期末备考专项讲与练14——空间几何体的截面问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材典例为源，系统整合球、锥体、正方体截面问题的核心方法，构建“原理-分类-应用”的知识逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|7道教材原题|截面作图与位置关系分析|从具体情境引入截面概念| |基础知识|3类核心原理|球截面公式、锥体截面相似比、正方体截面分类|提炼公式与性质，形成理论框架| |跟踪训练|16道综合题|截面形状判断、面积计算、最值问题|通过不同题型实现原理应用与拓展|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练14 测试范围：空间几何体的截面问题 回归教材： 【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【人教B版必修四03复习题A组第6题】过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积． 【人教B版必修四03复习题A组第8题】已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【人教B版必修四03复习题C组第3题】一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 【基础知识】 1、球心与截面圆圆心的连线与截面圆的位置关系： 如图， 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球心到截面圆的距离为，球半径为，截面圆半径为，则有． 2、锥体中平行于底面的截面的性质：锥体中平行于底面的截面是与底面相似的图形，在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体中， 有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比， 对应线段（如高、斜高、底面边长等）的立方之比． 3、正方体的截面可能出现的形状： ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为）的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例如下： 跟踪训练： 一、单选题 1．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ） A． B． C． D．2 3．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 5．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 9．如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（    ）． A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B．截面形状可能是五边形 C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D．的最小值为 三、填空题 10．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________. 11．已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为______． 12．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 14．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 四、解答题 15．如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 16．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 17．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练14 测试范围：空间几何体的截面问题 回归教材： 【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【答案】画线见解析． 【分析】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定． 【解析】过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求． 考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用． 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交. 【分析】（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.根据直线与平面平行的性质定理和平行公理，画出所需要的线段. （2）根据（1）的分析，结合线面平行的判定定理可知，所画直线与平面平行.显然所画直线与平面相交. 【详解】（1）如图所示，在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点连接，则就是应画的线.理由是:由于平面，平面,平面平面，所以.由于，所以，所以四点共面. （2）由（1）知，，而在平面内，在平面外，所以平面.显然，都与平面相交. 【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理和判定定理，考查平行公理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 【人教B版必修四03复习题A组第6题】过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积． 【答案】16 【详解】正四棱台中截面边长为，且为正方形，所以面积为16． 【人教B版必修四03复习题A组第8题】已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据轴截面是正三角形，明确与的关系，再代入圆锥的侧面积公式可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以母线，所以. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可得的长度，然后再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，，又，，又， 则的面积为. 【人教B版必修四03复习题C组第3题】一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线；三种情况得到答案. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）； 当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）. 【点睛】本题考查了截面图形，漏解是容易发生的错误. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 【答案】 【详解】试题分析：三棱锥中两两互相垂直，所以三棱锥外接球与以为临边的正方体外接球是相同的，由半径为可得,由得P到平面的距离为，所以球心到截面的距离为 点评：本题根据三棱锥的特点将其转化到正方体上，使其容易确定球心位置 【基础知识】 1、球心与截面圆圆心的连线与截面圆的位置关系： 如图， 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球心到截面圆的距离为，球半径为，截面圆半径为，则有． 2、锥体中平行于底面的截面的性质：锥体中平行于底面的截面是与底面相似的图形，在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体中， 有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比， 对应线段（如高、斜高、底面边长等）的立方之比． 3、正方体的截面可能出现的形状： ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为）的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例如下： 跟踪训练： 一、单选题 1．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则.在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，，∴，故截面为平行四边形，∴在木块表面画线的总长度为.故选：B. 2．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示： 因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以，从而截面是平行四边形，所以，所以，又，所以，又因为截面的周长为4，所以，所以，所以正四面体的表面积为.