精品解析：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

八下第二次独立作业 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下面图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正三角形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； B、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析．下列说法中，错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 1200名学生是总体 C. 每名学生的身高是个体 D. 样本容量是60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计基本概念，需根据抽样调查、总体、个体、样本容量的定义逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵从1200名学生中抽取60名学生进行统计分析，只调查部分对象，属于抽样调查，∴A选项说法正确，不符合要求； ∵本题研究对象是学生的身高状况，因此总体是某校八年级1200名学生的身高，不是1200名学生本身，∴B选项说法错误，符合要求； ∵个体是每一个研究对象的特征，即每名学生的身高是个体，∴C选项说法正确，不符合要求； ∵样本容量是样本中个体的数量，本题抽取了60名学生，因此样本容量是60，∴D选项说法正确，不符合要求； 综上，错误的是B． 3. 如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 5. 四边形的对角线和相交于点．有下列条件：，；；；矩形；菱形；正方形．则下列推理正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、仅给出对角线相等且互相垂直，不能推出四边形是平行四边形，更不能推出是正方形，故A错误； B、，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形，不是菱形，故B错误； C、矩形本身对角线就相等，已知是矩形再添加，还是矩形，故不能推是菱形，故C错误； D、菱形的对角线相等，根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， 可推出是正方形，故D正确． 6. 已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据既在根号下，又在分母上，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 8. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为的条件，分式值为需同时满足分子为且分母不为，即：且，故x的值为． 【详解】解：由题意得， 解方程，得， 当时，，满足分母不为的条件， 故的值为． 9. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程；    解得，即； 由得． ． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 11. 已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 12. 如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，得，根据矩形的性质，得，故，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 13. 若分式方程 有增根，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程转化为整式方程，将增根代入整式方程即可求出的值. 【详解】解：， 方程两边乘得：， ∵分式方程有增根， ∴分母，解得， 把代入整式方程得：， 解得. 14. 如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用折叠性质和勾股定理在中求出的值，进而得到的长；连接，通过作高证明，利用勾股定理求出的长；过点作于点，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长 ． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知，， 如图，过点作交的延长线于点，则， 四边形是菱形，，  ，，， ，， 在中，，， 点是的中点，， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得，解得， ， 连接，过点作于点， 在中，， ， ， ， 点与点重合， ， ， ，即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ， 过点作于点， 在中，， ， ，， ， 在中，由勾股定理得． 15. 如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握面积比与底之比的转化是解题的关键． 连接，由点E是边的中点，点F是边的中点，则，那么由得，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴与等底共高， ∴， ∵四边形是平行四边形，点F是边的中点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 16. 如图，在四边形中，，点E为上一点，连接．若，则______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．先根据平行四边形的判定与性质证明四边形、四边形是平行四边形得到，，再利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ∴，， 如图，设与相交于O， ∵， ∴，， ，， ∴， ∴， 故答案为：25． 三、解答题（共102分） 17. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （2）先算括号内，再进行二次根式的乘法运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2）， 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以得，，解得，，检验，当时，，故不是原方程的解，因此原方程无解； （2），故，所以原方程的解为，． 【小问1详解】 解：， 两边同时乘以得，， 化简得，， 解得，， 检验，当时，，故不是原方程的解， 原方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ， 原方程的解为，． 19. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则并准确计算是解题的关键．先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角的度数是 ． （3）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】（1）100 （2）图形补全见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）用已知量除以该量所占百分比即可求出结果； （2）用乘以“阅读”所占百分比可得出圆心角度数； （3）用样本估算总体． 【小问1详解】 解：这次研究一共调查的学生数量为： 名， 【小问2详解】 解：爱好阅读的人数为： 人， 图形补全如下图： “阅读”部分的圆心角为： ； 【小问3详解】 解：全校爱好运动的学生人数为： 人． 答：全校爱好运动的学生人数为人． 21. 某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度． 【答案】慢车的速度为 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键． 设慢车的速度为，则快车的速度为，根据“慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区”列方程求解即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得， 解得：； 经检验：是原方程的解． 答：慢车的速度为． 22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，即，， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 在中，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 23. 对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． （1）上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； （2）直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 【答案】（1），推导过程见解析 （2），， 【解析】 【分析】（1）通过去分母，去括号并整理得到，结合n是正整数，即可得到答案； （2）把代入计算，得到，结合a、b都是正整数，即可求得答案． 【小问1详解】 解：； 推导：对于， 两边同乘以，得， 去括号，得， 整理得， 是正整数， ； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 、b都是正整数， 或或， 所有正整数a、b组成的点的坐标是，，． 24. 求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据文字，写出已知、求证，然后利用三角形相似的判定和性质证明即可. 【详解】已知：如图在△中，点、分别是与的中点，连接. 求证：，且 证明：∵点、分别是与的中点， ∴， ∵， ∴∽， ∴，， ∴且. 【点睛】本题考查了利用三角形相似的性质来证明三角形的中位线定理，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键. 25. （1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）①见解析；②12．（2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的全等性质，结合有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可； ②根据三角形全等的性质，结合三角形的周长解答即可． （2）①根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半，以此作图即可； ②（a）以A为圆心，以为半径作；（b）连接，作的垂直平分线交于点O；（c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q；作直线即可． 【详解】（1）①证明：根据折叠的性质，得， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． ②解：根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为6， ∴的周长为， 故答案为：12． （2）①解：当点P在正方形的边上时 根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半， 连接，再作，最后作的平分线， 作直线， 则直线即为所求的直线； ②解：当点P在正方形的外部时 （a）以A为圆心，以为半径作； （b）连接，作的垂直平分线交于点O； （c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q； 作直线， 则直线即为所求直线．理由如下： 设直线与交于点G，交于点H， 根据作图，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， 于是可得， 符合了问题1的条件，结论自然成立， 则即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的基本作图，熟练掌握判定和性质，基本作图是解题的关键． 26. 【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： （1）化简∶ ； （2）请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； （3）已知，求、的值． 【答案】（1） （2） ； （3） ， 【解析】 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可； （2）取倒数比较正数大小求解即可；运用平方比较正数大小的方法求解即可； （3）分别两式相乘和两式相除，得到与的数量关系，解关于、的方程组即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，，  ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； 【小问3详解】 解：， 得，， 整理得， 得，，  整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下第二次独立作业 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下面图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正三角形 D. 菱形 2. 为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析．下列说法中，错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 1200名学生是总体 C. 每名学生的身高是个体 D. 样本容量是60 3. 如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 四边形的对角线和相交于点．有下列条件：，；；；矩形；菱形；正方形．则下列推理正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 9 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 8. 若分式的值为0，则x的值为__________． 9. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 10. 因式分解：______． 11. 已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 12. 如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则________． 13. 若分式方程 有增根，则a的值是________． 14. 如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_________． 15. 如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 16. 如图，在四边形中，，点E为上一点，连接．若，则______． 三、解答题（共102分） 17. 计算∶ （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 化简求值：，其中． 20. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角的度数是 ． （3）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 21. 某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度． 22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 23. 对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． （1）上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； （2）直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 24. 求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 25. （1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： （1）化简∶ ； （2）请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； （3）已知，求、的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $