6.3 利用导数解决实际问题 6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

6.3　利用导数解决实际问题 6.4　数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系 基础过关练 题组一　利润最大问题 1.(2024广东佛山质检)已知某商品的进价为4元,通过市场调查发现,该商品的市场销量y(件)与商品售价x(元)的关系为y=e-x,则当此商品的利润最大时,该商品的售价为(　　) A.5元　　　B.6元　　　 C.7元　　　D.8元 2.(2025吉林长春第六中学月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤莲藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤莲藕,利润是万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕(　　) A.7万斤　　　B.8万斤　　　 C.9万斤　　　D.10万斤 3.(2025北京交通大学附属中学第二分校期中)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm,则当每瓶饮料的利润最大时,瓶子的半径为　　　　cm.(1 mL=1 cm3)  题组二　表面积、体积最大(小)值问题 4.(2025天津第五中学适应性考试)现有一个用橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为(　　) A.20π　　　B.24π　　　C.28π　　　D.32π 5.(2025山东枣庄滕州第一中学月考)长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭,是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭,长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)+圆柱形,由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作整流罩模型,将其近似为一个圆柱和圆锥组成的几何体,如图所示,若圆锥的母线长为6,且圆锥的高与圆柱高的比为1∶3,则该模型体积的最大值为(　　) A.40π　　　B.80π C.160π　　　D.180π 6.已知△ABC是边长为2的等边三角形,E,F分别在AB,AC上滑动(不含端点),EF∥BC,沿EF把△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB,PC,则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为(　　) A.2　　　B.　　　 C.3　　　D.2 7.(2025山东重点高中联考)如图,在半径为4的四分之一圆(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设AB=x,圆柱的体积为V. (1)求出V关于x的函数关系式,并指出定义域; (2)当x为何值时,该圆柱形罐子的体积V最大?最大体积是多少? 题组三　用料最省、费用最低问题 8.(2025云南师范大学附属中学月考)网购已成为人们习以为常的生活方式,大量的网购增加了人们对快递的需求,快递量几何级增长,快递包装箱的需求量也十分惊人.瓦楞纸板是最主要的快递包装材料,如何使用更少的纸板来包裹更多的物品,这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题.现某商家需设计一体积为0.02立方米的纸箱,要求纸箱的底面必须为正方形,为了保护易碎的商品,纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成.已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/平方米,则一个纸箱的成本最低约为(参考数据:≈0.22,≈0.27)(　　) A.0.32元　　　B.0.44元　　　 C.0.56元　　　D.0.64元 9.(多选题)(2025江西南昌中学期中)如图所示,设铁路AB=60,AB⊥BC,B,C间的距离为8.现将货物从A运往C,已知单位距离铁路运费为3,公路运费为5,如果在AB(不含两端)上的点M处修筑公路至C,使由A至C的运费最少.则下列正确的是(　　) A.点M到B的距离为4 B.由A至C的运费最少为212 C.点M到C的距离为12 D.由M到C的运费是50 10.(2025山东济宁实验中学月考)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱,左右两端均为半球,按照设计要求,容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱部分每平方米的建造费用为3千元,半球部分每平方米的建造费用为4千元.设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最少时的r,并求出最少建造费用. 能力提升练 题组一　利用导数解决生活中的最值问题 1.(2024河北保定部分高中月考)已知四个城市坐落在正方形ABCD的四个顶点处,正方形的边长为200 km,现要修建高铁连接这四个城市,设计师设计了图中的连接路线(路线由五条实线段组成,且路线上、下对称,左、右对称),则路线总长(单位:km)的最小值为(　　) A.300　　　B.300+100 C.600　　　 D.200+200 2.(2024吉林长春第五中学月考)某游泳馆打算对泳池进行检修,已知泳池深度为2 m,容积为2 500 m3,池底每平方米的维修费用为150元,设入水处的较短池壁长度为x m,且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比,比例系数为k(k>0),较长的池壁总维修费用为元,则当泳池的维修费用最少时,x的值为　　　　.  3.(2025上海华东师范大学第一附属中学月考)某公园有一个长方形地块ABCD,AB的长为千米,AD的长为4千米,图中阴影部分是水塘,已知曲线AC是以A为顶点,AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分.现要经过曲线AC上某一点P(异于A,C两点)铺设一条直线隔离带MN,点M,N分别在边AB,BC上,隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘,设点P到边AD的距离为t千米,△BMN的面积为S平方千米,则S的最大值为　　　　.  4.(2025北京人大附中统考)某商场在“五一”劳动节期间,要对某商品进行调价,已知该商品的每日销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:百元/千克)满足y=+,其中≤x≤,该商品的成本为1百元/千克. (1)将该商场每日销售该商品所获利润f(x)表示为关于销售价格x的函数; (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时,销售价格分别是多少?(参考数据:e2≈7.389,≈4.482,≈12.182) 5.(2024辽宁部分名校质检)某地准备在山谷中建一座桥梁,其竖直截面图如图所示,谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米. (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE的长为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价为k(万元),桥墩CD每米造价为k(万元)(k>0),当O'E的长为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低? 题组二　利用导数解决几何中的最值问题 6.在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高等于(　　) A.　　　B.　　　 C.　　　D. 7.(多选题)(2024河南TOP二十名校联考)将圆柱O1O2的下底面圆O1置于球O的一个水平截面内,恰好使得O1与水平截面圆的圆心重合,圆柱O1O2的上底面圆O2的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱O1O2内部).已知球O的半径为3,OO1=,若R为上底面圆O2的圆周上任意一点,设RO与圆柱O1O2的下底面所成的角为α,圆柱O1O2的体积为V,则(　　) A.α可以取到中的任意一个值 B.V=cos 2α(1+2sin α) C.V∈ D.Vmax= 8.已知直角三角形 ABC的两直角边的长之和为3,将△ABC绕其中一条直角边所在直线旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为　　　　,此时该旋转体的外接球的表面积为　　　　.  9.如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱,且小圆柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 基础过关练 1. A　设商品的利润为f(x)元,则f(x)=(x-4)e-x,x>0, f'(x)=e-x-(x-4)e-x=(5-x)e-x. 当x>5时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当0<x<5时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 所以当x=5时,函数f(x)取得最大值. 2.B　设销售利润为g(x)万元,则g(x)=-x3+ax2+x-(2+x)=-x3+ax2-2,0<x≤10, 由已知得-×33+9a-2=,解得a=2, 故g(x)=-x3+2x2-2,0<x≤10,则g'(x)=-x2+4x=-x(x-8), 令g'(x)>0,得0<x<8,令g'(x)<0,得8<x≤10,则g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10]上单调递减,故g(x)在x=8处取得极大值,也是最大值, 故要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤. 3.答案　6 解析　设每瓶饮料的利润为f(r)分, 则f(r)=0.2×r3-0.8πr2=,r∈(0,6], 则f'(r)=(r2-2r)=r(r-2), 所以当r∈(0,2)时, f'(r)<0,函数f(r)在(0,2)上单调递减,当r∈(2,6)时, f'(r)>0,函数f(r)在(2,6)上单调递增, 又f(0)=0, f(6)=π,所以当r=6时,函数f(r)取得最大值, 即当半径为6 cm时,每瓶饮料的利润最大. 4.B　由题意可得圆柱和圆锥的体积相等, 底面半径为4,高为3的圆锥的体积为×π×42×3=16π, 底面半径为r,高为h的圆柱的体积为πr2h, 所以πr2h=16π,所以r2h=16,即h=. 圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·=2πr2+,则S'=4πr-=. 令S'>0,可得r>2,令S'<0,可得0<r<2, 所以r=2时,圆柱的表面积有极小值,也是最小值,为2π×22+=24π. 5.C　设圆锥的高为h,则圆柱的高为3h,底面圆半径r=,则该模型的体积V=πr2·3h+πr2·h=h(36-h2)π, 令f(x)=-x3+36x,x>0,则f'(x)=-3x2+36, 令f'(x)=0,得x=2或x=-2(舍去), 当0<x<2时,f'(x)>0,当x>2时,f'(x)<0, 则f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故当x=2时,f(x)有最大值,即当h=2时,Vmax=160π. 6.D　易知当四棱锥P-BCFE的体积最大时,平面PEF与平面BCFE垂直. 在△ABC中,作AM⊥BC于M,交EF于N, 则易得AN⊥EF,AM=AC·sin C=3. 设NF=x,则EF=2x,AN=x,则NM=3-x. 此时S梯形BCFE=(2x+2)×(3-x)=(3-x2), 故四棱锥P-BCFE的体积V=×(3-x2)×x=x(3-x2)=3x-x3,x∈(0,). 设f(x)=3x-x3,x∈(0,),则f'(x)=3-3x2, 令f'(x)=0,得x=1(负值舍去), 故f(x)=3x-x3在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.故f(x)的最大值为f(1)=2, 所以四棱锥P-BCFE的体积的最大值为2. 7.解析　(1)在Rt△OAB中,OA=,0<x<4, 设圆柱的底面半径为r,则=2πr,即16-x2=4π2r2,即r2=, 所以V=πr2x=,定义域为{x|0<x<4}. (2)由(1)得V=,0<x<4,则V'=, 令V'=0,即=0,所以x=(负值舍去), 当0<x<时,V'>0,当<x<4时,V'<0, 所以V=上单调递增,在上单调递减. 当x=时,圆柱形罐子的体积V最大,最大体积是=. 8.C　由题意知该纸箱为正四棱柱形,设其底面边长为a米,侧棱长为h米,体积为V立方米,所有瓦楞纸板的面积为S平方米,一个纸箱的成本为P元, 则V=a2h=0.02,S=4a2+4ah, 所以P=1×(4a2+4ah)=4=4,a>0, 则P'=4,令P'=0,得a=. 当0<a<时,P'<0,此时P=4单调递减;当a>时,P'>0,此时P=4单调递增, 故当a=时,P有最小值, 所以Pmin=4×≈4×≈0.56. 故一个纸箱的成本最低约为0.56元. 9.BD　设MB=x,则铁路AM上的运费为3(60-x),公路MC上的运费为5, 所以由A到C的运费y=3(60-x)+5(0<x<60). 易得y'=-3+(0<x<60). 令y'=0,得x=6. 所以当0<x<6时,y'<0;当6<x<60时,y'>0, 所以当x=6时,y取得最小值,且ymin=3×54+50=212,所以当点M到点B的距离为6时,从A至C的总运费最少,为212,此时MC=10,由M到C的运费是10×5=50. 10.解析　(1)由题意可得,πr2l+r3=π(l≥2r), 故l=-r≥2r,则0<r≤2, 所以y=2πrl×3+4πr2×4=6πr+16πr2=+8πr2,定义域为{r|0<r≤2}. (2)由(1)知y'=-+16πr=, 当0<r≤2时,y'<0,函数y=+8πr2单调递减, 故当r=2时,y有最小值,此时ymin=112π, 因此可得该容器的建造费用最少时的半径为2米,最少建造费用为112π千元. 能力提升练 1.D　设∠EAB=θ,θ∈,则AE= km,EF=(200-200tan θ)km, 所以路线总长(单位:km)为4AE+EF=+200-200tan θ=200. 令f(θ)=,θ∈, 则f'(θ)==, 当θ∈时, f'(θ)<0, f(θ)单调递减,当θ∈时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增, 所以f(θ)的最小值是f =,则路线总长(单位:km)的最小值为200+200. 2.答案　25 解析　由题可知池底面积为=1 250(m2),为定值,即池底维修费用为定值,则泳池的维修费用的多少由池壁维修费用决定. 由题意得0<x<,即0<x<25,池壁维修费用(元)为2×x+,k>0,0<x<25. 设f(x)=x+,k>0,0<x<25, 则f'(x)=-=, 令f'(x)>0,得25<x<25,令f'(x)<0,得0<x<25, 所以f(x)在(0,25)上单调递减,在(25,25)上单调递增,故当x=25时,f(x)取最小值,此时泳池的维修费用最少. 3.答案　 解析　如图,以A为原点建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(,0),C(,4),D(0,4), 由题意设AC所在抛物线的方程为y=ax2,将点C的坐标代入,得4=2a,解得a=2,所以抛物线方程为y=2x2, 由题意知直线MN为抛物线的切线, 因为点P到边AD的距离为t(0<t<),所以切点P的坐标为(t,2t2), 由y=2x2,得y'=4x,所以直线MN的斜率为4t, 所以直线MN的方程为y-2t2=4t(x-t),即y=4tx-2t2, 令y=0,得x=,所以M, 令x=,得y=4t-2t2,所以N(,4t-2t2), 所以S=MB·BN=×(4t-2t2)=t3-2t2+4t, 则S'=t2-4t+4=(t-2)(3t-2),0<t<, 所以当0<t<时,S'>0,函数S=t3-2t2+4t单调递增,当<t<时,S'<0,函数S=t3-2t2+4t单调递减, 所以当t=时,S取得最大值,为×-2×+4×=. 4.解析　(1)由题意得f(x)=(x-1)·=+ex,≤x≤. (2)由(1)知f'(x)=-+ex=,≤x≤. 设g(x)=ex(x-1)2-e2,≤x≤, 则g'(x)=ex(x-1)2+ex·2(x-1)=ex(x-1)(x+1), 因为≤x≤,所以g'(x)>0, 所以函数g(x)在上单调递增. 又g(2)=e2-e2=0,所以当≤x<2时,g(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)在上单调递减;当2<x≤时,g(x)>0,即f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增. 又f =2e2+≈2×7.389+4.482=19.26,f =e2+×7.389+12.182=17.108, 所以当销售单价为百元/千克时,每日销售该商品所获利润最大;当销售单价为2百元/千克时,每日销售该商品所获利润最小. 5.解析　(1)设AA1,BB1都与MN垂直,A1,B1是相应垂足. 由条件知,O'B=40,故BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160. 由O'A2=160,得O'A=80, 所以AB=O'A+O'B=80+40=120, 所以桥AB的长度为120米. (2)以O为原点,OO'所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示). 设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x, EF=160-y2=160+x3-6x. 因为CE=80,所以O'C=80-x. 设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2, 所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x. 记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元, 则f(x)=k+k =k(0<x<40), f'(x)=k=x(x-20), 令f'(x)=0,得x=20. 当x变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (0,20) 20 (20,40) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当x=20时, f(x)取得极小值,也是最小值. 故当O'E的长为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低. 6.D　如图,设正三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,连接AO并延长,交底面BCD于E,则AE⊥平面BCD,连接DE并延长,交BC于F,则DF⊥BC,连接OD. 设正三棱锥的底面边长为a,高为h, 由题易得OE=h-4,DE=a, 则在直角三角形OED中,OD2=OE2+DE2,即42=(h-4)2+,整理得8h-h2=, ∵>0,∴8h-h2>0,∴0<h<8. ∵正三棱锥的体积V=×a2h=(8h-h2)h=(8h2-h3),0<h<8,∴V'=(16h-3h2),0<h<8, 令V'=0,解得h=或h=0(舍去), ∴函数V=(8h2-h3)在上单调递增,在上单调递减,∴当h=时,V取得最大值. 7.BD　过R作圆柱O1O2的轴截面PQRS,过O作MN⊥O1O2,分别交QR,SP于M,N. 因为RO与圆柱的下底面所成的角为α,所以∠ROM=α,所以OM=3cos α,MR=3sin α, 所以V=π·OM2·QR=π(3cos α)2(OO1+3sin α)=cos2α(1+2sin α)=(1-sin2α)·(1+2sin α),故B正确. 当点P,Q均在球面上时,角α取得最小值,此时OO1=OO2=,所以α=,所以α∈,故A错误. 令sin α=t,则t∈,V=(1-t2)(1+2t)=(-2t3-t2+2t+1),所以V'=(-6t2-2t+2). 令-6t2-2t+2=0,得t=或t=, 所以当t∈时,V'<0, 所以V=(-2t3-t2+2t+1)在上单调递减, 所以Vmax=×=,所以0<V≤,故C错误,D正确. 8.答案　π;25π 解析　设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,则a+b=3,不妨设以长度为b的直角边所在直线为轴进行旋转,易知形成的旋转体为圆锥,其体积V=πa2b=πa2(3-a)(0<a<3),则V'=πa(2-a), 令V'=0,解得a=0(舍去)或a=2, 所以当0<a<2时,V'>0;当2<a<3时,V'<0, 所以当a=2时,所形成旋转体的体积最大,最大值为π,此时圆锥的底面半径为2,高为1. 设外接球的半径为R,则R2=(R-1)2+22,解得R=.所以该旋转体的外接球的半径为,其表面积为4πR2=25π. 9.答案　 解析　由题意,设小圆柱的底面半径为cos θ, 则高为1+sin θ,θ∈, 小圆柱的体积V=π·cos2θ·(1+sin θ), 设sin θ=t,t∈(0,1), 则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t2+t+1), V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1), 令V'=0,得t=(负值舍去). 故当0<t<时,V'>0,当<t<1时,V'<0, 所以当t=时,Vmax=. 21 学科网（北京）股份有限公司 $