故选：A 3．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，连接，交于，连接，交于，连接，.则五边形即为过与该正方体的截面.故选：C. 4．如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】先根据面面平行得到，，然后确定当，，三点共线时，最小，进而得出结果. 【详解】由题意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，则周长，沿将相邻两四边形展开，当，，三点共线时，最小，最小值为5，所以周长的最小值为10. 5．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为，则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，则，所以，则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为，此时面积，可知当时，即时，面积最大，此时面积. 6．在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形，不妨设正方体棱长为1，则，所以，又，所以．同理可得，，可知截得较小部分体积，所以，又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为．故选：C． 7．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图，因为正方体中，分别是棱的中点，所以，所以四点共面.由正方体的棱长为2，可得，，所得截面周长为，故选：B. 二、多选题 8．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中，为线段上任意一点（不与端点重合），此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行，此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，，此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形.故A、B、C正确，D错误. 9．如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（    ）． A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B．截面形状可能是五边形 C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据当A，P，C三点共线时以及勾股定理得到，当AB的中点在上时分析得到截面图形为矩形，再求截面面积求解选项A.分析平面可能与正方体的几个侧面相交，进而分析截面图形，求解选项BC.利用展开图及余弦定理求解即求解选项D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取AB的中点E，连接ME，EP，MP， 则，解得，记AB中点为E，连接CM，CE，ME， 显然有，，故点在上，则截面图形为矩形，又，所以，则截面图形的面积为，故A错误； 对于B， 如图所示，当P在线段上，且靠近时，平面与正方体五个面相交，得到五个交点，截面为五边形.对于C，当P在线段OB上时，平面仅与平面，平面，平面，以及平面相交，得到四个交点，截面为四边形，C正确. 对于D，将沿BD向下翻折与平面共面，连接， 则的最小值即为线段的长度，P为与BD的交点，因为，所以由余弦定理得，则，故D正确． 三、填空题 10．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________. 【答案】 【详解】VB∥平面DEFP，平面DEFP平面VAB=PF，所以VB∥PF．同理，VB∥DE，EF∥AC，PD∥AC，所以四边形DEFP是平行四边形，且边长均为．易证，正四面体对棱垂直，所以VBAC，即PFEF．因此四边形DEFP为正方形，所以其面积为． 11．已知正方体的各顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则平面截球所得的截面面积为______． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出正方体的棱长，再求出外接圆面积即可. 【详解】由球的表面积为，得球的半径为，则正方体的体对角线长为， 正方体的棱长为2，则正边长为，其外接圆半径， 则外接圆面积为，所以平面截球所得的截面面积为. 12．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，过点作交、于点、，取、的三等分、（靠近、），连接、、，即可得到四边形即为所求截面，再证明平面，即可得到，从而求出截面面积. 【详解】取的中点，连接，，则在上且，过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、），取、的三等分、（靠近、），连接、、，则且，且，且，且，所以且，且，所以四边形即为所求截面， 又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四边形为矩形，所以截面面积为. 14．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则，则，即，解得，故球的表面积为；过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小；设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则，故只需d最大，此时截面圆与垂直，即， 故， 四、解答题 15．如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据线面平行的性质即可推出截面为平行四边形. （2）首先确定截面面积取最大值时的点的位置，然后根据边角关系和基本不等式的性质可求得截面面积的最大值. 【详解】（1）由题意知，平面，平面，因为平面平面， 平面平面，所以，所以.因为平面平面，平面平面，所以，所以.所以截面为平行四边形. （2）因为成角为60°，所以或，设，因为，， 所以，由，得.所以平行四边形的面积为.当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大为. 16．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点，作，交于G，则G为的中点，连接，则，由题意知四边形为平行四边形，则，故， 即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面，连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面，故，则， 由题意知四边形为正方形，故，则，即假设成立，故在线段上存在一点N，使直线平面，此时；由于，，故，故， 中，，则， 即，而，，故，则. 17．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)作图见解析；(2)小几何体与大几何体的比值为； (3)存在，理由见解析，长度的取值范围为. 【分析】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. （3）分别取的中点，求证四点共面，接着通过求证平面平面得证点时平面，再依据条件求出等腰梯形的高和、的长即可得解. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面，且平面平面，平面平面，平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2） 由于点在平面内且为的重心，，所以，又因为， 故，故几何体为棱柱，设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. （3）分别取的中点，则当点时有平面， 证明如下：由分别为的中点得， 又由于在正三棱台中，，所以，四点共面，又因为，点O为重心， 所以，又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面，同理平面， 因为，平面，所以平面平面， 所以当点时，平面，于是平面， 在梯形中，由已知条件和前面的分析知：， 即四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形， 所以该由等腰梯形性质得该等腰梯形的高为， 所以，所以长度的取值范围为. 【点睛】求解长度的取值范围关键点1是通过作出过点O且与平面相交的平面、又与平面平行的平面并证明；关键点2是由已知得出四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，从而通过等腰梯形性质求出等腰梯形的高和、的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $