6.3 利用导数解决实际问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.3　利用导数解决实际问题 1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（　　） A.13万件　B.11万件　C.9万件　 D.7万件 2.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（　　） A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 3.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“知名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该系列的调研得知，A系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（单位：百元/千克）近似满足关系式f（x）＝＋2（x－7）2，其中4＜x＜7，a为常数.已知销售价格为6百元/千克时，每日可售出A系列3千克.若A系列的成本为4百元/千克，则该商场每日销售A系列所获最大利润（单位：百元）为（　　） A.10 B.12 C.14 D.16 4.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）和圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高的比为1∶3，则该模型的体积最大值为（　　） A.40π B.80π C.160π D.180π 5.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为（　　） A.25 km/h B.20 km/h C.15 km/h D.30 km/h 6.某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P（元/吨）与产量x（吨）之间的关系式为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x（元），为使利润最大，则产量应为（　　） A.200吨 B.20吨 C.150吨 D.100吨 7.某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为　　　　. 8.某厂生产某种产品x件的总成本C（x）＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为　　　　　件. 9.某游泳馆计划对泳池进行检修.已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的一侧较短池壁长度为x，且据估计两侧较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k（k＞0），较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为　　　　. 10.统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）与行驶速度x（千米/小时）之间的关系为y＝x3－x＋8（0＜x＜120）. （1）当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ （2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 11.如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH体积的最大值为（　　） A. B. C. D. 12.某银行贷款年利率为r（r＞0），按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a，b，则a，b的大小关系是　　　　. 13.工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝（c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元. （1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝×100%） 14.从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，AC＝8（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f（x）＝k图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为　　　　. 15.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S（单位：m2），∠AON＝θ（单位：弧度）. （1）将S表示为θ的函数； （2）当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　利用导数解决实际问题 1.C　y'＝－x2＋81，令y'＝0，解得x＝9或x＝－9（舍去），当0＜x＜9时，y'＞0；当x＞9时，y'＜0. 所以当x＝9时，y取得极大值同时为最大值. 2.C　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4xh＋x2＝4x·＋x2＝＋x2，S'＝2x－，令S'＝0，得x＝8，因此h＝＝4（m）. 3.A　由题意f（6）＝3，即3＝＋2，故a＝2，利润y＝f（x）（x－4）＝2＋2（x－7）2（x－4），y'＝2[（2x－14）（x－4）＋（x－7）2]＝6（x－7）（x－5），则y在（4，5）上单调递增，在（5，7）上单调递减，故ymax＝2＋2×4＝10（百元），故选A. 4.C　设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，底面圆半径为r＝，则该模型的体积V＝πr2·3h＋πr2·h＝h（36－h2）π.令f（x）＝－x3＋36x，则f'（x）＝－3x2＋36，由f'（x）＝0得x＝±2，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，当h＝2时，Vmax＝160π，故选C. 5.B　因为轮船航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，可设比例系数为k（k＞0），则6＝k·103，求得k＝，所以航行每千米的总费用为y＝·，利用导数可求得当y取最小值时v＝20. 6.A　利润L＝P·x－R＝x－50 000－200x＝－x3＋24 000x－50 000（x＞0），L'＝－x2＋24 000，令L'＝0，得x2＝40 000.所以x＝200.经检验，当x＝200时利润最大. 7.　解析：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h（0＜h＜2），则r2＋（）2＝1，r2＝1－，∴中空圆柱的体积V＝πr2（2＋h）＝π（1－）·（2＋h）.V'＝－π（h2＋h－1），可得当h∈（0，）时，V'＞0，当h∈（，2）时，V'＜0，则当h＝时，V取得最大值π，又毛坯的体积为π×12×2＋π×13＝，∴该模具体积的最小值为－π＝. 8.25　解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200（x＞0），y'＝－x2，由y'＝0，得x＝25，x∈（0，25）时，y'＞0，x∈（25，＋∞）时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为最大值. 9.25　解析：由题可知池底面积为＝1 250为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定.又x表示一侧较短池壁长，则0＜x＜⇒0＜x＜25，则池壁维修费用表达式为2×x＋.设f（x）＝x＋，0＜x＜25，则f'（x）＝－＝，令f'（x）＝0⇒x＝25，则f'（x）＞0⇒25＜x＜25，f'（x）＜0⇒0＜x＜25，得f（x）在（0，25）上单调递减，在（25，25）上单调递增，即f（x）min＝f（25）. 10.解：（1）当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝（小时），要耗油×＝11.95（升）. （2）设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得， ×＝22.5， ∴a＝， 设h（x）＝x2＋－， 则当h（x）最小时，a取最大值， h'（x）＝x－＝， 令h'（x）＝0，解得x＝80， 当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减； 当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增， ∴当x＝80时，h（x）取得极小值同时为最小值， 此时a取最大值为a＝＝200. 故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米. 11.D　根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，设GC＝x，则有PG2＝（10－x）2＋102，OF＝OG＝x，设四棱锥的高为h，则h2＝PG2－OG2＝200－20x，底面正方形EFGH的面积S＝4×S△OFG＝2x2，∴ 正四棱锥P-EFGH的体积V＝x2 .令t＝，则x＝，0≤t2＜200，则V＝（）2t，V'＝·（t2－200）（5t2－200），当40＜t2＜200时，V'＜0，V单调递减；当0≤t2＜40 时，V单调递增，∴当t2＝40 时，V取最大值，∴Vmax＝（）2× ＝.故选D. 12.a＜b　解析：按年计息：a＝p（1＋r）（r＞0），按月计息：b＝p（r＞0），则a－b＝p（1＋r）－p＝p［（1＋r）－］.令f（r）＝p［（1＋r）－］（r＞0），f'（r）＝p＜0，所以f（r）＜f（0）＝0，故a＜b. 13.解：（1）当x＞c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0； 当0＜x≤c时，p＝， ∴y＝·x·3－·x·＝. ∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为 y＝（c为常数，且0＜c＜6）. （2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0. 当0＜x≤c时，∵y＝， ∴y'＝·＝， 令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去）， ∴①当0＜c＜3时，y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴y最大值＝f（c）＝. ②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0，∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减. ∴y最大值＝f（3）＝. 综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 14.　解析：因为曲线AB是函数f（x）＝k（0≤x≤4）的图象，点B的坐标为（4，4），所以4＝k·，故k＝2，所以f（x）＝2（0≤x≤4）.设线段BC对应的函数解析式为y＝mx＋n（4≤x≤8），因为直线BC经过点（4，4），（8，0），所以m＝－1，n＝8，所以y＝－x＋8（4≤x≤8）.设AD＝t（0＜t＜4），则点E的坐标为（t，2），由2＝－x＋8可得x＝8－2，所以点F的坐标为（8－2，2），所以DC＝8－t，EF＝8－2－t，DE＝2，所以直角梯形CDEF的面积S＝（8－2－t＋8－t）·2＝－2－2t＋16（0＜t＜4），所以S'＝－3－2＋＝＝，令S'＝0，可得t＝，当0＜t＜时，S'＞0，函数S＝－2－2t＋16在（0，）上单调递增，当＜t＜4时，S'＜0，函数S＝－2－2t＋16在（，4）上单调递减，所以当t＝时，函数S＝－2－2t＋16取最大值，最大值为. 15.解：（1）BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈（0，π）. 则S＝MB·AB＝×100sin θ×（100＋100cos θ） ＝5 000（sin θ＋sin θcos θ），θ∈（0，π）. （2）S'＝5 000（2cos2θ＋cos θ－1） ＝5 000（2cos θ－1）（cos θ＋1）. 令S'＝0， 得cos θ＝或cos θ＝－1（舍去）， 此时θ＝. 当θ变化时，S'，S的变化情况如下表： θ S' ＋ 0 － S 单调递增 极大值 单调递减 所以，当θ＝时，S取得极大值且为最大值Smax＝3 750 m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $