为，则该物体在时的瞬时速度是(    ) A. B. C. D. 4.已知气球的体积单位：与半径单位：之间的函数关系是，气球半径关于气球体积的导数被称为气球的瞬时膨胀率，则当气球的瞬时膨胀率为时，体积为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抹驱虫剂刚开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，寄生虫增加的幅度逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少若已知使用驱虫剂小时后寄生虫的数量大致符合函数，为的导数，则下列说法正确的是(    ) A. 驱虫剂可以杀死所有寄生虫 B. 表示时，寄生虫数量以的速度在减少 C. 若存在、，，使，则 D. 寄生虫数量在时的瞬时变化率为 6.某正方形铁板在时，边长为当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为设此时正方形的面积为，且，则(    ) A. B. 表示温度为时正方形面积的瞬时变化率 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为          ． 8.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万千克，每种植千克莲藕，成本增加元种植万千克莲藕的销售额单位：万元是，则要使利润最大，每年需种植莲藕          万千克． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量关于行驶速度的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距，设汽车的行驶速度为，从甲地到乙地所需时间为，耗油量为． 求函数及的解析式； 求当为多少时，取得最小值，并求出这个最小值． 10.本小题分 蜥蜴的体温变化与阳光的照射有关，已知两者间的关系式为，其中单位：为蜥蜴的体温，单位：为太阳落山后的时间． 从到，蜥蜴的体温下降了多少 从到，蜥蜴体温的平均变化情况怎么样它代表的实际意义是什么 求在第时，蜥蜴体温的下降速度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第六章) 6.3利用导数解决实际问题课时作业（七) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=10+100q,单价p与产量q的函 数关系式为p=2800-。q,则利润最大时，q() A.80 B.90 C.100 D.110 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查导数在实际问题中的应用，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于基础 题. 根据题意设利润为y,得到y=p9-C=-93+2700q-10,然后求导，根据函数的单 调性求最值即可. 【解答】 解：设利润为y,则y=pq-C=(2800-q)q-(10+100q)=-。q3+2700q-10. 因为y=q2+2700,当q=90,y'=0,所以当0<q<90时，y'>0,当q>90 时，y'<0,故利润最大时q=90.故选B. 第1页，共6页 2.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖 方盒，当方盒容积最大时，x=() A.2 B. c D.4 【答案】D 【解析】【分析】由题意确定容积关于x的函数表达式，求导，确定单调性即可求解。 【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为x∈(0,12)的小正方形， 所以无盖方盒的底面积为(24-2x)2,高为x. 设方盒的容积为V(x),则V(x)=4x3-96x2+576x(0<x<12), 令V′(x)=12x2-192x+576=12(x-4)(x-12)=0, 得x=4或x=12(舍去)， 当xE(0,4)时，V'(x)>0,V(x)单调递增， 当x∈(4,12)时，V′(x)<0,V(x)单调递减， 所以当x=4时，方盒容积最大. 3.某物体沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为y①=tP-t+1,则该 物体在t=5时的瞬时速度是() A.8 m/s B.9m/s C.10m/s D.11 m/s 【答案】B 【解析】解：根据导数的物理意义，沿直线运动的物体的瞬时速度为位移函数对时间的 导数值， 已知位移函数为y(①=t-t+1, 求导得y'①=2t-1,将t=5代入导函数得y'(5)=2×5-1=9, 故该物体在t=5时的瞬时速度为9m/s,故选B 4.已知气球的体积V(单位：L)与半径（单位：dm)之间的函数关系是V=4πr3,气球半 3 径r关于气球体积V的导数被称为气球的瞬时膨胀率，则当气球的瞬时膨胀率为二时， 体积为() A.IL B.2L c 第2页，共6页 【答案】D 【解折】解：两为v=,所以r层 所以r-x()x×() 当'-立×（兴）-时，解得V-华L。 故选：D 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抹驱虫 剂刚开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，寄生虫增加的幅 度逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少.若已知使用驱虫剂t小时后寄生虫的数 量大致符合函数ft=(t一47)et+50(0≤t<720),f(①为f)的导数，则下列说法正确的 是() A.驱虫剂可以杀死所有寄生虫 B.f(100)表示t=100时，寄生虫数量以52e-1o0的速度在减少 C.若存在a、b,a≠b,使fa=fb),则a+b<96 D.寄生虫数量在t=48时的瞬时变化率为0 【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查导数的基础知识，题目较易. 【解答】 解：f=(48-t)et,故D正确： 可得ft)在[0,48]单调递增，在[48,720)单调递减， 值域为[3，f48)],取不到0，故A错误： f(100)=-52e-100,故B正确： 借助函数的图象可知，>48，即a+b≥96，故C错误。 故选BD, 第3页，共6页 6.某正方形铁板在0℃时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩， 铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t℃时正方形的边长为10(1+0.001t)cm.设此 时正方形的面积为Scm,且S=f①，则() A.f1)=100.1 B.f'(O)表示温度为0℃时正方形面积的瞬时变化率 C.f2)=100.4004 D.f'(1)=0.2002 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查导数的定义，导数的运算的应用，属于基础题. 根据已知及导数的基本概念，导数的运算，可知哪几个正确. 【解答】 解：依题意可知ft=[10(1+0.001t)]2=100(1+0.001t)2. 设t=0时温度的改变量为△t,a=0.001, 则△f=0+△t)-i0=1001+a0+△]2-100+ax0Y=200a+100a2At △t △t △t 令△t→0，可得f'(0)=200a. 这表示在0℃时，铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.故B正确 f1)≠100.1，故A错误， f2)=100.4004,故C正确， 因为f(x)=200(1+0.001t),所以f(1)=0.2002,故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7某箱子的容积V与底面边长x的关系为Vs)=x(”)0<x<60,则当箱子的容积最 大时，箱子底面边长为一， 【答案】40 第4页，共6页 8.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植 1千克莲藕，成本增加1元种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是fx)=-x3+ x2+x,则要使利润最大，每年需种植莲藕一万千克。 【答案】5 【解析】【分析】根据题设有利润g(x)=fx)-2-x且0≤x≤10，再应用导数求其最 值，即可得 【详解】由题意，利润g(x)=fx)-2-x且0≤x≤10， 所以g=-x+x2-2,则g'凶=-x2+x=6-x, 当0≤x<5时，g'(x)≥0，即gx)在[0,5)上单调递增， 当5<x≤10时，g'(x)<0,即g(x)在(5,10]上单调递减， 所以x=5万千克，利润最大. 故答案为：5 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p(L)关于行驶速度xk)的函数解析式可以 表示为：p-×-品x+80<x三120)，已知甲、乙两地相距10m,设汽车的行驶 速度为xkh),从甲地到乙地所需时间为th),耗油量为y(L). (I)求函数t=g(x)及y=fx)的解析式： (2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值. 【答案】解：（①）从甲地到乙地汽车的行驶时间为t=g)=0<x≤120)， 则y=w)=pt=(x-品x+89-6x2+婴-0<x≤120. (2y' 800x3-803 6402, 由y'=0,得x=80,列出下表： 640x2 X (0,80) 80 (80,120) f'() 0 f(x) y 极小值11.25 所以，当x=80时，y取得极小值也是最小值11.25. 第5页，共6页 答：当汽车的行驶速度为80kmh时，耗油量最少为11.25L. 【解析】本题主要考查导数在解决实际问题中的应用，考查运用数学知识分析和解决实 际问题的能力. (I)先求得t=g(x),再由y=fx)=pt即可得答案； (2)利用导函数求出y=fx)的极小值判进而即可得到结果. 10.(本小题14分) 蜥蜴的体温变化与阳光的照射有关，已知两者间的关系式为T0=+15,其中T0(单 位：℃)为蜥蜴的体温，（单位：mn)为太阳落山后的时间. (1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少？ (②)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化情况怎么样？它代表的实际意义是什么？ (3)求在第5min时，蜥蜴体温的下降速度， 【答案】解：(T10)-T0)=器+15-(+15)=-16，即从t=0到t=10,蜥蜴的 体温下降了16℃. (2)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化率是T)-T@=6-1.6,它表示从t=0到 10-0 10 t=10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃. 6)烟为64-的-5器 12 △t △t 0品所以m(一0品)-12，它表示在t=5 △t→0 时，蜥蜴体温的下降速度为1.2℃min. 第6页，共6页高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第六章) 6.3利用导数解决实际问题课时作业（七) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=10+100q,单价p与产量q的函 数关系式为p=2800-。q,则利润最大时，q() A.80 B.90 C.100 D.110 2.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖 方盒，当方盒容积最大时，x=() A.2 B c D.4 3.某物体沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为y(①=t2-t+1,则该 物体在t=5时的瞬时速度是() A.8 m/s B.9m/s C.10m/s D.11 m/s 4.己知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：d)之间的函数关系是V=43,气球半径 3 1关于气球体积V的导数被称为气球的瞬时膨胀率，则当气球的瞬时膨胀率为二时，体积 4π 为() A.πL B.2πL C. D.L 第1页，共4页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫墩墩的主人每月定期给墩墩滴抹驱虫剂.刚 开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，寄生虫增加的幅度逐 渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少.若已知使用驱虫剂t小时后寄生虫的数量大 致符合函数f(=(t-47)et+50(0≤t<720),f(t为ft的导数，则下列说法正确的是 () A.驱虫剂可以杀死所有寄生虫 B.f(100)表示t=100时，寄生虫数量以52e1o0的速度在减少 C.若存在a、b,a≠b,使fa=fb),则a+b<96 D.寄生虫数量在t=48时的瞬时变化率为0 6.某正方形铁板在0℃时，边长为10c.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩， 铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t℃时正方形的边长为10(1+0.001t)cm.设此 时正方形的面积为Scm,且S=f),则() A.f1)=100.1 B.f(O)表示温度为0℃时正方形面积的瞬时变化率 C.f2)=100.4004 D.f(1)=0.2002 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某箱子的容积V与底面边长x的关系为Vx)=x(0,)0<x<60),则当箱子的容积最 大时，箱子底面边长为 8.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植 1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是x)=一x+ x2+x,则要使利润最大，每年需种植莲藕一万千克。 第2页，共4页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p(L)关于行驶速度xk/h)的函数解析式可以 表示为：p-0×-高x+80<x≤120).已知甲、乙两地相距100，设汽车的行驶 速度为xkh),从甲地到乙地所需时间为h),耗油量为y(L. (I)求函数t=g(x)及y=fx)的解析式： (2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值， 第3页，共4页 10.(本小题14分) 姊蜴的体温变化与阳光的照射有关，已知两者间的关系式为T0-需+15，其中T0(单 位：C为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间. (1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化情况怎么样？它代表的实际意义是什么？ (3)求在第5min时，蜥蜴体温的下降速度， 第4页，共4页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第六章）6.3 利用导数解决实际问题课时作业（七） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数在实际问题中的应用，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于基础题． 根据题意设利润为，得到 ，然后求导，根据函数的单调性求最值即可． 【解答】 解：设利润为，则． 因为，当，，所以当时，，当时，，故利润最大时．故选 B． 2.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】由题意确定容积关于的函数表达式，求导，确定单调性即可求解． 【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为的小正方形， 所以无盖方盒的底面积为，高为． 设方盒的容积为，则， 令， 得或舍去， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，方盒容积最大． 3.某物体沿直线运动，位移单位：与时间单位：的关系为，则该物体在时的瞬时速度是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据导数的物理意义，沿直线运动的物体的瞬时速度为位移函数对时间的导数值， 已知位移函数为， 求导得，将代入导函数得， 故该物体在时的瞬时速度为，故选B． 4.已知气球的体积单位：与半径单位：之间的函数关系是，气球半径关于气球体积的导数被称为气球的瞬时膨胀率，则当气球的瞬时膨胀率为时，体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为，所以， 所以， 当时，解得． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抹驱虫剂刚开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，寄生虫增加的幅度逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少若已知使用驱虫剂小时后寄生虫的数量大致符合函数，为的导数，则下列说法正确的是(    ) A. 驱虫剂可以杀死所有寄生虫 B. 表示时，寄生虫数量以的速度在减少 C. 若存在、，，使，则 D. 寄生虫数量在时的瞬时变化率为 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查导数的基础知识，题目较易． 【解答】 解：，故D正确； 可得在单调递增，在单调递减， 值域为，取不到，故A错误； ，故B正确； 借助函数的图象可知，，即，故C错误． 故选BD． 6.某正方形铁板在时，边长为当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为设此时正方形的面积为，且，则(    ) A. B. 表示温度为时正方形面积的瞬时变化率 C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查导数的定义，导数的运算的应用，属于基础题． 根据已知及导数的基本概念，导数的运算，可知哪几个正确． 【解答】 解：依题意可知． 设时温度的改变量为，， 则 令，可得． 这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为故B正确 ，故A错误， ，故 C正确， 因为，所以，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为          ． 【答案】  8.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万千克，每种植千克莲藕，成本增加元种植万千克莲藕的销售额单位：万元是，则要使利润最大，每年需种植莲藕          万千克． 【答案】  【解析】【分析】根据题设有利润且，再应用导数求其最值，即可得． 【详解】由题意，利润且， 所以，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以万千克，利润最大． 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量关于行驶速度的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距，设汽车的行驶速度为，从甲地到乙地所需时间为，耗油量为． 求函数及的解析式； 求当为多少时，取得最小值，并求出这个最小值． 【答案】解：从甲地到乙地汽车的行驶时间为，    则． ，由，得，列出下表： 极小值 所以，当时，取得极小值也是最小值． 答：当汽车的行驶速度为时，耗油量最少为    【解析】本题主要考查导数在解决实际问题中的应用 ，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力． 先求得，再由即可得答案； 利用导函数求出的极小值判进而即可得到结果． 10.本小题分 蜥蜴的体温变化与阳光的照射有关，已知两者间的关系式为，其中单位：为蜥蜴的体温，单位：为太阳落山后的时间． 从到，蜥蜴的体温下降了多少 从到，蜥蜴体温的平均变化情况怎么样它代表的实际意义是什么 求在第时，蜥蜴体温的下降速度． 【答案】解：，即从到，蜥蜴的体温下降了． 从到，蜥蜴体温的平均变化率是，它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降． 因为，所以，它表示在时，蜥蜴体温的下降速度为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $